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1、项目4：综合指标分析-平均指标1第四章第四章 平均指标和变异指标平均指标和变异指标第一节第一节 平均指标的概念和作用平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和特点一、平均指标的概念和特点（一）平均指标的概念（一）平均指标的概念反映总体各单位某一变量值一般水平的统计反映总体各单位某一变量值一般水平的统计指标。指标。如企业职工平均工资如企业职工平均工资10001000（元（元/ /人）人）、学生平学生平均成绩均成绩8080（分（分/ /人）等。人）等。（二）平均指标的特点（二）平均指标的特点（1 1）只能就同质总体进行计算，反映总体只能就同质总体进行计算，反映总体各单位某一数量标志值的一般水平各单位
2、某一数量标志值的一般水平；（2 2）掩盖了总体单位之间的变异）掩盖了总体单位之间的变异；（3 3）反映总体各单位变量值分布的集中趋）反映总体各单位变量值分布的集中趋势。势。VAR00001174.0173.0172.0171.0170.0169.0168.0167.0166.0165.0164.0163.0162.0161.0160.0159.0158.0157.0156.0155.0154.0153.0152.014121086420Std. Dev = 4.86 Mean = 163.3N = 83.0083名学生的身高分布名学生的身高分布学生身高密集地学生身高密集地分布在平均数周围分布在
3、平均数周围算术平均数算术平均数（三）平均指标的作用（三）平均指标的作用 1 1、比较同类现象在不同国家、不同地区比较同类现象在不同国家、不同地区和不同单位之间的差别；和不同单位之间的差别；2 2、同时间数列结合，研究现象的发展过同时间数列结合，研究现象的发展过程和趋势；程和趋势；3 3、分析现象之间的依存关系；分析现象之间的依存关系； 4 4、为科学管理提供依据。为科学管理提供依据。例如：定额的平均先进性。例如：定额的平均先进性。二、平均指标的种类二、平均指标的种类 1 1、按其反映的时间状况不同、按其反映的时间状况不同（1 1）静态平均指标）静态平均指标（2 2）动态平均指标）动态平均指标时
4、间数列时间数列 2 2、按照计算方法不同、按照计算方法不同 （1 1）算术平均数）算术平均数 （2 2）调和平均数）调和平均数（3 3）几何平均数）几何平均数（4 4）众）众 数数（5 5）中位数）中位数数值平均数数值平均数位置平均数位置平均数第二节第二节 平均指标的计算方法平均指标的计算方法一、算术平均数法一、算术平均数法（一）概念：（一）概念：总体标志总量除以总体单位总量计总体标志总量除以总体单位总量计算平均指标的方法。算平均指标的方法。（二）计算（二）计算总体单位总量总体标志总量算术平均数 二、计算算术平均数的两种具体方法二、计算算术平均数的两种具体方法（一）简单算术平均法（一）简单算术
5、平均法 适用于根据原始资料计算平均指标适用于根据原始资料计算平均指标1 1、计算原理、计算原理将总体各单位变量值直接相加得到总体标志总量，将总体各单位变量值直接相加得到总体标志总量，再用总体标志总量除以总体单位总量计算平均指标。再用总体标志总量除以总体单位总量计算平均指标。2 2、计算公式：、计算公式：nxnxxxxXniin1321nx 例例 ：某生产班组：某生产班组1010名工人日产零件数分别名工人日产零件数分别是是4545件、件、4848件、件、5252件、件、6262件、件、6969件、件、4444件、件、5252件、件、5858件、件、3838件、件、6464件。计算工人平均日产量。
6、件。计算工人平均日产量。1064385852446962524845:X工人平均日产量解)/( 2 .5310532人件总体标总体标志总量志总量总体单总体单位总量位总量（二）加权算术平均数（二）加权算术平均数适用于根据分组资料计算平均指标适用于根据分组资料计算平均指标1 1、计算原理、计算原理在对总体进行分组的基础上，用各组变量值乘以在对总体进行分组的基础上，用各组变量值乘以各组单位数，汇总得到总体标志总量，继而计算平均各组单位数，汇总得到总体标志总量，继而计算平均指标。指标。 2 2、计算公式、计算公式nnnfffffxfxfxfxX321332211fxfffx总体标志总体标志总量总量总体
