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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学建模教案要 求应用和创新是数学建模的特点，也是素质教育的灵魂；不论用数学方法解决哪类实际问题，还是与其他学科想结合形成交叉学科，首先的和关键的一步是用数学的语言表述所研究的对象，即建立数学模型。在高科技，特别是计算机技术迅速发展的今天，计算和建模正成为数学科学技术转化的主要途径。本课程旨在提高学生数学应用能力和数学知识的获取能力。根据课程特点，要求同学们做到一些几个环节：1、认真听讲，认真体会，善于思考，勤于总结。2、学会查阅资料，认真完成作业，要勤于动手，做好每一个实验，认真对待每一个计算步骤。3、有问题及时提问，及时解决。参考书1数学模型 谭永基 复旦大学出版
2、社 1997年2数学模型 姜启源 高等教育出版社 2003年3数学建模与数学实验 赵静 但琦 高等教育出版社 2000年4大学生数学建模竞赛辅导教材 叶其孝 湖南教育出版社 2003年按学校规定，缺交作业或缺课达1/3者不得参加本课程的考试。前 言1、数学史简介(包括数学建模史)数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，它的内容是从实际中抽象出来，与实际想脱离的，但在它生产和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。数学具有三大特点：（1）、抽象性（2）、严密性（3）、应用的广泛性数学的任务和发展动力应用是数学的主要任务，也是数学发展的主要动力。数学的发展阶段数学发展经历
3、了五个主要阶段主要阶段时期主要成果主要事件萌芽时期-3500到-600无演绎推理和公理法三次数学危机发生在-500，1754，1897年初等数学时期希腊文明-600到641论证数学逐渐形成1中世纪641到1300文艺复兴1300到1640日心说动摇神学，自然科学解放2变量数学时期1640到1920微积分的诞生3近代数学时期1920到1945现代数学时期1945到1雅典时期，泰勒斯，毕达哥拉斯开始对命题加以证明（勾股定理，无理数），没留下书籍；亚历山大时期，欧几里德，阿基米德，阿波罗泥，海伦，丢番图等作出了永载史册的功绩。2三次四次方程的求根公式，韦达和符号代数学，三角的发展，小数与对数的发明。
4、笛卡儿力求用代数的方法来解决几何问题，建立了解析几何，标志着变量数学时期的到来。3牛顿和莱布尼兹创立了微积分，通过微积分的完善建立了分析数学。数学建模是指用数学的语言和方法对实际问题进行近似地刻划和描述，数学建模并不是中新事物，自从有了数学并用数学去解决问题时，就有了数学建模。纵观人类历史上进行过的三次重大的科学技术革命，每一次都是渗透着数学的应用，都是数学建模过程。但将数学建模作为一门专门的学科和课程历史还很短。（待续）2、数学建模教学的培养目标（1）、培养翻译能力（2）、应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，并能学习一点新的数学知识，并能理解合理的抽象和简化，特别是进行数学分析的重
5、要性。（3）、发展联想能力。（4）、逐渐发展形成一种洞察力。（5）、熟练使用技术手段。3、数学建模竞赛（MCM）由来和历史1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The William Lowell Putnam mathematical Monthly,简称 Putnam(普特南)数学竞赛）自1938年起已举办50届，普特南数学竞赛在吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，鼓励各数学系更好地培养人才方面起了很大的作用，事实上一批优秀数学家就曾经是它的获奖者。（待续）第1章 建立数学模型教学目的和要求本章作为全书的导言和数学模型的概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和一般步骤，让学生对数
6、学模型有一个全面的初步的了解。教学内容11 从现实对象到数学模型本节先讨论原型和模型，特别是数学模型的关系，再介绍数学模型的意义。原型和模型原型（Prototype）和模型（Model）是一对对偶体。原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统（System）、过程（Process）等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统，又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型则是指为某个特定目的将原型的某一部分信息减缩、提炼而构成的原型替代物
7、。特别强调构造模型的目的性。模型不是原形原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。一个原型，为了不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。例如：展厅里的飞机模型： 外形上逼真，但是不一定会飞；航模竞赛的模型飞机： 具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求；飞机设计、试制过程中用大的数学模型和计算机模拟：要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特征，毫不涉及飞机的实体。模型的分类用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型，后者包括思维模型、符号模型、
8、数学模型。直观模型 指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然的。物理模型 主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。 如风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。这类模型应该注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性。物理模型的优点是常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。思维模型 指通过人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存于人脑中，从而可以根
9、据思维或直觉作出相应的决策。通常说的某些领导者凭经验做决策就是如此。思维模型便于接受，也可以在一定条件下获的满意的结果，是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人们的相互沟通。符号模型 是在一些约束或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描绘原型。如地图、电路图、化学结构式等，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。数学模型 是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。上面数学模型的概念还很模糊，我们下面仔细谈谈什么是数学模型。数学模型什么是数学模型 航行问题：甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水
