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1、 第三章 第二课时利用导数研究函数的极值、最值考点分层突破课后巩固作业内容索引12/考点分层突破题型剖析考点聚焦1索引考点一利用导数求函数的极值/多维探究多维探究角度角度1根据函数图象判断极值根据函数图象判断极值【例【例1】 设函数设函数f(x)在在R上可导，其导函数为上可导，其导函数为f(x)，且函数，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()DA.函数函数f(x)有极大值有极大值f(2)和极小值和极小值f(1)B.函数函数f(x)有极大值有极大值f(2)和极小值和极小值f(1)C.函数函数f(x)有极大值有极大值f(2)和极
2、小值和极小值f(2)D.函数函数f(x)有极大值有极大值f(2)和极小值和极小值f(2)索引解析解析由题图可知，当由题图可知，当x0；当当2x1时，时，f(x)0；当；当1x2时，时，f(x)2时，时，f(x)0.由此可以得到函数由此可以得到函数f(x)在在x2处取得极大值，处取得极大值，在在x2处取得极小值处取得极小值.索引感悟升华由图象判断函数由图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点：的极值，要抓住两点：(1)由由yf(x)的图象与的图象与x轴的交点，轴的交点，可得函数可得函数yf(x)的可能极值点；的可能极值点；(2)由导函数由导函数yf(x)的图象可以看出的图象可以看出yf(x)的的
3、值的正负，从而可得函数值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性的单调性.两者结合可得极值点两者结合可得极值点.索引【训练【训练1】 (2021石家庄检测石家庄检测)函数函数yf(x)的导函数的导函数yf ( x ) 的 图 象 如 图 所 示 ， 以 下 命 题 错 误 的 是的 图 象 如 图 所 示 ， 以 下 命 题 错 误 的 是_(填上所有错误命题的序号填上所有错误命题的序号).3是函数是函数yf(x)的极值点的极值点； 1是函数是函数yf(x)的极小值点；的极小值点；yf(x)在区间在区间(3，1)上单调递增上单调递增；2是函数是函数yf(x)的极大值点的极大值点.解析解析根据导函
4、数的图象可知，当根据导函数的图象可知，当x(，3)时，时，f(x)0，所以函数，所以函数yf(x)在在(，3)上单调递减，在上单调递减，在(3，1)上单调递上单调递增，可知增，可知3是函数是函数yf(x)的极值点，所以的极值点，所以正确正确.因为函数因为函数yf(x)在在(3，1)上单调递增，可知上单调递增，可知1不是函数不是函数yf(x)的极小值点，的极小值点，2也不是函数也不是函数yf(x)的极大值点，所以的极大值点，所以错误，错误，正确，正确，错误错误.索引令令f(x)0，得，得x2，于是当于是当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)
5、f(x)0f(x)ln 21故故f(x)在定义域上的极大值在定义域上的极大值为为f(x)极大值极大值f(2)ln 21，无极小值无极小值.索引当当a0时，时，f(x)0在在(0，)上恒成立，上恒成立，则函数在则函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；综上可知，当综上可知，当a0时，函数时，函数f(x)无极值点，无极值点，索引感悟升华运用导数求函数运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：极值的一般步骤：(1)确定函数确定函数f(x)的定义域；的定义域；(2)求导数求导数f(x)；(3)解方程解方程f(x)0，求出函数定义域，求出函数定义域内的所
6、有根；内的所有根；(4)列表检验列表检验f(x)在在f(x)0的根的根x0左右两侧值的符号；左右两侧值的符号；(5)求出极值求出极值.索引当当a0时，令时，令f(x)0，得，得exa，即，即xln a，当当x(，ln a)时，时，f(x)0.所以所以f(x)在在(，ln a)上单调递减，在上单调递减，在(ln a，)上单调递增上单调递增.故故f(x)在在xln a处取得极小值且极小值为处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a，无极大值，无极大值.综上，当综上，当a0时，函数时，函数f(x)无极值；无极值；当当a0时，时，f(x)在在xln a处取得极小值处取得极小值ln a，无极大值，无极