7、单位总体单位总量总量3 3、权数及其两种形式、权数及其两种形式（1 1）权数的含义）权数的含义变量数列中各组单位数变量数列中各组单位数( (频数频数) )或各组单位数或各组单位数占总体单位总数的比重（频率），因其对平均数占总体单位总数的比重（频率），因其对平均数有影响，故称有影响，故称“权数权数”。 （2 2）权数的形式）权数的形式绝对数形式绝对数形式相对数形式相对数形式 fff 例例 甲、乙、丙三个企业职工工资资料如下，甲、乙、丙三个企业职工工资资料如下，分别计算职工平均工资。分别计算职工平均工资。月工资月工资(元元) 职工人数职工人数 甲甲乙乙丙丙800以下以下 1001000300800
8、1000 20020002001000120030030001001200140060060004001400160040040006001600 以上以上2002000200合合 计计1800180001800职工平均工资计算表职工平均工资计算表工工资资（元）（元）组组中中值值（元）（元）企企 业业甲甲乙乙丙丙人数人数f工资工资总额总额xf人数人数f工资工资总额总额xf人数人数f工资工资总额总额xf800以下以下 7001007100070300218001000 9002001820001802001810001200110030033300033010011120014001300600
9、78600078040052140016001500400604000600600901600 以上以上1700200 34 2000340 200 34 合合 计计18002301800023001800226平均工资: 甲企业Xfxf)/(8 .127718002300000人元)/(8 .12771800023000000人元乙企业X)/(6 .12551800022600000人元丙企业X结论：从本质上说，影响平均数大小的不是结论：从本质上说，影响平均数大小的不是权数的绝对数形式权数的绝对数形式“f ” ，而是权数的相对数形而是权数的相对数形式式。ff 例例 ：某企业工人生产情况资料如
10、下，计算平均日产量。：某企业工人生产情况资料如下，计算平均日产量。日产量日产量（件）（件）x 工人数比重（工人数比重（%）15516101718183019222015合合 计计100ff解：工人平均日产量：人）（件 /18%1520%2219%3018%1817%1016%5152211ffxffxffxffxXnn计算过程见下表计算过程见下表 日产量日产量（件）（件）x 工人数比重（工人数比重（%） （1）（2）（3）=（1）（2）1550.7516101.6017183.0618305.4019224.1820153.00合合 计计10018.00ffxff工人平均日产量计算表工人平均日
11、产量计算表（三）算术平均数的数学性质（三）算术平均数的数学性质 总体各单位变量值与总体平均数离差的总体各单位变量值与总体平均数离差的算术和等于零算术和等于零0)(1Xx）（0)()2(fXx大于平均数的变量值大于平均数的变量值小于平均数的变量值小于平均数的变量值总体平均数x012345678910-5-4-3-2-1012345xx（四）简单算术平均数与加权算术平均数的关系（四）简单算术平均数与加权算术平均数的关系简单算术平均数简单算术平均数加权算术平均数加权算术平均数区区别别1 1、根据原始资料计算；、根据原始资料计算；2 2、变量值出现的次数相等；、变量值出现的次数相等；3 3、平均数不受
12、权数的影响。、平均数不受权数的影响。1 1、根据分组资料计算；、根据分组资料计算；2 2、各组变量值出现的次数不同；、各组变量值出现的次数不同；3 3、平均数受权数的影响。、平均数受权数的影响。联联系系1 1、都是算术平均数的具体形式；、都是算术平均数的具体形式；2 2、当总体各组次数相等（、当总体各组次数相等（f f1 1 = = f f2 2 = = f f3 3 = = f fn n = = c c）时，次数时，次数就失去了权数的作用，加权算术平均数转化为简单算术平均就失去了权数的作用，加权算术平均数转化为简单算术平均数。数。nxncxcffffxfxfxfxfXnnn.212211nx
13、ncxcncxxxcffffxfxfxfxfXnnnn)(.21212211（五）算术平均数与强度相对数的区别（五）算术平均数与强度相对数的区别例例1 1：某自行车厂有生产工人：某自行车厂有生产工人500500人，年产自人，年产自行车行车120120万辆。万辆。平均每人每年生产自行车平均每人每年生产自行车 例例2 2：某地人口：某地人口120120万人，该地自行车保有量万人，该地自行车保有量100100万辆。万辆。人均自行车拥有量人均自行车拥有量人）辆/(2400500120人）辆/(83. 0120100平均指标强度相对指标1 1、性质不同。、性质不同。2 2、分子指标和分母指标的关系不同。
