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1、专题六概率与统计题型 1 概率与统计例 1：为调查某中学高三男学生的身高情况，在该中学高三男学生中随机抽取了 40 名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如图 6-1.图 6-1(1)估计该校高三男生的平均身高；(2) 从身高在 170 cm( 含 170 cm) 以上的样本中随机抽取 2人，记身高在 170175 cm 之间的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望(部分参考数据：167.50.125172.50.35177.50.325139.00)解：(1)由频率分布直方图可知，该校高三男学生的平均身高为0.325182.50.1187.50.05174.75(cm)(2)由
2、频率分布直方图知，所抽取的样本中身高在170175cm 之间的人数有 0.07054014(人)，所抽取的样本中身高在 170cm(含 170 cm)以上的人数有(0.0700.0650.0200.010)54033(人)，所以 X 的可能取值为 0,1,2，且有【名师点评】(1)高考中经常以统计图的形式显示相关的数据信息，以统计图为载体来考查概率的相关问题本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力(2)散点图与线性回归方程的有关知识，是高考考试的重要知识点，因此是高考命题的一种重要题型，广东2007 年高考就出过关
3、于线性回归方程知识的大题，因此要注意熟练掌握统计问题最容易出错的两个方面：公式记错、计算出错！【互动探究】1(2014 年北京顺义一模)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图 6-2，其中年龄分组区间是20,25)，25,30)，30,35)，35,40)，40,45(1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在35,40)岁的人数；(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20 名中采用简单随机抽样方法
4、选取 3 名志愿者担任主要负责人记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望图 6-2解：(1)小矩形的面积等于频率，除35,40)外的频率和为(0.070.040.020.01)50.70.500 名志愿者中，年龄在35,40)岁的人数为0065500150(人)(2)用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中“年龄低于 35 岁”的人有 0.1252012(名)，“年龄不低于 35 岁”的人有 0.085208(名)故 X 的可能取值为 0,1,2,3，题型 2 离散型随机变量的期望与方差随机变量的分布列与数学期望紧密相连，只有知道随机变量的分布列，
5、才能够计算出随机变量的数学期望，它们之间是层层递进的关系因此，这类试题经常是以两个小题的形式出现，第一问是为第二问作铺垫的(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望图 6-3解：(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为 i 分”(i0,1,3)，记 Bi为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i分”(i0,1,3)，记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)(2)由题意，随机
6、变量可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性和互斥性，得【规律方法】(1)会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；(2)首先确定 X 的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望(3)离散型随机变量分布列的性质p1p2pn1，这条性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希望同学们在求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒(如 10.040.420.54)，否则将失去自我检查的机会【互动探究】2(2014 年广东珠海二模)A，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列
7、分别为：x15%10%P0.80.2x22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资项目A和B所获得的利润(单位：万元)，求方差D(y1)，D(y2)；解：(1)由题设知，y1和y2的分布列分别为：(2)将x(0 x100)万元投资A项目，(100 x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值注：D(axb)a2D(x)y1510P0.80.2y22812P0.20.50.3E(y1)50.8100.26，D(y1)(56)20.8(106)2
8、0.24，E(y2)20.280.5120.38，D(y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.题型 3 线性回归分析例 3：(2012 届广东珠海摸底)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：其中 i1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，在图 6-4 中画出其散点图；(2)求回归直线方程(结果保留到小数点后两位)；人数xi10152025303540件数yi471215202327(3)预测进店人数为 80 人时，商品销售的件数(结果保留整数)图 6-4解：(1)散点图如图 6-5.图 6-5x3456y2.5344.5【互动探究】3下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量 x(单位：吨)与相应的生产能耗 y(单位：吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图；(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32.5435464.566.5)解：(1)散点图略