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1、精选优质文档-倾情为你奉上一、求解析式的一般方法1、换元法例1：已知f(x+1)=x2-2x求f(x)解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t-3f(x)=x2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f()=3x，求f(x)解：令x=则f()+2f(x)= f(x)+2f()=3x f(x)= -x2f(x)+f()=f(x)= -x例3 .例4 3、待定系数法例5：如果ff(x)=2x-1则一次函数f(x)=_解：f(x)是一次函数不妨设f(x)=ax+b(a0)则f
2、f(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b又已知ff(x)=2x-1 例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。（1）对任意x、y (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()（2）当x (-1、0) 时,有f(x)0求证（I）
3、f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) f(0)=0 令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x) =f(=f(0)=0 f(-x)=-f(x) f(x)是奇函数例8 定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0f(0)+f(0)=2f(0)2f(0)0f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y)f(-y)=f(y)y=f(x)是偶函数例
4、9.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,则f(2001)=_.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f(1)2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时，f(x)0恒成立。（1）判断函数f(x)的奇偶性。（2）证明：f(x)为减函数，若函数f(x)在-3、3上总有f(x)6成立，试确定f(x)应满足的条件。（3）解关于x的不等式f(ax2)-f(x)(a2x)-f(a)(n是一个给定的自然数a0)解：（1）f(x)为奇函数证
5、明如下令x=0、y=0 则f(0+0)=f(0)+f(0) =f(0)=0令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x)= f(x)-f(x)=0=f(-x)=-f(x)=f(x)是奇函数（2）证明：任取x1x2R,且x1x2 则x2-x10由已知f(x2-x1)0f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0f(x2)a或x例7，设函数y=f(x)是定义在R上，对任意m,n函数f(x)恒有 f(m+n)=f(m)f(n),且x0时，0f(x)1 (1)求证：f(0)=1且当x0时，f(x)1 (2)求证：f(x)在R上单减证明：（1）令m=0,n=1 则f(m+n)=f
6、(1)=f(0)f(1) 10 0f(1)1 f(0)=1 令m=x n=-x，且x0 f(m+n)=f(x+(-x)=f(0)=f(x)f(-x) 则f(x)f(-x)=1 f(x)= -x0 0f(-x)1 1 当x0时 f(x)1(2)任取x1,x2R, 且x1x2 f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)f(x2) x1-x20 f(x1-x2)1 f(x1)=f(x1-x2)f(x2)f(x2) f(x1)f(x2) f(x)在R上是单调递减函数模型法是求解单调性的常用方法，例6是正比例函数模型例7是指数函数模型。对上述抽象函数的背景函数模型，虽不能用它来代替具体证明，但
7、都能构建解决问题的框架，明确解决问题的切入点。特殊模型 抽象函数正比例函数 f(x)=kx(k0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y)或f（）=指数函数 f(x)=ax(a0,且a1) f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=对数函数f(x)=logax(a0，且a1)f(xy)=f(x)f(y)或f()=f(x)-f(y)正余弦函数 f(x)=sinx,f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx f(x+y)=余切函数 f(x)=cotx f(x+y)=四、抽象函数中的周期与对称轴例8、已知f(x)为偶函数，
8、其图像关于x=a(a0)对称求证：f(x)是一个以2a为周期的周期函数。解：函数f(x)的图像关于x=a(a0)对称f(x+2a)=f(-x)又f(x)是偶函数f(x+2a)=f(x) 即T=2a例9、设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=-f(x) 求f(2004)的值。解：f(x+3)=-f(x)f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x)T=6又f(x)是R上的奇函数有f(0)=0从而f(2004)=f(6334)=f(0)=0例10、已知f(x)满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x),x,yR (1)求f(x)的对称轴 如f(5)=9,求f（-5）
9、(2)已知当x2,7时，f(x)=(x-2)2求当x6,20时，函数f(x)的表达式。解：（1）f(x+2)=f(2-x) f(x+7)=f(7-x) 对称轴为 x=2,x=7 而f(x)=f(4-x)=f(7-3-x)=f(3+x+7)=f(x+10) 得 T=10 f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9对于函数f(x)，如果存在一个非零常数使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。常见结论：（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a是非零常数)（2）f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a是非零常数)(3)
10、f(x+2)=f(2-x) f(x+7)=f(7-x) 则T=10对称问题：常见对称：f(-x)=f(x),即函数f(x)关于y轴对称 f(-x)=-f(x),即函数f(x)关于原点（0，0）对称 f(a-x)=f(x-a)，即函数f(x)关于直线x=a对称 f(a-x)=-f(a+x),即函数f(x)关于点（a,0）对称抽象函数题的编写是为了检验学生对函数的性质的灵活应用，从而达到提高学生数学思维能力和再创能力。在解题时在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能利用数形结合的方法,则抽象问题又会变得更加具体形象,更有利于问题的解决。参考文献：【1】清华大学附属中小学网校【2】例谈抽象函数问题 周岳金抽象函数问题的一般解法 类别：数 学 作者：罗彩荣滁州市定远县第二中学201068专心-专注-专业