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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四章:函数应用1:函数与方程教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识,使新知识与原有知识形成联系。教学目标:1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系,学会结合函数图像性质判断方程根的个数,学会用多种方法求方程的根和函数的零点。2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点:根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念。复习引入:同学们好,今天我们来进行第四章函
2、数应用的学习,这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前,我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程,并会对它们进行求解。现在来看几个方程:ax+b=0(a0) 这是一个一元一次方程,我们能很容易求出方程的解是x=.ax+bx+c=0(a0) 这是一个一元二次方程,在对一元二次方程求解时我们会先用判别式=b4ac来判断方程是否有实解。当0时,一元二次方程有两个不相等的实数根,xx;当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,x=x;当0时,一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时,我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根:x=。x+4x+3x+2x+1=0 我们知道这是一个一元五次方程,对
3、于这样一个高次方程大家会不会求解?能不能知道这个方程是否有解?下面我们就来学习怎样判断一个给定方程的解是否存在的问题?(写标题)1.1利用函数性质判定方程解的存在一、 例1:给出三个方程:x-2x-3=0; x-2x+1=0 ;x-2x+3=0分析:这三个都是简单的一元二次方程,我们可以通过判别式来判断方程是否有解,若有解,也能很容易的求出。解:0 x=3,x=-1;对应函数:f(x) = x-2x-3=0 x= x=1;对应函数:f(x) = x-2x+10 无实解;对应函数:f(x) = x-2x+3图像:提问:观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系?总结: 一元二次方程的根就是
4、对应函数图像与x轴交点的横坐标。一元二次方程根的个数与对应函数图像与x轴交点的个数相等。对于函数图像与x轴的交点,我们来学习一个新的数学名词函数零点。二、 函数零点1 概念:我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个 函数的零点。说明:零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。零点是一个实数,并不是一个点。函数的零点就是相应方程的根。函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。学习过零点概念及以上4点说明,我们已经学会判断零点:要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点,也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。2 判断零点的方法:方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴
5、有交点函数y=f(x)有零点。可得出:方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。那如果所给的函数的图像不易画出,又不能求出其对应方程的根时,我们怎样判断函数有没有零点呢?观察例1中第一个方程的对应图像:f(x) = x-2x-3从图像上看,我们知道函数f(x) = x-2x-3有两个零点:-1,3.而能找到区间-2,0使零点-1在-2,0内,区间2,4使零点3在2,4内。且有f(-2)=50,f(0)=-30, f(-2)f(0)0; f(2)=-30, f(4)=50, f(2)f(4)0.可以发现f(-2)f(0)0,函数f(x) = x-2x-3在区间(-2,0)内有零
6、点-1是方程x-2x-3=0的一个根;同样地,f(2)f(4)0,函数f(x) = x-2x-3在区间(2,4)内有零点3是方程x-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论:3.零点存在性定理: 若函数y=f(x)在闭区间a,b的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解。零点存在性定理是用来判断一个方程是否存在解的,因此,现在我们可以来判断上课开始的那个一元五次方程是否存在解了? x+4x+3x+2x+1=0解:考虑f(x) = x+4x+3x+2x
7、+1试探:当x=0时,f(0)=10;当x=1时,f(1)=1+4+3+2+1=110;当x=-1时,f(-1)=-1-4+3-2+1=-30 f(0)f(-1)0则函数f(x) = x+4x+3x+2x+1在区间(-1,0)内至少有一个零点,即方程在(-1,0)内至少有一个实数解。三、 举例:例2:已知函数f(x) =3-x,问:方程f(x)=0在区间-1,0内有没有实数解?分析:问方程在区间内有没有实数解,意味着什么?即要判断相应函数在这个区间-1,0内有没有零点,由零点存在性定理,我们只需验证f(0)f(-1)是否小于0。解:f(-1)=3-(- 1)=-1=-0, f(0)= 3-(0
8、)=10,f(0)f(-1)0而函数f(x) =3-x的图像是连续曲线,f(x) 在区间-1,0内有零点,即方程f(x)=0在区间-1,0内有实数解。例3:判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2。分析:转化判断函数f(x) =(x-2)(x-5)-1在区间(-,2)和(5, +) 内各有一个零点。解:考虑函数f(x) =(x-2)(x-5)-1,有f(2) =(2-2)(2-5)-1=-10,f(5) =(5-2)(5-5)-1=-10,又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线,在(-,2)内存在一点a,使f(a)0;在(5, +)内存在一点b,使f(b)0
9、,所以抛物线与横轴在(a,2)内有一个交点,在(5, b)内也有一个交点,而该交点即是方程的解。所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2。四、 零点存在性定理说:“若f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解”,它只指出了方程f(x)=0实数解的存在,并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a)f(b)0时,问题:如果函数y=f(x) 在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)内是否有零点?可能有几个零点?解:零点个数可以是任意自然数。可讨论在区间-3,3上函数零点个数,来画图进行观察。 专心-专注-专业