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1、2 正方形的判定2.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别区别. .1.1.掌握正方形的判定，并会用它们进行有关的论证掌握正方形的判定，并会用它们进行有关的论证和计算和计算. .请同学们画一个四边形，要求它既是矩形又是请同学们画一个四边形，要求它既是矩形又是菱形菱形.正方形的定义：正方形的定义：由正方形的定义可知，由正方形的定义可知， 正方形既是正方形既是有一组邻边相等的矩形有一组邻边相等的矩形，又是有，又是有一一个角为直角的菱形个角为直角的菱形. . 有有一组邻边相等一组邻边相等且且有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边形平行四边形叫做
2、正方形叫做正方形. . 正方形正方形矩形矩形有一组邻边相等有一组邻边相等菱形菱形有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等且有一个角是直角且有一个角是直角平行四边形平行四边形有一个角是直角有一个角是直角 有一组邻边相等有一组邻边相等通过以上回忆，你觉得什么样的四边形是正方形呢通过以上回忆，你觉得什么样的四边形是正方形呢? ?1.1.要使一个菱形成为正方形需要增加的条件是要使一个菱形成为正方形需要增加的条件是 （ ）. .2.2.要使一个矩形成为正方形需添加的条件是要使一个矩形成为正方形需添加的条件是 （ ）. .3.3.要使一个平行四边形成为正方形需要增加的条件要使一个平行四边形
3、成为正方形需要增加的条件是：是：( ) ( ) 有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一组邻边相等且有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角7777下列三个图形都是正方形下列三个图形都是正方形, ,你能说明为什么吗？你能说明为什么吗？555555552525有一组邻边相等并且有一个有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正角是直角的平行四边形是正方形方形. . 既是菱形又是矩形的四边形是正方形既是菱形又是矩形的四边形是正方形. . 两条对角线互相垂直平分两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形且相等的四边形是正方形. .1.1.四个角都相等的四边形是正方形四个
4、角都相等的四边形是正方形. . 2.2.四条边都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形. .3.3.对角线垂直的平行四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形. .4.4.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. .5.5.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形. .6.6.对角线垂直且相等的四边形是正方形对角线垂直且相等的四边形是正方形. .【跟踪训练跟踪训练】【证明证明】 CD CD平分平分ACBACB， DEBCDEBC， DFACDFAC， DEDEDFDF（角平分线上的点到角的两边距离
5、相等）（角平分线上的点到角的两边距离相等） DECDECECFECFCFDCFD9090， 四边形四边形CFDECFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），形）， 四边形四边形CFDECFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）方形） 图图 20.4.1 例例1 1 如图，如图，ABCABC中，中，ACBACB9090，CDCD平分平分ACBACB，DEBCDEBC， DFACDFAC，垂足分别为，垂足分别为E,FE,F求证：求证： 四边形四边形CFDECFDE是正方形是正方形【例题例题】例例2.2.求证：对角线垂直平
6、分且相等的四边形是正方求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形形. . 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD中对角线中对角线ACAC、BDBD相交于相交于点点O O，且，且ACACBDBD，AOAOCOCO， BOBODODO，ACBD.ACBD.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是正方形是正方形. .证明：证明：AOAOCO,BOCO,BODO,DO, 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .又又ACACBD,BD, 平行四边形平行四边形ABCDABCD是矩形是矩形. . 又又ACBD,ACBD, 矩形矩形ABCDABCD是正方形，是正方形，即四边形
7、即四边形ABCDABCD是正方形是正方形小结：小结：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形形. .它没有明确的判定定理，要判定一个四边形它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形菱形又是矩形, ,从而得到这个四边形是正方形从而得到这个四边形是正方形. .ABCDCABD1.1.已知：如图，点已知：如图，点AA、B B、CC、DD分别是正方形分别是正方形ABCDABCD四条边上的点，并且四条边上的点，并且A A=BBA A=BB=CC=CC=DD=DD，求证：四边形求证：四边形
8、A AB BC CD D是正方形是正方形. .由已知正方形证三角形全等；由已知正方形证三角形全等；证菱形；证菱形；再证直角；再证直角； 是正方形是正方形. .证题思路分析证题思路分析【跟踪训练跟踪训练】ABCDEFG G证明：证明：过点过点D D作作DGABDGAB，垂足为，垂足为G.G.ADAD是是CABCAB的平分线的平分线, , DEACDEAC，DGAB,DGAB,DE=DG,DE=DG,同理：同理：DG=DF,DG=DF,DE=DF.DE=DF. DEAC DEAC，DFAB, DFAB, DEC=DFC=90DEC=DFC=90. .又又C=90C=90, , 四边形四边形CEDF
9、CEDF是矩形是矩形, ,四边形四边形CEDFCEDF是正方形是正方形. .2.2.在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，A A、B B的平分的平分线交于点线交于点D.DEACD.DEAC，DFAB.DFAB.求证求证: :四边形四边形CEDFCEDF为正为正方形方形. .1.1.（义乌（义乌中考）下列说法不正确的是中考）下列说法不正确的是( )( )A.A.一组邻边相等的矩形是正方形一组邻边相等的矩形是正方形B.B.对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形C.C.对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形D.D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
10、有一个角是直角的平行四边形是正方形【解析解析】选选D.D.有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形不一定是正方形. .2.2.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，O O是对角线的交点，能判定这个是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（四边形是正方形的是（ ）A AAC=BDAC=BD，ABCDABCD，AB=CDAB=CDB BADBCADBC，A=CA=CC CAO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO，ACBDACBDD DAO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，AB=BCAB=BCC C3.3.（滨州（滨州中考中考) )如图，四边
11、形如图，四边形ABCDABCD中，中，E,F,G,HE,F,G,H分别是分别是AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中点，的中点，（1 1）请判断四边形）请判断四边形EFGHEFGH的形状？并说明为什么的形状？并说明为什么. .（2 2）要使四边形）要使四边形EFGHEFGH为正方形，那么四边形为正方形，那么四边形ABCDABCD的对的对角线应该有怎样的情况？角线应该有怎样的情况？【解析解析】（1 1）四边形）四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. . 连结连结AC,AC,E,FE,F分别是分别是AB,BCAB,BC的中点的中点, ,EFACEFAC，EF= AC.EF= AC.同理同理HGACHGAC，HG= AC.HG= AC.EF HG,EF HG,四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .（2 2）四边形）四边形ABCDABCD的对角线垂直且相等的对角线垂直且相等. .1212一、正方形的定义：一、正方形的定义：