10、航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船速，水速各若干？用x，y分别代表船速和水速，则可以得到如下两个方程（x+y）30=750 ，（x-y）50=750实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的解x=20km/h，y=5km/h，最终给出了航行问题的答案。 从上例中，我们可以看出建立数学模型的基本内容。 建立数学模型的基本内容：1 据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设（上例中，假设航行中船速和水速为常数）；2 用字母表示待求的未知量（上例中，x，y代表船速和水速）；3 利用相应的物理或其它规律（上例中，匀速运动的距离等于速度乘
11、以时间），列出数学式子（上例中，二元一次方程）；4 求出数学上的解答（上例中，x=20，y=5）；5 利用解答解释原问题（上例中，船速和水速分别为20km/h和5km/h）6 最后利用实际现象来验证上述结果。数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必须的简化假设，运用恰当的数学工具，等到的一个数学结构。本课程重点不在于介绍现实对象的数学模型（Mathematical Model）是什么样子,而是要讨论建立数学模型（Mathematical Modelling）全过程。建立数学模型简称为数学建模或建模。12 建模示例之一 椅子能在不平的地面上
12、放稳吗问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？模型假设 对椅子和地面作一些必要的假设：1 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.3 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。首先要用变量表示椅子的位置
13、。注意到椅脚连线成正方形，以中心为对称点，正方形的中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在图1中椅脚连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合，椅子绕中心点O旋转角度后，正方形ABCD转至的位置，所以对角线AC与x轴的夹角表示了椅子的位置。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量的函数。虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。记A,C两脚与地面距离之和为f（），B,D两脚与
14、地面距离之和为g（）（f（），g（）0）。有假设2，f和g是连续函数。又假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，f（）和g（）中至少有一个为零。当=0时不妨设g（）=0，f（）0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：已知f（）和g（）是的连续函数，对任意，f（）g（）=0，且g（0）=0，f（0）0。证明存在，使f（）=g（）=0.模型求解 上述命题有多种证明方法，这里介绍其中比较简单，但是有些粗糙的一种。将椅子旋转，对角线AC与BD互换。由g（0）=0和f（0）0可知g（/2）0和f（/2）=0。令h（）=f（）-g（），则h（0）0和h（/2）
15、0。由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在（021,丙队名额从4-3，显然是不合理的。为了给出席位分配方案，我们先讨论A,B两方的席位分配方案。设两方的认输为,占有席位为; 如这样不公平程度可用来衡量；但这是一个绝对指标，有其不合理性，如 =120, =100, = =10 及 =1020, =1000, = =10两种情况指标值是一样的。所以我们引入相对指标为对A的不公平度。如,可定义对B的不公平度当总席位增加一个时，要么分给A要么分给B,不失一般性可设，即对A不公平。当再分配一个席位时可能有以下3种可能。1、 ，说明给A增加一个仍然对A不公平，自然分给A。2、 ,
16、 说明给A增加一个席位对B不公平，计算rb(n1+1,n2)。3、 ，说明给B增加一个席位对A不公平，计算ra(n1,n2+1)。这样如果则给A方，否则给B.而上式又等价于这样我们定义，增加的一席分配给Q值较大的一方。这种席位分配的方法称为Q值法。32 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇，八人艇四种。各种艇虽然大小不同，但形状相似。T.A.McMahon比较了各种赛艇1964-1970年四次2000m比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），见表5第1到6列，发现它们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某
17、中联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。 200m成绩t（min） 艇长l 艇宽b 艇重(kg) 艇种 1 2 3 4 平均 (m) （m） l / b 桨手数n 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 0.293 27.0 16.3 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 0.356 27.4 13.6 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 0.574 21.0 18.1 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 0.610 30.0 14.7 问题分析 赛艇前进时受到的阻力主要是艇
18、浸没部分与水之间的摩擦力。艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进。桨手越多，划艇前进的动力越大。但是艇与桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大。建模目的是寻找桨手数量与比赛成绩之间的数量规律。从上表中可以看出，桨手数增加时，艇的尺寸，及艇重都随之增加，但比值和变化不大。若假定是常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系。若假定是常数，则可得到艇和桨手的总重量与桨手数之间的关系。此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。模型假设1 各种艇的集合形状相同，为常数；艇重与桨手数成正比。这是艇的静态
