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1、 第1页 专题十二专题十二 指数式、对数式的运算指数式、对数式的运算 考点一考点一 指数式的运算指数式的运算 【基本知识基本知识】 1根式 (1)根式的概念 若 xna，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN*式子na叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数 (2)a 的 n 次方根的表示 xna xna当n为奇数且n1时，xna当n为偶数且n1时 (3)根式的性质 (na)na(a 使na有意义) 当 n 是奇数时，nana；当 n 是偶数时，nan|a| a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1) 负分数指数幂：amn1amn1nam(a0，m，nN*，且 n1)
2、0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质 arasars(a0，r，sQ)；arasars(a0，r，sQ)； (ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ) 注意：(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于 0，否则不能用性质来运算 (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂 【方法总结方法总结】 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数 (4)
3、若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答 (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一 【例题选讲例题选讲】 例例 1 计算：(1) 23502221412(0.01)0.5_； 第2页 答案 1615 解析 原式1144912110012114231101161101615 (2) (0.027)13 17227912 ( 21)0_； 答案 45 解析 原式271 00013 7225912 11034953145 (3) 3a92 a33a73a13_； 答案 1 解析 原式(a92 a32 )13 (a73 a1
4、33 )12 (a3)13 (a2)12 aa1 (4) 56a13 b2(3a12 b1)(4a23 b3)12 (a，b0) _； 答案 5 ab4ab2 解析 原式52a16 b3(4a23 b3)12 54a16 b3(a13 b32 )54a12 b32 541ab35 ab4ab2 (5) 若 x12x123，则x32x322x2x23_ 答案 25 解析 由 x12x123，得 xx129，所以 xx17，所以 x2x2249，所以 x2x247因为 x32x32(x12x12)33(x12x12)27918，所以原式18247325 【对点对点训练训练】 1若实数 a0，则下列
5、等式成立的是( ) A(2)24 B2a312a3 C(2)01 D(a14)41a 1答案 D 解析 对于 A，(2)214，故 A 错误；对于 B，2a32a3，故 B 错误；对于 C，(2)01， 故 C 错误；对于 D，(a14)41a，故 D 正确 2化简 4a23b13(23)a13b23的结果为( ) A2a3b B8ab C6ab D6ab 2答案 C 解析 原式6a23(13) b13236ab16ab 3(36a9)4(63a9)4(a0)等于( ) Aa16 Ba8 Ca4 Da2 3答案 C 解析 原式9 19 1446 33 6aa a2a2a22a4 4已知 2a5
6、bm，且1a1b2，则 m 等于( ) A 10 B10 C20 D100 第3页 4解析 A 解析 由题意得 m0，2am，5bm，21am，51bm，251am1bm11abm+， m210，m 10 5计算：32227823(0.002)12_ 5答案 10 5 解析 原式23232323150012494910 510 5 6化简：1412（ 4ab1）3（0.1）1（a3b3）12(a0，b0)_ 6答案 85 解析 原式223a32b3210a32b3221310185 7278230.0021210( 52)10_ 7答案 1679 解析 原式3225001210（ 52）（ 5
7、2）（ 52）14910 510 5201 1679 8若 x0，则(2x14332)(2x14332)4x12 (xx12)_ 8答案 23 解析 因为 x0，所以原式(2x14)2(332)24x12x4x12x124x124 23322 4x 112 4x1122 4x12334x124x027423 90.064152.5 2339380_ 9答案 0 解析 原式4103155223 323131523210 10已知3a2b1，则9a3b3a_ 10答案 3 解析 由3a2b1，得9a3b3a32a3 312a32a32a+312a2a3 11计算下列各式： (1)112121333
8、63232x yxyx y；(2) 11134423xx y43326xy 11解 (1)11212133363232x yxyx y13(2)111122326333xy + +6x0y16y (2)11134423xx y43326xy2(3)(6)1411333442xy + + x2y 12计算： 第4页 (1)733332463194333； (2)140.00813780111230.2538138+10130.027 12解 (1)原式7133 31332623311433 31336233133 213323233213321330 (2)原式144310 (31)111213
9、32+ 10()1330.3 310113121233+ 100.31031330 考点二考点二 对数式的运算对数式的运算 【知识梳理知识梳理】 1对数的概念 (1)对数的定义 如果 axN(a0， 且 a1)， 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 xlogaN， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数 (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a0，且 a1) logaN 常用对数 底数为 10 lgN 自然对数 底数为 e lnN 2对数恒等式 alogaNN (a0 且 a1，N0) 3对数的性质 (1)1 的对数是零，即 loga10(a0 且 a1
