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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数与四边形一二次函数与四边形的形状A例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3） 点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由例1.解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2
2、，-3）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是B(0,4)A(6,0)EFO练习1.(河南省实验区) 23如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和 B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ 是
3、否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由B(0,4)A(6,0)EFO练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是16 根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得故所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4）点E1（3，4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，4）不满足OE = AE，所以不是菱形
4、 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，3） 而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为1234554321（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由练习2.解：（1）由题意知点的坐标为设的函数关系式为又点在抛物线上，解得抛物线的函数关系式为（或）（2）与始终关于
5、轴对称， 与轴平行设点的横坐标为，则其纵坐标为，即当时，解得当时，解得当点运动到或或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形（3）满足条件的点不存在理由如下：若存在满足条件的点在上，则123554321，（或），过点作于点，可得，点的坐标为但是，当时，不存在这样的点构成满足条件的直角三角形练习3.（山西卷）如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运
6、动，直到点与点重合为止求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由练习3. 解 （1）点，点，点关于原点的对称点分别为， 设抛物线的解析式是，则解得所以所求抛物线的解析式是 （2）由（1）可计算得点 过点作，垂足为当运动到时刻时， 根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形所以所以，四边形的面积 因为运动至点与点重合为止，据题意可知所以，所求关系式是，的取值范围是 （3），（）所以时，有最大值 提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形能形成矩形 由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形所以所以 所以解之得（舍）所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时 点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。专心-专注-专业