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1、第十章第十章 衍生资产定价：衍生资产定价： 期权定价理论及其应用期权定价理论及其应用4期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。4学术领域内的巨大进步带来了实际领域的飞速发展。期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场起着最基本的作用。4近年来，从事金融产品的创造及定价的行业蓬勃发展，从而使得期权定价理论得到不断的改进和拓展。4所以，无论从理论还是从实际需要出发，期权定价的思想都具有十分重要的意义。1. 一些基本定义一些基本定义4例子：投资者B和W计划签定一份合同：现在B支付给W 200元，交换条件是在接下来的六个月的任何时间，允许B自愿从
2、W那里以150元/股的价格购买100股IBM公司股票。 IBM公司股票现在的价格为145元/股。问题： B和W为什么都愿意签定这个合同？ B如果不支付给W 200元，W是否愿意签定这个合同？4例子：投资者B和W计划签定一份合同：现在B支付给W 200元，交换条件是在接下来的六个月的任何时间，允许B可自愿以135元/股的价格卖给W 100股IBM公司股票。 IBM公司股票现在的价格为145元/股。问题： B和W为什么都愿意签定这个合同？ B如果不支付给W 200元，W是否愿意签定这个合同？4看涨期权、看跌期权4一种期权具有四个特征： 1）这种期权能够买（对于看涨期权而言）或者卖（对于看跌期权而言
3、）的对象，或者说，合约是关于哪种资产的合约，我们称这种资产为标的物标的物(underlying asset)。 以股票为标的物的期权，每份期权通常包括100份特定的股票。例如，持有一份以IBM公司股票为标的物的看涨期权，是一份可以买100份IBM公司股票的权利。 2）执行价格）执行价格(exercise price, 或者strike price)。 这个价格是执行期权合约时，可以以此价格购买标的物的价格。对于以IBM公司股票为标的物的看涨期权，如果执行价格为150美元，则在执行这种期权时，按每份股票150美元购买。 3）期权有效的时间区间由到期日）期权有效的时间区间由到期日(expirati
4、on date)来确定。 这段时间区间可以是一天、一个星期、或者一年。以IBM公司股票为标的物的看涨期权，如果到期日为六个月，则在这六个月里，这份权利都是有效的。 4）期权应该包括是否可以在到期日之前执行这种权利。 如果在到期日之前的任何时间以及到期日都能执行，我们称这种期权为美式期权美式期权。如果只能在到期日执行，称为欧式期权欧式期权。 美式和欧式这两个名词曾代表了以股票为标的物的期权在美洲和欧洲的结构形式。但是现在，它们已成为反映两种不同结构的期权的标准名词，而不管期权是在哪儿发行的。4看涨期权(call option)、看跌期权(put option)、鞍式期权(straddle opt
5、ion)、蝶式期权(butterfly spread option)、实值期权(in the money option)、两平期权(at the money option)、虚值期权(out of the money option)4所有合约都是由看涨期权、看跌期权、股票和债券四种基本证券构成地。4Exotic option: Asian option Barrier option Lookback option Currency-translated option Binary option4所有股票期权合约在标的股票发生拆股或者分红股的情况时，执行价格和合约中规定的股数都要作相应的调整。
6、例子：假如在购买上述期权的当天， IBM公司股票的价格为145元，第二天，1股拆成6股。股价变为145/6元。4 期权的这四个特征标的物、是看涨还是看跌、执行价格、到期日（包括是美式还是欧式）说明了一种期权的各个细节。4期权是两人之间的一种合约，其中的一人给予另外一人在规定的一段时间内，可以以规定的价格买或者卖某种规定的资产的权利。4获得权利的一方需要做出是否接受该权利的决定，我们称这一方为期权的买者期权的买者(option buy)，因为他需要付钱来获得这种权利。4提供权利的一方称为期权的写者期权的写者(option writer)。4例如，欧式看涨期权是一种证券，这种证券给出了期权持有者在