14、、分子指标和分母指标的关系不同。(1)(1)算术平均数的分子指标和分母指标来自算术平均数的分子指标和分母指标来自同一总体，分别是总体的标志总量和单位总量；同一总体，分别是总体的标志总量和单位总量；强度相对数的分子指标和分母指标则来自两个强度相对数的分子指标和分母指标则来自两个不同总体。不同总体。(2)(2)算术平均数的分子指标随着分母指标的算术平均数的分子指标随着分母指标的变动而变动，强度相对数不存在这样的关系。变动而变动，强度相对数不存在这样的关系。二、调和平均数法二、调和平均数法 例例 ：市场上早、中、晚蔬菜的价格分别是早晨：市场上早、中、晚蔬菜的价格分别是早晨： 0.670.67元元/
15、/斤，中午斤，中午0.50.5元元/ /斤，晚上斤，晚上0.40.4元元/ /斤。分别按斤。分别按四种方法在购买蔬菜，计算蔬菜的平均价格。四种方法在购买蔬菜，计算蔬菜的平均价格。第一种买法第一种买法：早、中、晚各买一斤：早、中、晚各买一斤 则：蔬菜的平均价格则：蔬菜的平均价格nxX斤）（元 /523.034.05.067.0简单算术平均法第二种买法：早晨买第二种买法：早晨买1 1斤，中午买斤，中午买2 2斤，晚上买斤，晚上买3 3斤斤ffxX斤）（元/478. 032134 . 025 . 0167. 0加权算术平均法平均价格平均价格第三种买法：早、中、晚各买一元第三种买法：早、中、晚各买一元
16、 简单调和平均法简单调和平均法时间时间价格价格（元（元/斤）斤）花费花费（元（元)数量数量（斤）（斤）早早0.671中中0.501晚晚0.41合计合计365 . 167. 0125 . 015 . 24 . 01蔬菜平均价格蔬菜平均价格4 . 015 . 0167. 01111总数量总花费xnxxxnXn111121= 0.5= 0.5（元（元/ /斤）斤）上述计算平均价格的过程可以用公式表示为上述计算平均价格的过程可以用公式表示为简单调和平均数：变量值倒数简单算术平简单调和平均数：变量值倒数简单算术平均数的倒数。均数的倒数。、分别为、设nnYYYxxx2121111nxxxnX11121则：
17、ynyyynn21的倒数形式是而nyyn第四种买法第四种买法:早、中、晚分别买早、中、晚分别买1元、元、2元和元和3元元 加权调和平均法加权调和平均法时间时间价格价格（元（元/斤）斤）花费花费（元）（元）数量数量（斤）（斤）早早0.671中中0.502晚晚0.43合计合计6135 . 167. 0145.025.74.03蔬菜平均价格蔬菜平均价格)/(46. 04 . 035 . 0267. 01321斤元总数量总花费XmxmxmxmxmmmmXnnn1221121则蔬菜的平均价格。和332211,xmxmxm设早、中、晚购买蔬菜的价格分别为设早、中、晚购买蔬菜的价格分别为x x1 1、x x
18、2 2和和x x3 3，购买蔬菜的花费分别为购买蔬菜的花费分别为m m1 1、m m2 2和和m m3 3，则早、中、晚购买蔬菜的数量分别则早、中、晚购买蔬菜的数量分别为：为：加权调和平均数：变量值倒数加权算术平加权调和平均数：变量值倒数加权算术平均数的倒数。均数的倒数。、分别为、设nnYYYxxx2121111mymmmmmfymymymynnn321332211的倒数形式为：公式mxmxmxmxmmmmXnnn1221121调和平均数调和平均数总体各单位变量值倒数算术平均数的倒数。总体各单位变量值倒数算术平均数的倒数。说明：当变量数列中各组标志总量相等时，说明：当变量数列中各组标志总量相等
19、时，简单调和平均数和加权调和平均数相等。简单调和平均数和加权调和平均数相等。xnmxm11即证明略证明略 例例 ：某企业：某企业6 6月份职工工资资料如下，计月份职工工资资料如下，计算该企业职工平均工资。算该企业职工平均工资。工资（元）工资（元）工资总额工资总额500以下以下 6750500600 24750600700 35100700800 22500800以上以上5100合合 计计94200工资（元）工资（元）组中值组中值x工资工资总额总额m职工人数职工人数500以下以下 450675015500600 5502475045600700 6503510054700800 75022500
20、30800以上以上85051006合合 计计94200150 xm职工平均工资计算表职工平均工资计算表)/(62815094200人元职工人数工资总额职工平均工资 xmmX教材109页 第4题答案计划完成计划完成（%）企业数企业数（个）（个）计划产值计划产值（万元）（万元）90100380100110124001101205120合合 计计20600某公司第一季度产值资料某公司第一季度产值资料%10012040080120%115400%10580%95%100%100计划产值各组计划产值各组产值计划完成程度计划产值实际产值平均计划完成程度ffxX加权算术平均法加权算术平均法计划完成计划完成（