7、大值.索引B解析解析(1)因为函数因为函数f(x)x(ln ax1)有极值点，有极值点，索引(9，0)(0，1)索引感悟升华1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.索引由题意可得，由题意可得，x2是是f(x)0唯一的变号零点，唯一的变号零点，故故h(x)exkx2在在(0
8、，)上没有变号零点，上没有变号零点，当当x2时，时，g(x)0，g(x)单调递增；单调递增；当当0 x2时，时，g(x)0.g(x)单调递减，单调递减，索引考点二利用导数求函数的最值/师生共研师生共研索引索引1.求函数求函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值的函数值f(a)，f(b)与与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值的各极值进行比较得到函数的最值.2.若所给的闭区间若所给的闭区间a，b含参数，则需对函数含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性
9、，从而得到函数判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值的最值.感悟升华索引【训练【训练4】 (2021贵阳检测贵阳检测)已知函数已知函数g(x)aln xx2(a2)x(aR)，求，求g(x)在在区间区间1，e上的最小值上的最小值h(a).解解由题意，由题意，g(x)的定义域为的定义域为(0，)，索引索引 巧妙构造，转化求解巧妙构造，转化求解索引【例【例1】 设设f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，且上的偶函数，且f(1)0，当，当x0恒恒成立，则不等式成立，则不等式f(x)0的解集为的解集为_. ( (，1)(1，)当当x0，可以推出当，可以推出当x0，F(x)在在(，0)上单调上单调
10、递增递增.f(x)为偶函数，为偶函数，yx为奇函数，为奇函数，F(x)为奇函数，为奇函数，F(x)在在(0，)上也单调递增上也单调递增.根据根据f(1)0可得可得F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略图略)，根，根据图象可知据图象可知f(x)0的解集为的解集为(，1)(1，).索引D索引索引【例【例3】 已知函数已知函数f(x)在在R上可导，其导函数为上可导，其导函数为f(x)，若，若f(x)满足：满足：(x1)f(x)f(x)0，f(2x)f(x)e22x，则下列判断一定正确的是，则下列判断一定正确的是()A.f(1)e2f(0)C.f(
11、3)e3f(0) D.f(4)0，则则x1时时F(x)0，F(x)在在1，)上单调递增上单调递增.当当x1时时F(x)bc B.cbaC.bca D.cabC解析解析因为函数因为函数yx在在(0，)上单调递增，所以上单调递增，所以3e.当当x(0，e)时，时，f(x)0，f(x)单调递增；单调递增；当当x(e，)时，时，f(x)ee，所以，所以bca.故选故选C.索引思维升华函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体
12、现.课后巩固作业提升能力分层训练21213140708091011010203040506A级 基础巩固/索引一、选择题一、选择题1.已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为(a，b)，导函数，导函数f(x)在在(a，b)上上的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数f(x)在在(a，b)上的极大值点的上的极大值点的个数为个数为()BA.1 B.2C.3 D.4解析解析由函数极值的定义和导函数的图象可知，由函数极值的定义和导函数的图象可知，f(x)在在(a，b)上与上与x轴的交点轴的交点个数为个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x0不是函数不是
13、函数f(x)的极值点的极值点.其余的其余的3个交点都是极值点，其中有个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有极大值点有2个个.1213140708091011010203040506索引C1213140708091011010203040506索引3.函数函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是的极值点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.无数无数A由于由于x0，g(x)6x22x1的的200恒成立，故恒成立，故f(x)0恒成立，恒成立，即即f(x)在定义域上单调递增，无极值点在定义域上单调递增，无极值点.12131407