7、到期日以执行价格购买标的物的权利。4何时买看涨期权，何时买看跌期权？4既然期权的持有者获得的是权利而不需要承担什么义务，他就必须花钱购买这个权利，那么，公平的价格应该是多少？这是证券投资学研究的重要内容。2 影响欧式期权价格的因素影响欧式期权价格的因素4本章的主要目的：如何确定以金融证券为标的物的欧式期权的价格。4在整个一章中假设：如果无特殊说明，在整个一章中假设：如果无特殊说明，标的物在到期日以前不支付红利。标的物在到期日以前不支付红利。4期权理论之所以重要，不仅仅因为期权在证券市场结构中具有重要的作用，也因为期权理论说明了投资学的基本原理被提高到了一个新的水平在以动态结构为基本结构的经济环
8、境中应用这些原理。4假设一种欧式看涨期权，它以某种股票为标的物，该股票在时间 t 的价格以 表示，期权的执行价格为 ，到期日为 ，期权在时间 t 的价格为 。tSKTtc4第一，在到期日 T，期权的价值为多少。 1） 2） 把期权在 T 时的价格显示地表示成股票价格的函数。这个函数如下图所示。该图说明当 ，期权的价值为零，当 时，期权的价值随着股票价格的增加而线性增加。 例子： 期权不可能有负的价值，责任有限金融工具。KSTKST KSKScTTT, 0maxKSTKST 图1看涨期权在到期日的收益TSKTc4对于欧式看跌期权而言，上述结果正好反过来。假设一种看跌期权，它以某种股票为标的物，该
9、股票在时间 t 的价格以 表示，期权的执行价格为 ，到期日为 T，期权在时间 t 的价格为 tSKtp4在到期日 T，期权的价值。 1） 2） 把期权在 T 时的价格显示地表示成股票价格的函数。 这个函数如下图所示。该图说明当 ，期权的价值为零，当 时，期权的价值随着股票价格的增加而线性减少。KSTKST TTTSKSKp, 0maxKSTKSTTSKp 图图2 看跌期权在到期日的收益4注意，看跌期权在 时的价值是有界的，而看涨期权在 时的价格是无界的。相反，当写一份看涨期权时，可能的损失是无界的。TT4期权的写者的收益 看涨期权的写者在到期日的收益 看跌期权的写者在到期日的收益4 对于看涨期
10、权而言，如果分别有 、 ，则称一份看涨期权分别为实值期权实值期权(in the money option)、两平期两平期权权(at the money option)、虚值期权虚值期权(out of the money option)。这些名称适用于任何时间，但在到期日，这些名称描述了期权价值的特征。对于看跌期权，我们也有类似的名称。KSTKSTKST4第二，期权的时间价值。 即使在到期日以前的任何时间，欧式期权均有价值，因为它提供了将来执行权利的可能性。 例如，以GM公司股票为标的物的一种期权，其执行价格为40美元，到期日为三个月。假设GM公股票现在的价格为37美元。显然，在接下来的三个月中
11、，该股票的价格有可能上涨而超过40美元，从而有执行该期权而获得利润的可能。从这儿可以看出，即使现在期权是虚值的，它也具有价值。4在到期日以前的任何时间 t ，这里 ，作为股票价格的函数，欧式看涨期权的价格 是 t 时股票价格 的光滑函数，其图形如图3所示。Tt )(ttSctS 6个月 3个月 图3 具有不同到期日的 期权价格曲线tS)(ttSc时间价值4这条光滑曲线可以利用历史的实际数据，通过回归分析来得到。在图中，粗的折线表示在到期日，期权的价格曲线。这条线上面的曲线对应于到期日不同的期权的价格曲线。在粗折线上的第一条对应的到期日为三个月，紧接着的一条曲线对应的到期日为六个月，到期日越长的
12、曲线越在上面。这表明，在到期日以前的任何时间，对于同一股票价格，到期日越长的期权，其价格越高。这是因为，到期日越长，标的股票价格上扬，从而增加最后支付的可能性越大。4当股票的价格远远大于或者小于执行价格时，随着到期日的增加，期权价格增加的幅度越来越小。 当股票的价格远远大于执行价格时，持有期权并不比持有股票占多大的优势。 当股票的价格远远小于执行价格时，股票价格上涨超过的可能性很小，从而期权的价格为零。4第三，还有哪些因素影响期权的价格？ 1）执行价格 从(1)和(2)式可以看出，一种看涨期权，其执行价格越小，股票价格超过的可能性就越大，这种看涨期权也就越有价值。对于看跌期权，结果正好相反。
