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1、两个子空间的直和：两个子空间的直和： 定义：设定义：设W W1 1，W W2 2为数域为数域F F上线性空间上线性空间V V的子空间，的子空间，如果如果W W1 1WW2 2=0=0，则称，则称W W1 1+W+W2 2为子空间为子空间W W1 1，W W2 2的直和，的直和，记为记为W W1 1+W+W2 2。两个子空间的和构成直和的条件：设。两个子空间的和构成直和的条件：设W W1 1，W W2 2是是V V的子空间，则的子空间，则W W1 1+W+W2 2为直和的充要是下列条件之为直和的充要是下列条件之一成立：一成立： (1)W(1)W1 1+W+W2 2中的每个元都能够唯一地表成中的每
2、个元都能够唯一地表成W W1 1的一的一个向量与个向量与W W2 2的一个向量的和的一个向量的和( (简述为每个向量的表法简述为每个向量的表法唯一唯一) )。 (2)(2)零向量能唯一地表成零向量能唯一地表成W W1 1的一个向量与的一个向量与W W2 2的的一个向量的和一个向量的和( (简述为零向量表法唯一简述为零向量表法唯一) )。 (3)dim(3)dim（W W1 1+W+W2 2）=dim W=dim W1 1+dim W+dim W2 2 （当（当W W1 1，W W2 2有限维时）有限维时）多个子空间的直和多个子空间的直和 设W1，W2，Wr都是线性空间V的子空间。如果 则称W1
3、+ W2+ Wr为子空间W1，W2，Wr的直和，记为W1+ W2+ Wr。说明说明：一定要注意这里的条件是 ，不是Wi Wj =0，初学者很容易出错。多个子空间的和构成直和的条件多个子空间的和构成直和的条件设 W1，W2，Wr是线性空间V的子空间，则 W1+ W2+ Wr构成直和的充要条件是下列之一成立：1 1） W W1 1+ W+ W2 2+ W+ Wr r中每个向量表法唯一；中每个向量表法唯一；2 2） W W1 1+ W+ W2 2+ W+ Wr r中的零向量表法唯一；中的零向量表法唯一；3 3） dimdim（W W1 1+ W+ W2 2+ W+ Wr r）= = dim W di
4、m W1 1+dim W+dim W2 2+dim W+dim Wr r。 （当（当W W1 1，W W2 2，W Wr r均为有限维时）。均为有限维时）。.,., 21的一个映射的一个映射到到的坐标之间的对应就是的坐标之间的对应就是因此向量与它因此向量与它中的元素中的元素而向量的坐标可以看作而向量的坐标可以看作确定的坐标确定的坐标中的每个向量都有唯一中的每个向量都有唯一这组基下这组基下在在的一组基的一组基维线性空间维线性空间是是设设RVRVVnnnnnnn .11., 算的关系上算的关系上在它与运在它与运这个对应的重要性表现这个对应的重要性表现对应的映射对应的映射的一个的一个与与我们称这样的
5、映射是我们称这样的映射是中的不同元素中的不同元素因而对应因而对应同同中不同的向量的坐标不中不同的向量的坐标不同时同时应应中的向量与之对中的向量与之对中的每个元素都有中的每个元素都有由于由于 RVRVVRnnnnnn线性空间的同构线性空间的同构的坐标分别为的坐标分别为与与于是于是 k nnbbbaaann 21212121 设设则则和和下下的的坐坐标标分分别别为为在在基基即即向向量量,),(),(,212121bbbaaaVnTnTn nnnbababa)()()(222111 nnakakakk 2211),(),( ),(21212211bbbaaabababanTnTnnT ),(),(2
6、121aaakakakaknTnT . . ,: 点点下面更确切地说明这一下面更确切地说明这一的讨论的讨论归结为归结为的讨论就的讨论就因而线性空间因而线性空间就归结为坐标的运算就归结为坐标的运算它们的运算它们的运算在向量用坐标表示后在向量用坐标表示后上式表明上式表明RVnn定义定义设设 是两个线性空间，如果它们的元素是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间组合的对应，那末就称线性空间 与与 同构同构.UVVU、例如例如维维线线性性空空间间n RxxxxxxVnnnn ,212211 与与 维
7、数组向量空间维数组向量空间 同构同构. nnR因为因为),( )1(21nTnnxxxRV中中的的元元素素与与中中的的元元素素 形成一一对应关系；形成一一对应关系；Vnnnxxx 2211) , , ,(21nTxxxx Rn设设)2(则有则有),(),(2121nTnTyyyxxx ),(21nTxxx ),(21nTyyy ),(21nTxxx 同维数的线性空间必同构同维数的线性空间必同构同构的线性空间之间具有反身性、对称性同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性与传递性结论结论数域数域 上任意两个上任意两个 维线性空间都同维线性空间都同构构nP同构的意义同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数维线性空间唯一本质的特征就是它的维数