21、%）企业数企业数（个）（个）实际产值实际产值（万元）（万元）90100380100110124001101205120合合 计计20600某公司第一季度产值资料某公司第一季度产值资料%100%115120%105400%958012040080%100%100各组产值计划完成程度各组实际产值各组实际产值计划产值实际产值平均计划完成程度xmmX加权调和平均法加权调和平均法三、几何平均数三、几何平均数 适用于呈几何级数变动的变量值适用于呈几何级数变动的变量值（一）几何平均数的概念（一）几何平均数的概念 n n个变量值连乘积的个变量值连乘积的n n次方根。次方根。（二）几何平均数的计算（二）几何平均
22、数的计算1 1、简单几何平均数、简单几何平均数nnxxxx321nxG适用于未分组的原始资料适用于未分组的原始资料例：某企业有毛坯、粗加工、精加工、例：某企业有毛坯、粗加工、精加工、装配等四个连续作业的车间，在产成品生装配等四个连续作业的车间，在产成品生产过程中，各车间制品的合格率分别为产过程中，各车间制品的合格率分别为9797、9393、9191和和8787，求产成品合格率。，求产成品合格率。 分析；在连续作业的生产过程中，前一分析；在连续作业的生产过程中，前一车间制品合格是后续车间制品合格的基础：车间制品合格是后续车间制品合格的基础：如果前一车间制品不合格，那么后续车间如果前一车间制品不合
23、格，那么后续车间制品也一定不合格；前一车间制品合格，制品也一定不合格；前一车间制品合格，后续车间制品可能合格，也可能不合格。后续车间制品可能合格，也可能不合格。该企业产成品合格率为：该企业产成品合格率为：4%87%91%93%97nnxxxxG321= 91.3%= 91.3%练习练习: :某人在银行存入本金某人在银行存入本金10001000元，存期三年，存元，存期三年，存款利率分别为款利率分别为1010，1515和和2020，计算平均利率。，计算平均利率。三年后此人的银行存款本息之和为：三年后此人的银行存款本息之和为： 1000 1000元（元（1 11010）（）（1 11515）（）（1
24、 12020）15181518元元%93.11420. 115. 110. 13321nnxxxxG则：则：平均利息率平均利息率=114.93%-100%=14.93%平均本利息率为：平均本利息率为：三年总本利率三年总本利率= =%)201 (%)151 (%)101 (100015182 2、加权几何平均数、加权几何平均数nnfffffnfffxxxxG321321321),(为连乘符号其中ffx适用于分组资料适用于分组资料练习练习: :某人在银行存入本金某人在银行存入本金10001000元，存期元，存期1010年。其中，有年。其中，有4 4年存款利率为年存款利率为1010，有，有3 3年存
25、款年存款利率为利率为1515，有，有3 3年存款利率为年存款利率为2020，计算平，计算平均利率。均利率。%92.12320. 115. 110. 110334321321ffnfffnxxxxG则：则：平均利息率平均利息率=123.92%-100%=23.92%四、中位数四、中位数（一）概念（一）概念将总体各单位变量值按大小顺序排列，居将总体各单位变量值按大小顺序排列，居于中间位置的变量值。于中间位置的变量值。符号：符号：M Me e（二）中位数的中位数的计算计算1 1、根据原始资料确定中位数、根据原始资料确定中位数（1 1）总体单位数）总体单位数n n为奇数。为奇数。21nexM中位数其中
26、，其中，n n表示总体单位总数表示总体单位总数例：某班组例：某班组1111名工人生产情况资料如下，名工人生产情况资料如下，求该班组工人生产零件数的中位数。求该班组工人生产零件数的中位数。14 15 18 19 22 22 24 27 29 32 3414 15 18 19 22 22 24 27 29 32 3421nexM中位数（2 2）总体单位数）总体单位数n n为偶数为偶数 例：某班组例：某班组1010名工人生产零件数如名工人生产零件数如下，求中位数。下，求中位数。 2122nnexxM中位数14 15 18 19 22 22 24 27 29 3214 15 18 19 22 22 2
27、4 27 29 322122nnexxM2 2、根据单项数列计算中位数、根据单项数列计算中位数基本步骤：基本步骤：第一，按第一，按 确定中位数的位次；确定中位数的位次； 第二，计算累计次数；第二，计算累计次数； 第三，根据中位数的位次对照累计次第三，根据中位数的位次对照累计次数数列判断中位数所在组；数数列判断中位数所在组；第四，中位数所在组对应的变量值第四，中位数所在组对应的变量值即为中位数。即为中位数。2f 例：某生产班组工人按生产零件数分组表例：某生产班组工人按生产零件数分组表日生产零件数（件） 工人数 （人）累计次数（向上累计） 211010222030233060242080合 计80
