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1、精选优质文档-倾情为你奉上排列组合应用题的类型及解题策略 排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。一处理排列组合应用题的一般步骤为：明确要完成的是一件什么事（审题） 有序还是无序 分步还是分类。二处理排列组合应用题的规律（1） 两种思路：直接法，间接法。（2） 两种途径：元素分析法，位置分析法。三、解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。1、特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先
2、解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例1（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22A4448. 从而应填48 （3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。 三基本题型及方法： 1相邻问题（1）、全相邻问题，整体处理（捆邦法）例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。A）7
3、20 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。（2）、全不相邻问题，插空处理法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种例4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
4、（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解：不同排法的种数为3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。（3）不全相邻排除法，排除处理例5五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：例6有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是解法一：前后各一个，有8122192种方法前排左、右各一人：共有44232种方法两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：乙可坐
5、2个位置乙可坐1个位置224112此种情况共有426种方法因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6612种方法两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右甲左乙右总共有种方法同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有552110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 1923212110346种解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有种2、顺序一定，除法处理或分类法。例7、信号兵把红旗与白旗从
6、上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。解：5面旗全排列有种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷 例8（06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可
7、得有30种不同排法。解二：=30例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ）A）210个 B）300个 C）464个 D）600个解： 故选（B）4、多元问题，分类法例10(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去，有=240种选法；甲、丙同不去，乙去，有=240种选法；甲、乙、丙都不去，有种
8、选法，共有600种不同的选派方案例11：（06全国卷I）设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A B C D解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=1种；若集
9、合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种 数有=1种；总计有，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有210=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有35=15种方法；从
10、5个元素中选出5个元素，有=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有41=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法。选B.例12（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A10种B20种C36种 D52种解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法
11、；则不同的放球方法有10种，选A 说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。例13、从6名运动员中选出4名参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？解：设全集U=6人中任选4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(AB)=252例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。（1）若第一节不排体育
12、，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）A）6种 B）9种 C）11种 D）23种解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共
13、有331=9种填法。故选B说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。（答：78种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为A） B） C） D）解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 种座法。选（D） 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分
14、段处理。7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）例18（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A）108种 （B）186种 （C）216种 （D）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有=186种，选B.例19（06辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种.(以数作答) 【解析】两老一新时, 有种排法；两新一老时, 有种排法,即共有48种排法.【点评】本题考
15、查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例20(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有 （A）种（B）种 （C）种（D）种解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案，选B.说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。8、部分符合条件淘汰法例21四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ ） A）150种 B）1
16、47种 C）144种 D）141种解：10个点取4个点共有 种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有 选D说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。9分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有 种分法，再取3个不第二组，有种分法，剩下3个为第三组，有 种分法，由于三组之
17、间没有顺序，故有种分法。（2）同（1），共有种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以。练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？分配问题： 定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有种；再让乙选，有种；剩下的给丙，有种，共有种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有种不同的分法。例24：对某种产品的6件不同正品和
18、4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有种，前4次测试中的顺序有种，由分步计数原理即得：（）576。【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？ 2将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？例25（06湖南卷）某外
19、商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种 B.36种 C.42种 D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有， 二是在在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有， 共有=60， 故选 （D）10隔板法：隔板法及其应用技巧 在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：例26.求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？) 分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙
20、，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z之值（如图） 则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为 个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：技巧一：添加球数用隔板法。 例27求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。分析：注意到x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x、 y、z 各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为=66个。 【小结】本例通过添加球数，将问题转化