14、08091011010203040506索引4.已知已知a为函数为函数f(x)x312x的极小值点，则的极小值点，则a等于等于()A.4 B.2 C.4 D.2解析解析由题意得由题意得f(x)3x212，由，由f(x)0得得x2，当，当x(，2)时，时，f(x)0，函数，函数f(x)单调递增，当单调递增，当x(2，2)时，时，f(x)0，函数，函数f(x)单调递增，所以单调递增，所以a2.D1213140708091011010203040506索引5.已知函数已知函数f(x)2ln xax23x在在x2处取得极小值，则处取得极小值，则f(x)的极大值为的极大值为()B121314070809
15、1011010203040506索引解析解析由题意可得由题意可得f(x)x22mxn，f(x)为偶函数，为偶函数，m0，B故故g(x)ex(x23)，则，则g(x)ex(x232x)ex(x1)(x3).据此可知函数据此可知函数g(x)在区间在区间0，1)上单调递减，在区间上单调递减，在区间(1，2上单调递增，上单调递增，故函数故函数g(x)的极小值，即最小值为的极小值，即最小值为g(1)e1(123)2e.1213140708091011010203040506索引二、填空题二、填空题7.若商品的年利润若商品的年利润y(万元万元)与年产量与年产量x(百万件百万件)的函数关系式为的函数关系式为
16、yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为，则获得最大利润时的年产量为_百万件百万件.3解析解析y3x2273(x3)(x3)，当，当0 x0；当当x3时，时，y0.所以所以f(x)在在x2处取得极小值处取得极小值.1213140708091011010203040506索引CB级 能力提升/解析解析不妨假设点不妨假设点(2，0)在在f(x)图象上，图象上，则则f(2)3(42ab)0，因为函数图象关于点因为函数图象关于点(2，0)对称，且对称，且f(1)0，所以所以f(5)0，即，即f(5)6(255ab)0，1213140708091011010203040506索引故故f(x
17、)(1x)(x27x10)x36x23x10，则则f(x)3x212x33(x24x1)，由于由于x1，x2分别是分别是f(x)的极大值点与极小值点的极大值点与极小值点.x1，x2是是f(x)的零点，的零点，则则x1x24，x1x21.从而从而x10，x2x2.1213140708091011010203040506索引所以当所以当x(0，1)时，时，f(x)0，函数，函数f(x)单调递增，单调递增，1213140708091011010203040506索引14.(2021成都诊断成都诊断)已知已知函数函数f(x)xln x.(1)求函数求函数f(x)的极值点的极值点；12131407080
18、91011010203040506索引14.(2021成都诊断成都诊断)已知函数已知函数f(x)xln x.(2)设函数设函数g(x)f(x)a(x1)，其中，其中aR，求函数，求函数g(x)在区间在区间1，e上的最小上的最小值值(其中其中e为自然对数的底数为自然对数的底数).解解g(x)xln xa(x1)(x0)，则，则g(x)ln x1a，由由g(x)0，得，得xea1.所以在区间所以在区间(0，ea1)上，上，g(x)为减函数，为减函数，在区间在区间(ea1，)上，上，g(x)为增函数为增函数.当当ea11，即，即a1时，在区间时，在区间1，e上，上，g(x)为增函数，为增函数，所以所
19、以g(x)的最小值为的最小值为g(1)0.当当1ea1e，即，即1a2时，时，g(x)在区间在区间1，ea1上为减函数，在区间上为减函数，在区间ea1，e上上为增函数，所以为增函数，所以g(x)的最小值为的最小值为g(ea1)aea1.当当ea1e，即，即a2时，在区间时，在区间1，e上，上，g(x)为减函数，为减函数，所以所以g(x)的最小值为的最小值为g(e)aeae.综上，当综上，当a1时，时，g(x)的最小值为的最小值为0；当当1a2时，时，g(x)的最小值为的最小值为aea1；当；当a2时，时，g(x)的最小值为的最小值为aeae.INNOVATIVE DESIGNTHANKS本节内容结束