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1、精选优质文档-倾情为你奉上第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真 题 感 悟(2018北京卷)已知抛物线C：y22px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值.解(1)因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y2
2、4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0).由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0或0k0，得34k2m20，当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾.当m2时，l的方程为yk，直线过定点，且满足，直线l过定点，定点坐标为.探究提高(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0).(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.考法2定值的探究与证明【例1
3、2】 (2018金丽衢联考)已知O为坐标原点，直线l：xmyb与抛物线E：y22px(p0)相交于A，B两点.(1)当b2p时，求；(2)当p且b3时，设点C的坐标为(3，0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：2m2为定值.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消元得y22mpy2pb0，所以y1y22mp，y1y22pb.(1)当b2p时，y1y24p2，x1x24p2，所以x1x2y1y24p24p20.(2)证明当p且b3时，y1y2m，y1y23.因为k1，k2，所以m，m.因此2m22m22m212m362m212m3612m3624，即2m2为定值.探究提高
4、(1)求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练11】 (2017北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.(1)解把P(1，1)代入y22px，得p，所以抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为
5、，准线方程为x.(2)证明当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由得4k2x2(4k4)x10.考虑(4k4)244k216(12k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k.则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1).直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10.所以y12x1.故A为线段BM的中点.【训练12】 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，
6、A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值.(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知A(2，0)，B(0，1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则y01.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0得yM.从而|BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值.热点二最值与范
7、围问题考法1求线段长度、面积(比值)的最值【例21】 (2018湖州调研)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l：ykx4(1k2)与y轴、抛物线C分别相交于P，A，B(自下而上)，记PAF，PBF的面积分别为S1，S2.(1)求AB的中点M到y轴的距离d的取值范围；(2)求的取值范围.解(1)联立消去y得，k2x2(8k4)x160(1k得，41740，解得4或.因为01，所以0.由7得，710，解得，又1，所以1.综上，0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围.解设M(x1，y1)，则由题
8、意知y10.(1)当t4时，E的方程为1，A(2，0).由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)，将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)，当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得k2.因此k的取值范围是(，2).探究提高解决范围问题的常用方法：
9、(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.(3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练22】 (2018台州调研)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k
10、0)，F(c，0)，则直线FM的方程为yk(xc).由已知，有，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|，解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1，0)时，有yt(x
11、1)0.因此m0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造
12、不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、选择题1.F1，F2是椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是()A.2 B.1 C.2 D.4解析设P(x，y)，依题意得点F1(，0)，F2(，0)，(x)(x)y2x2y23x22，注意到2x221，因此的最大值是1.答案B2.(2018镇海中学二模)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为(
13、)A.2 B. C. D.解析根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|d.抛物线的方程为y2x2，即x2y，其准线方程为y，当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min.答案D3.设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A.(0，19，) B.(0，9，)C.(0，14，) D.(0，4，)解析(1)当焦点在x轴上，依题意得0m3，且tan.0m3且m1，则03，且tan，m9，综上，m的取值范围是(0，19，).答案A4.已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|()A.3
14、 B.5 C.6 D.10解析因y28x，则p4，焦点为F(2，0)，准线l：x2.如图，M为FN中点，故易知线段BM为梯形AFNC的中位线，|CN|2，|AF|4，|MB|3，又由定义|MB|MF|，且|MN|MF|，|NF|NM|MF|2|MB|6.答案C5.(2018北京西城区调研)过抛物线y24x的焦点的直线l与双曲线C：y21的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1x20，则直线l的斜率k的取值范围是()A. B.C. D.解析易知双曲线两渐近线为yx，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k或k0.答案D6.在直线y2上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，
15、B，则直线AB恒过的点的坐标为()A.(0，1) B.(0，2)C.(2，0) D.(1，0)解析设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简得yx1xy1，同理，在点B处的切线方程为yx2xy2，又点Q(t，2)的坐标适合这两个方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2xty，即直线AB的方程为y2tx，因此直线AB恒过点(0，2).答案B二、填空题7.已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x24xy220相交，则双曲线的离心率的取值范围是_.解析双曲线的渐
16、近线方程为yx，即bxay0，圆x24xy220可化为(x2)2y22，其圆心为(2，0)，半径为.因为直线bxay0和圆(x2)2y22相交，所以，整理得b2a2.从而c2a2a2，即c22a2，所以e22.又e1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，).答案(1，)8.(2018金华质检)已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_，椭圆的离心率为_.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a2；由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦
17、中垂直于长轴的弦最短，即3，可求得b23，即b，e.答案9.已知抛物线C：x28y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则的最小值为_，此时圆Q的方程为_.解析如图，在RtQPF中，|cosPFQ|2|21.由抛物线的定义知：|d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，|min2，的最小值为3.此时圆Q的方程为x2y21.答案3x2y2110.(2018温州模拟)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_.解析不妨设A(x1，y1)(y10)，B(
18、x2，y2)(y20).则|AC|BD|y1x2y1.又y1y2p24，|AC|BD|(y20)的焦点，点P是抛物线上一点，且|PF|2，直线l过定点(4，0)，与抛物线T交于A，B两点，点P在直线l上的射影是Q.(1)求m，p的值；(2)若m0，且|PQ|2|QA|QB|，求直线l的方程.解(1)由|PF|2得，12，所以p2，将x1，ym代入y22px得，m2.(2)因为m0，故由(1)知点P(1，2)，抛物线T：y24x.设直线l的方程是xny4，由得，y24ny160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24n，y1y216.因为|PQ|2|QA|QB|，所以PAPB，所以0
19、，且12n4，所以(x11)(x21)(y12)(y22)0，且n.由(ny13)(ny23)(y12)(y22)0得，(n21)y1y2(3n2)(y1y2)130，16(n21)(3n2)4n130，4n28n30，解得，n(舍去)或n，所以直线l的方程是：xy4，即2xy80.14.(2018绍兴模拟)如图，已知函数y2x图象上三点C，D，E，直线CD经过点(1，0)，直线CE经过点(2，0).(1)若|CD|，求直线CD的方程；(2)当CDE的面积最小时，求点C的横坐标.解设C(x1，y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)，直线CD的方程为：xmy1.由得：y2my10，从而(1)
20、由题意，得|CD|，得m1，故所求直线方程为xy1，即xy10.(2)由(1)知y2，同理可得y3，E，并不妨设y10，则E到直线CD的距离为d，SCDE，而my1y2y1，所以SCDE，得SCDE.考虑函数f(x)x，令f(x)10，得x2时f(x)有最小值，即x1y时，CDE的面积最小，也即CDE的面积最小时，点C的横坐标为. 15.(2018湖州调研)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，又l与直线yx，yx分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且OAB的面积为2(O为坐标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围.解(1)由于b1且离心率e，则a22，因此椭圆的方程为y21.(2)联立直线l与直线yx，可得点A，联立直线l与直线yx，可得点B，又点A在第一象限，点B在第二象限，化为m2(14k2)0，而m20，14k20.又|AB|，原点O到直线l的距离为，即OAB底边AB上的高为，SOAB2，m214k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l代入椭圆方程，整理可得：(12k2)x24kmx2m220，x1x2，x1x2，16k2m24(12k2)(2m22)48k20，则k20，y1y2(kx1m)(kx2m)，x1x2y1y27.0k2，12k2，.故的取值范围为.专心-专注-专业