19、特征。2 艇速是常数，前进时受的阻力与成正比（是艇浸没部分面积）。这是艇的动态特征。3 所有桨手的体重都相同，记作；在比赛中每个桨手的划浆功率保持不变，且与成正比。模型构成有名桨手的艇的总功率与阻力和速度的乘积成正比，即 （1）由假设2，3代入（1）式可得 （2）由假设1，各种艇几何形状相同，若艇浸没面积与艇的某特征尺寸的平方成正比（），则艇的排水体积必与的立方成正比（），于是有 （3）又根据艇重与桨手数成正比，所以艇和桨手的总重量也与成正比，即 （4）而由阿基米德定律，艇排水体积与总重量成正比，即 （5） 由（3），（4），（5）有 （6）将（6）代入（2）式，当是常数时得到 （7）因为比赛
20、成绩（时间）与成反比，所以就得到了 （8）模型检验设与的关系为和为待定系数。对上式两边取，得到利用最小二乘法根据所给数据拟合上式，得到可以看出（8）式与这个结果吻合得相当好。33 录象机计数器的用途老式的录象机上都有计数器，而没有计时器，一些录音机也有类似的情况。这种计数器有什么用呢，让我们从这样一个问题开始：一盘表明180分钟的录象带从头转到尾，用时184分钟，计数器从0000变到6061。在某一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下一小时的节目。如果计数器读数随着录象带的转动是均匀增加的，那么由于4450已经显著地超过6041的三分之二，即录象带已经转了两
21、小时多，所以显然不能再录一小时的节目。但是你细心地观察一下就会发现，读数并非均匀增长而是先快后慢，这样，回答上面的问题就需要知道读数器读数与录象带转过的时间之间的关系。本节目的就是建立表述这个关系的数学模型。首先，我们要找出计数器读数（记n）与录象带转过的时间（记t）之间的关系，即建立一个数学模型. 模型假设1、 录象带的线速度是常数v;2、 计数器读数n与右轮盘转的圈数（m）成正比，m=kn,k为比例系数；3、 录象带厚度是常数w,空右轮盘半径为r；4、 初始时刻t=0时n=0.模型建立由录象带转m圈的长度和线速度的关系得考虑到w比r小得多及m=kn易得当然还可以用其他的办法得到此式。将上式
22、的两个系数分别记为a和b即得通过实验数据（如下表）经拟合得a=0.,b=0.0145这样题目中的问题就可以解决了。t0102030405060708090n061711411601201924032760309634133715t100110120130140150160170184n40044280454548035051529155255752606134 双层玻璃的功效你是否注意到北方城镇的一些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层的玻璃且中间留有一定空隙，如下图所示，两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气。据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。我们要建立一个模型来描述热量通
23、过窗户的传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如图三右图，玻璃厚度为2d）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。 墙 墙 d d 2d 热传导方向 墙 墙 图 双层玻璃与单层玻璃 模型假设1. 热量的传播过程只有传导，没有对流。2. 室内温度和室外温度保持不变，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。模型构成 热传导过程遵循以下的物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧的温度差为，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与成正比，与d成反比，即 （1）为热传导系数。记双层窗内
24、层玻璃的外侧温度是，外层玻璃的内侧温度是，玻璃的热传导系数是，空气的热传导系数是，由（1），单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为 （2）由（2）可以得 （3）对于厚度为2的单层玻璃，容易写出其热量传导为 （4）两者之比为 （5）显然。由物理学的相关知识，有保守估计，取/=16，又.我们可以看出只与有关，是的减函数。35 动物的身长和体重 四足动物的躯干的长度（不含头尾）与它的体重有什么关系，这个问题有一定的实际意义。比如在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。 动物的生理结构因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的有使用价值
25、的模型。这里我们仅在十分粗略的假设基础上，利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长与体重间的比例关系。 把四肢动物的躯干看做圆柱体，长度、直径、断面面积，入下图所示。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用一些弹性力学的一些研究结果。 设动物在自身体重f 作用下躯干的最大下垂为b，即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究 （1）因为，所以 （2）四足动物躯干示意图动物躯干的相对垂度。太大，四足将无法支撑；太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言已经达到其最合适的数值，换句话说，应视为与这种动物的尺
26、寸无关的常数，于是由（2）式得到再从，以（3）式代入可得即体重与躯干长度的4次方成正比。这样，对于某一种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。教学重点与难点如何将讲解的几个实际问题归结为数学问题，并进行求解。练习实验题学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：（1） 按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。（2） Q值方法：m方席位分配方案：设第i方人数为，已经占有个席位，i=1，2，m.当总席位增加1席时,计算，i=1，2，m 把这一席分给Q值大的一方。（3） dHondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5 A 235 117.5 78.3 58.75 B 333 166.