《求数列通项公式的八种方法(共10页).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《求数列通项公式的八种方法(共10页).doc(10页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上求数列通项公式的八种方法一、公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法 1、累加法 适用于: 若,则 两边分别相加得 例1 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。例2 已知数列满足,求数列的通项公式。解法一:由得则所以解法二:两边除以,得,则,故因此,则2、累乘法 适用于: 若,则两边分别相乘得,例3 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列的通项公式为三、待定系数法 适用于分析:通过凑配可转化为; 解题基本步骤:1、确定2、设等比数列,公比为3、列出关系式4、比较系数求,5、解得数列的通项公式6
2、、解得数列的通项公式例4 已知数列中,求数列的通项公式。解法一: 又是首项为2,公比为2的等比数列 ,即解法二: 两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的例5 已知数列满足,求数列的通项公式。解法一:设,比较系数得,则数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,即解法二: 两边同时除以得:,下面解法略注意:例6 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设 比较系数得, 所以 由,得则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。注意:形如时将作为求解分析:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。例7 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得或,不妨取,
3、则,则是首项为4,公比为3的等比数列,所以四、迭代法例8 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以又,所以数列的通项公式为。注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式例9 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以。两边取常用对数得设(同类型四)比较系数得, 由,得,所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此则。 2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例10 已知数列满足,求数列的通项公式。解:求倒数得为等差数列,首项,公差为,3、换元法 适用于含根式的递推关系例11 已知数列满足,求数列的通
4、项公式。解:令,则代入得即因为, 则,即,可化为,所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得。六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明。例12 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由及,得由此可猜测,下面用数学归纳法证明这个结论。(1)当时,所以等式成立。(2)假设当时等式成立,即,则当时,由此可知,当时等式也成立。根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。七、阶差法 1、递推公式中既有,又有 分析:把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。例13 已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列
5、的通项公式。解:对任意有 当n=1时,解得或当n2时, -整理得:各项均为正数,当时,此时成立当时,此时不成立,故舍去所以2、对无穷递推数列例14 已知数列满足,求的通项公式。解:因为所以用式式得则故所以由,则,又知,则,代入得。所以,的通项公式为八、不动点法不动点的定义:函数的定义域为,若存在,使成立,则称为的不动点或称为函数的不动点。分析:由求出不动点,在递推公式两边同时减去,在变形求解。类型一:形如例 15 已知数列中,求数列的通项公式。解:递推关系是对应得递归函数为,由得,不动点为-1,类型二:形如分析:递归函数为(1)若有两个相异的不动点p,q时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q,再将两式相除得,其中,(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除,得,其中。例16 已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,得,则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。专心-专注-专业