计数原理和二项式专题-排列组合问题解法(共15页).doc

《计数原理和二项式专题-排列组合问题解法(共15页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计数原理和二项式专题-排列组合问题解法(共15页).doc（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上计数原理和二项式专题排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一 直接法1 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=2402特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种

2、选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）三 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中

3、，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。四 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：=576练习1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（）2 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，

4、其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）五 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？ 当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。当项中有2个字母时，有而指

5、数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可当项种4个字母都在时 四者都相加即可练习2有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）3不定方程X1+X2+X3+X50=100中不同的整数解有（）六 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？ 分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种练习：16本书分三份，2份1本，1份4本，

6、则有不同分法？2某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。七 合并单元格解决染色问题例7 （全国卷（文、理）如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5 下面分情况讨论: ()当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 的全排列数 （）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形()类似同理可得 种着色法（）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样

7、仅有三个单元格 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法 由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种）练习1（天津卷（文）将3种作物种植 12345 在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）2（江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）（120）图3 图43如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用

8、也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）4如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图5 图65将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420） 八 递推法例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最

9、后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。九.几何问题 1四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种（3+3=33）2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？(-4+4-3+3-6C+6+26=29) (2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱

10、锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 644=96 36=18 共有114十 先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ）A.1260种B.2025种C.2520种D.5054种分析：先从10人中选出2人十一用转换法解排列组合问题例10某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题=20种例11 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法解 把问题转化

11、为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题=126种例12 从1，2，3，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题=35（种）例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法解 根据题意要想12步登完只能6个一步

12、登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题=924（种）例15 求（a+b+c）10的展开式的项数解 展开使的项为abc,且+=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题=66（种）例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为a1,a2，,a5,欧洲队队员为b1，b2，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序比赛过

13、程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）十二转化命题法例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有=1365（个）十三概率法例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？

14、分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种十四除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 解（1）（2）十五错位排列例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）公式 1） n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排2）=n!(1-+-+练习 有五位客人参加宴会

15、，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）计数原理 练习题1从集合 0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（） A30个B42个C36个D35个2如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求邻 的矩形涂色不同，则不同的涂法有（） A72种B48种C24种D12种3教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（） A10种B种C种D种4一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人

16、来完成这件工作，不同选法的种数是（） A8 B15C16D305从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（） A5种B6种C7种D8种6如图所示为一电路图，从A到B共有（ ）条不同的线路可通电. A1 B2 C3D47由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（） A25B20C16 D128李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择方式. A24B14C10 D99设A，B是两个非空集合，定义，若， 则P*Q中元素的个数是（）来源:学科网 A4 B7

17、C12 D1610某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（ ） A 5 B7 C10 D12113科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（ ） A43种 B34种 C432种 D 123种来源:学。科。网12把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（ ） A120种 B1024种 C625种 D5种13已知集合M=l，2，3，N=4，5，6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ） A18 B17 C16 D10来源:学+

18、科+网14如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东 或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（ ） A25 B15 C13 D10来源:学科网ZXXK15把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（） A4种B5种C6种D7种16三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（） A25B26C36D3717如图，从AC，有种不同走法 18将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种19某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种有 种方法；买其中两种有 种方法20大小不等的两个正方形玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5

19、，6，则向上的面标着的两个数字之积不少于20的情形有 种21从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值来源:学科网22某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有 种23平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是24圆周上有个等分点（），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为25椭圆的焦点在y轴上，且，则这样的椭圆的个数为26多项式展开后共有项 27整数63

20、0的正约数（包括1和630）共有个28商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法29电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生种不同的信息30十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有种行车路线31某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成 （1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？32已知集合是平面上的点，来源:Zxxk.Com（1

21、）可表示平面上多少个不同的点？（2）可表示多少个坐标轴上的点？ 33有红、黄、蓝三种颜色旗子各面，任取其中三面，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗子中不允许有三面相同颜色的旗子，可以有多少种不同的信号？若所升旗子颜色各不相同，有多少种不同的信号？34某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷， 现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法35用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，比3410大的四位数有多少个？ 36甲、乙两个正整数的最大公约数为60，求甲、乙两数的公约数共有多个？37从3，2，1，0，l，2，3中

22、，任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2bxc（a0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线共有多少条？38电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，有多少种不同的结果？若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？参考答案：116 CADA BDCB CDBD BBAC17、 6 18、 19、 30；300 20、 5 21、 17 22、18023、 12 24、 来源 25、 20 26、 10 27、 24 28、33，27029、

23、256 30、 12 31、解：（1）种；（2）种；（3）种32、解：（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，P点个数为N=66=36(个)； （2）根据分类加法计数原理，分为三类： x轴上（不含原点）有5个点； y轴上（不含原点）有5个点； 既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合， 共有N=5+5+1=11（个）33、解： =333=27种；种； 种34、解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2人全不被选出，即从只

24、会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有31=3种选法 第二类：2人中被选出一人，有2种选法若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有231=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有232=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法 第三类：2人全被选出，同理共有16种选法 所以共有3+18+16=37种选法来源:学科网35、解：本题可以从高位到低位进行分类 来源:Z.xx.k.Com（

25、1）千位数字比3大（2）千位数字为3： 百位数字比4大； 百位数字为4： 1十位数字比1大； 2十位数字为1 个位数字比0大 所以比3410大的四位数共有2543+43+23+2=140（个）36、37、38、例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式1“”型的展开式例1求的

26、展开式；解：原式= = = 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2 “”型的展开式 例2求的展开式；分析：解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3二项式展开式的“逆用”例3计算；解：原式=小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。二、通项公式的应用1确定二项式中的有关元素例4已知的展开式中的系数为，常数的值为 解： 令，即依题意，得，解得2确定二项展开式的常数项例5展开式中的常数项是 解： 令，即。 所以常数项是3求单一二

27、项式指定幂的系数例6（03全国）展开式中的系数是 ；解：= 令则，从而可以得到的系数为： ，填三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7的展开式中，的系数等于 解：的系数是四个二项展开式中4个含的，则有 例8（02全国）的展开式中，项的系数是 ； 解：在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为的系数应为：填。四、利用二项式定理的性质解题1 求中间项例9求（的展开式的中间项；解：展开式的中间项为 即：。 当为奇数时，的展开式的中间项是和；当为偶数时，的展开式的中间项是。2 求有理项例10求的展开式中有理项共

28、有 项；解：当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。3 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例11（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；解：要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为（2） 一般的系数最大或最小问题 例12求展开式中系数最大的项； 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有 又，那么有 即 解得，系数最大的项为第3项和第4项。（3） 系数绝对值最大的项例13在（

29、的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，故此答案为第4项，和第5项。五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 例14若， 则的值为 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= =在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：特殊值在解题过程中考虑的比较多。 例15设， 则 ；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解： = =0六、利用二项式定理求近似值 例16求的近似值，使误差小于； 分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。 解：= ， 且第3项以后的绝对值都小于

30、， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 =小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：。 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。七、利用二项式定理证明整除问题 例17求证：能被7整除。 证明： = = =49P+（） 又 =（7+1） = =7Q（Q） 能被7整除。在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。专心-专注-专业