21、为如例1中的典型的隔板法问题。 技巧二：减少球数用隔板法。 例28将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。 分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有 =286 种方法。 分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例26知有 =286 种方法。 【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。 技巧三：先
22、后插入用隔板法。例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有 种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同上理知有 种方法。故由乘法原理知，共有 种方法。 【小结】对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙解决。11数字问题（组成无重复数字的整数） 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的
23、特征：末位数是奇数。能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。 能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。例30（06北京卷）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有，故共有24种方法，故选B例31。（06天津卷）用数字0，
24、1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有24个（用数字作答）12分球入盒问题例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有小球不同，盒子不同，盒子可空 解：种小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有=25种小球不同，盒子相同，盒子可空本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有种小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 00 00 ，有种方法小球相同，盒
25、子不同，盒子可空解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有=21解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2种小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内654321（1）共有几种放法？（答：）（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：）（3）恰有1个盒
26、子内有2个球，有几种放法？（答：）（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法？（答：）13、涂色问题：（1）用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色？ （2）以涂色先后分步，以色的种类分类。例34、（2003全国）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有 120 种？例35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色种数为 420 应该指出的是，上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这
27、时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。二项式定理应用题的类型及解题策略1正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题.2.会利用二项式定理解决某些整除性问题1二项式定理及其特例：（1），（2）.2二项展开式的通项公式： 3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数，
28、定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 二、讲解范例：例1计算: 计算:分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.解： 例2 证明恒等式:分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的、取某些特殊值.证明：左边右边引伸:化简 解: 例3 求证能被64整除.分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有的式子.因此,可将化成再进行展开,化简即可证得.证
29、明：多项式展开后的各项含有能被64整除.引伸:求证能被10整除;求除以9的余数.例4. 求的展开式中的系数. 解:利用通项公式,则的通项公式, 的通项公式,令,则或或， 从而的系数为引伸:求的展开式中的系数. ( 答案:207 )例5 求的展开式中的常数项和有理项.解:设展开式中的常数项为第项,则 (*)由题意得,解得,所以展开式中的常数项为第7项.由题意可得,即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12故展开式中的有理项为,.例6已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为
30、，（1），展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，（2）设展开式中第项系数最大，则，即展开式中第项系数最大，插板法处理相同元素分配问题时间: 关键词 插板法 处理 相同元素 分配 例:8本相同的书分到编号为1、2、3的三个阅览室,按下列要求各有多少种分配方案? 每个阅览室至少有一本书; 每个阅览室分到的书不少于其编号数; 每个阅览室分到的书不限。 分析:引入隔板模型,将书放成一排,插入2个隔板关键词 插板法 处理 相同元素 分配例:8本相同的书分到编号为1、2、3的三个阅览室,按下列要求各有多少种分配方案?每个阅览室至少有一本书;每个阅览室分到的书不少于其编号数;每个阅览室分到的书不限。
31、分析:引入隔板模型,将书放成一排,插入2个隔板分成3部分依次分给1、2、3号阅览室。插法种数就是分配方案数。相同元素的分配问题是排列、组合中常见的一种题型。处理此类问题一般有两种方法:一是按要求先分组,然后再分配;二是引入隔板模型,利用“插板法”。一、先分组,再分配解:分组为(6、1、1),(5、2、1),(4、3、1),(4、2、2),(3、3、2)。符合条件的分配方案有C13+C13C12+C13C12+C13+C23=21种。先将每个阅览室放入与其编号相同数的书,然后将剩下的2本书进行分组,再分配。分组为(2、0、0),(1、1、0)。符合条件的分配方案有C13+C23=6种。分组为(8
32、、0、0),(7、1、0),(6、2、0),(6、1、1),(5、3、0),(5、2、1),(4、4、0),(4、3、1),(4、2、2),(3、3、2)。符合条件的分配方案有C13+C13C12+C13C12+C13+C13C12+C13C12+C23+C13C12+C13+C23=45种。二、插板法解:为保证三部分都有书,隔板只能向8本书中间的7个空插。共有C25=21种插法;方法一:为保证第一部分至少有1本书,第三部分至少有3本书,从第1本书后到倒数第三本书前共有5个空,有C25种插法,由于两隔板相邻的插法(中间部分只有1本书)不符合要求,有4种。满足条件的插法共有C25-4=6种。方法
33、二:中间部分给编号为1的阅览室,左、右两部分分别给编号为2、3的阅览室。左边第二本书后到右边倒数第三本书前共有4个空,有C24=6种插法。方法三:先分别放入比阅览室编号小1的书(1号不放,2号放1本,3号放2本),然后再向剩下的5本书中间4个空插入2个隔板,C24=6种插法。方法一:从8本书的9个空插入2个隔板有C29种插法,但不包含两隔板插在一起(中间部分没有书)的情况,9个空有9种插法。满足条件的插法共有C29+9=45种。方法二:先在8本书9个空插入一隔板,然后再在8本书及一隔板共10个空插入另一隔板,由于两隔板无序,满足条件的插法有12910=45种。排列组合之“捆绑法”、“插空法”、
34、“插板法”高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有A、60种 B、48种 C、36种 D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，
35、再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是A、24种 B、60种 C、90种 D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.4.标号排位问题分步法:把元素排
36、到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种 B、9种 C、11种 D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的
37、选法种数是A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A、种 B、种 C、种 D、种答案：.6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2
38、）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480种 B、240种 C、120种 D、96种答案：.7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：
39、因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；若乙参加而甲不参加同理也有种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210种 B、300种 C、464种 D、600种解析：按题意，个位数字只可能是0
40、、1、2、3和4共5种情况，分别有、和个，合并总计300个,选.（2）从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.（3）从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将分成四个不相交的子集，能被
41、4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.例10.从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指
42、定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种.12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种
43、不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140种 B、80种 C、70种 D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.14.
44、选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，“再排”在四个盒中每次排3个有种，故共有种.（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70种 B、64种 C、58种 D、52种解析：正方体8个