10、)； (2)底数的对数等于 1，即 logaa1(a0 且 a1)； (3)负数和零没有对数 4对数的运算法则 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)； 5对数的换底公式及推广 换底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零，且不等于 1)； 推广：(1)logablogba1，即 logab1logba(a，b 均大于 0 且不等于 1)； 第5页 (2)logambnnmlogab(a，b 均大于 0 且不等于 1，m0，nR)； 【方法总结方法总结】 对数运算问题的基本原
11、则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行 (2)两种常用的方法：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差) (3)利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 【例题选讲例题选讲】 例例 2 计算下列各式： (1)lg 2lg 5lg 8lg 50lg 40_； 答案 1 解析 原式lg258lg5040lg54lg541； (2) lg 325lg 935lg 27lg 3lg 81lg 27_； 答案 115 解析 法一：原式lg
12、345lg 3910lg 312lg 34lg 33lg 314591012lg 343lg 3115； 法二：原式lg3925271 32 5312lg8127lg 3115lg 3115； (3) lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_； 答案 2 解析 原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2； (4) (lg 3)2lg 91(lg 27lg 8lg 1 000)lg 0.3lg 1.2_； 答案 32 解析 原式(lg 3)22lg 3132lg 33lg 232(lg 31)(
13、lg 32lg 21)(1lg 3)32(lg 32lg 21)(lg 31)(lg 32lg 21)32； (5) log23log38( 3)log34_； 第6页 答案 5 解析 原式lg 3lg 23lg 2lg 33log 431233log32325； (6)(log32log92)(log43log83)_ 答案 54 解析 原式lg 2lg 3lg 2lg 9lg 3lg 4lg 3lg 8lg 2lg 3lg 22lg 3lg 32lg 2lg 33lg 23lg 22lg 35lg 36lg 254 【对点对点训练训练】 13(log29)(log34)( ) A14 B1
14、2 C2 D4 13答案 D 解析 法一：原式lg 9lg 2lg 4lg 32lg 32lg 2lg 2lg 34法二：原式2log23log24log23224 14(log29)(log32)loga54loga45a (a0，且 a1)的值为( ) A2 B3 C4 D5 14答案 B 解析 原式(2log23)(log32)loga5445a 21logaa3 15如果 2loga(P2Q)logaPlogaQ(a0，且 a1)，那么PQ的值为( ) A14 B4 C1 D4 或 1 15答案 B 解析 由 2loga(P2Q)logaPlogaQ，得 loga(P2Q)2loga(
15、PQ)由对数运算性质得(P 2Q)2PQ，即 P25PQ4Q20，所以 PQ(舍去)或 P4Q，解得PQ4 16 (log23)24log234log213( ) A2 B22log23 C2 D2log232 16 答案 B 解析 (log23)24log234 (log232)22log23， 又 log213log23， 两者相加即为 B 17计算：1lg 2lg 5lg 2lg 50log35log259lg 5( ) A1 B0 C2 D4 17答案 B 解析 原式1lg 2lg 5lg 2(1lg 5)lg 5lg 32lg 32lg 5lg 51lg 2lg 5lg 2lg 2l
16、g 5lg 5 1(lg 2lg 5)1lg 10110 18已知 lg a，lg b 是方程 2x24x10 的两个实根，则 lg(ab)lgab2( ) A2 B4 C6 D8 18答案 B 解析 由已知，得 lg alg b2，即 lg(ab)2又 lg alg b12，所以 lg(ab)lgab22(lg a lg b)22(lg alg b)24lg alg b222412224，故选 B 19log225log3(2 2)log59_ 19答案 6 解析 法一：log225log3(2 2)log59log252log3232log5326log25log32log536 法二：l
17、og225log3(2 2)log59lg 25lg 2lg（2 2）lg 3lg 9lg 5lg 52lg 2lg 232lg 3lg 32lg 56 第7页 20已知 2x12，log213y，则 xy 的值为_ 20答案 2 解析 因为 2x12，所以 xlog212，所以 xylog212log213log242 21(1log63)2log62log618log64_ 21答案 1 解析 原式(log66log63)2log62log618log622(log62)2log62log6182log62log62(log62log618)2log62 log62log6(218)2lo
18、g62log62log6362log622log622log621 22计算：log5412log210(3 3)237log72_ 22答案 1 解析 原式log52log210(332)232log5(1032)log551 23化简与求值： (1)log327lg1100ln e21 log 32 +；(2)13127(log316)log219 23解 (1)log327lg1100ln e21 log 32 +log333lg 10212lne122log 323log33lg 10212123 3212323 (2)13127(log316)log21913313 lg 16lg
19、3lg 2lg191314lg 2lg 32lg 3lg 23811 24计算下列各式的值： (1)log535122log2log5150log514； (2)(log2125log425log85)(log52log254log1258) 24解 (1)原式log535log550log51412122log 2log535501412log 2log55312 (2)方法一 原式log253log225log24log25log28log52log54log525log58log51253log252log252log22log253log22 log522log522log553log523log553113log25(3log52)13log25log22log2513 方法二 原式lg 125lg 2lg 25lg 4lg 5lg 8lg 5lg 2lg 4lg 25lg 8lg 1253lg 5lg 22lg 52lg 2lg 53lg 2lg 5lg 22lg 22lg 53lg 23lg 513lg 53lg 23lg 2lg 513