28、要求：计算工人日生产零件数的中位数要求：计算工人日生产零件数的中位数（1 1）各组次数分布：）各组次数分布： 1021,21 2022,22 3023,23 2024,24 10)21(第一组30)22(第二组60)23(第三组80)24(第四组工人日生产零件数的中位数的位次是第工人日生产零件数的中位数的位次是第40位，根据累计频数分布，中位数很显然分布第三位，根据累计频数分布，中位数很显然分布第三组（组（ 23件）件）。（2）累计次数分布：）累计次数分布：【例【例】某车间某车间5050名工人月产量的资料如下：名工人月产量的资料如下：月产量（件）月产量（件） 工人人数（人）工人人数（人）向上累
29、计次数向上累计次数（人）（人）200以下以下200400400600600以上以上373283104250合计合计50XfdfSfLMmme12 件75.4934006003210250400eM中位数组（2 2）根据组距数列确定中位数）根据组距数列确定中位数步骤：步骤：第一，确定中位数位次第一，确定中位数位次 ；第二，计算累计次数；第二，计算累计次数；第三，根据中位数的位次对照累计次数数列第三，根据中位数的位次对照累计次数数列判断中位数所在组；判断中位数所在组；第四，假定变量值在中位数组呈均匀分布，第四，假定变量值在中位数组呈均匀分布，用比例法计算中位数用比例法计算中位数 。2f中位数计算示
30、意图中位数计算示意图个单位共2f个单位共1mSLU组距组距dmf中位数组次数：个单位共12mSfdfSfLMmme12下限公式LMsfdfemm12dfsfLMmme12中位数中位组下限中位组次数中位组组距中位数组上一组累计次数中位数位次五、众数五、众数（一）众数的含义（一）众数的含义总体中出现次数最多或频率最高的变总体中出现次数最多或频率最高的变量值。量值。 比如人们的结婚年龄，服装、鞋、袜、比如人们的结婚年龄，服装、鞋、袜、帽的尺码，集贸市场上某种商品的价格帽的尺码，集贸市场上某种商品的价格等等，都存在众数。等等，都存在众数。说明：众数的稳健性说明：众数的稳健性（二）众数的计算（二）众数的
31、计算1 1、根据原始资料确定众数、根据原始资料确定众数直观观察直观观察例：例：1010个人的结婚年龄分别是个人的结婚年龄分别是2424、2525、2525、2525、2626、2626、2727、2727、2929、3030岁。岁。很显然，很显然，2525出现的次数最多，因此，这出现的次数最多，因此，这1010个个人的结婚年龄的众数是人的结婚年龄的众数是2525岁。岁。2 2、根据单项数列确定众数、根据单项数列确定众数直观观察直观观察例：某生产班组例：某生产班组100100名工人生产情况资料名工人生产情况资料工人日产量（件）工人日产量（件） 人数（人）人数（人） 115128131014121
32、53116181716合合 计计100由于由于日产量日产量15件的件的工人最多，所以，工人工人最多，所以，工人日产量的众数是日产量的众数是15件。件。 3 3、根据组距数列确定众数、根据组距数列确定众数（1 1）判断众数所在组；判断众数所在组；（2 2）假定变量值在众数组以及众数组前后假定变量值在众数组以及众数组前后两组呈均匀分布；两组呈均匀分布；（3 3）按照比例法计算众数的近似值。按照比例法计算众数的近似值。设设M M。为众数，为众数，L L为众数所在组下限，为众数所在组下限， f f0 0为众为众数所在组的次数，数所在组的次数， f f-1-1为众数所在组下一组的次为众数所在组下一组的次
33、数，数，f f+1+1为众数所在组上一组的次数。为众数所在组上一组的次数。众数dffffffLM)()(1010100）（月产量（件）月产量（件） 工人人数（人）工人人数（人）200以下以下200400400600600以上以上37328合计合计50XfdLMo211件502200242525400oM说说 明明1 1、众数只能在等距数列条件下计算；、众数只能在等距数列条件下计算；2 2、假定变量值在众数组以及众数组前、假定变量值在众数组以及众数组前后两组呈均匀分布。后两组呈均匀分布。成成 绩绩人数人数组中值组中值资料资料资料资料60以下以下1502055608087060、656570、787880以上以上1908095合合 计计10某班学生按考试成绩分组资料某班学生按考试成绩分组资料关于组中值的解释（根据组中值计算的平均值标是不准确的）关于组中值的解释（根据组中值计算的平均值标是不准确的）