13、2）标的股票价格的方差 在投资的过程中，投资者偏好以方差较大的股票为标的物的期权。方差越大，股票价格超过执行价格的概率越大，这种期权对投资者也就越有价值。 假设有两种期权，具有相同的执行价格，但标的股票价格的分布不同，如图4，这两个分布的期望值相同，方差不同。我们偏好于哪一种期权？ 图4 股票价格的分布S Sf 因为只有当股票的价格大于执行价格时，我们才能从期权合约中获得收益。股票价格分布的方差越大，股票价格超过执行价格的概率也就越大，我们获得收益的概率也就越大。所以，我们偏好以方差较大的股票为标的物的期权。 期权的价值与标的资产的价值之间的重大差别：如果持有标的资产，我们获得收益的可能性由标
14、的资产价格的整个概率分布决定。作为风险厌恶者，我们不喜欢高风险。如果我们持有期权，我们获得收益的可能性由标的资产价格的尾部概率分布决定。期权的这种性质使得大的方差更具有吸引力。4例子：假设某家公司得到一笔长期贷款，每年应支付的利息为8000元。该公司可以把这笔贷款用于下面两个项目中的一个。这两个项目具有相同的5000元的期望现金流。4 项目1 项目24概率 现金流 概率现金流40.2 4,0000.4040.6 5,0000.25,00040.2 6,0000.410,000 如果投资到第一个项目，该公司将破产，因为所有可能的现金流都比偿还利息所需的8000元少。 由于第二个项目的方差较大，所
15、以有40%的机会，除能够偿还利息外，还有2000元的剩余。显然，该公司将选择第二个项目。尽管它的风险更大，但是存在40%的机会给公司带来正的利润。 这个例子形象地说明了期权的持有者为什么更偏好大的方差。同时，这个例子也引入了一种重要的观点。一个公司的股东实际上是一种期权的持有者，这种期权以公司的市场值为标的物。当公司的市场值比它所需偿还的债务低时，公司破产。这时，股东允许期权到期而不执行，股东所持有的股票的价值为零；股东把公司移交给债权人，债权人获得公司作为补偿。当公司的市场值比它所需偿还的债务高时，股东执行期权，偿还债权人的债务后，股东获得剩余的利润。 3）无风险利率。 在所有的因素里，这个
16、因素是最不直观的。一般说来，无风险利率越大，执行价格的现值也就越小，这样的期权也就越有价值。而且，当市场处于均衡状态时，无风险利率越大，股票的回报率也应该越高。从而，在到期日，股票的价格也应该越高，这时，期权的价格也应该越高。 在确定欧式看涨期权的价格时，有五种因素是重要的：标的资产的价格，期权的执行价格，标的资产价格的方差，到期日（实际应该是剩下的到期时间），以及无风险利率。把欧式看涨期权的价格写成如下的函数形式： (3)fttrtTKSfc,23 期权在证券市场中的作用期权在证券市场中的作用4金融市场中一个引人注目的发展就是衍生证券的日趋普遍。在许多情况下，套期保值者和投机者都发现交易某项
17、资产的衍生证券比交易资产本身更具有吸引力。原因在于，衍生证券往往具有现有上市证券所不具备的特点，从而能够满足一些套期保值者和投机者的特殊要求，所以，证券公司经常根据客户的需要，开发一些衍生证券来满足要求。4衍生行业的蓬勃发展，说明了现有的证券市场并不是完备的市场，因为作为一个完备的市场，总能通过构造证券组合来满足投资者的各种要求。同时，也说明了衍生产品在资源配置有效化中所起的作用。4 期权组合策略，图形表示期权组合策略，图形表示4假设：欧式看涨期权和欧式看跌期权具假设：欧式看涨期权和欧式看跌期权具有相同的到期日和相同的标的股票，并有相同的到期日和相同的标的股票，并且假设执行价格等于标的股票期初
18、的价且假设执行价格等于标的股票期初的价格。格。 当 时欧式看涨期权在到期日的利润0SK SWTrfec0Trfec0 当 时欧式看跌期权在到期日的利润0SK SWTrfep0Trfep0 股票在到期日的利润SW 债券在到期日的利润SWTrfBeTrfBe 上述证券可以按下面的关系任意组合SWBcpS 买一份股票并买一份以此股票为标的物的看跌期权所获得的收益，和持有一份债券并买一份以同样股票为标的物的看涨期权所获得的收益是一样的。 鞍式期权SW5 欧式看涨期权与看跌期权价格之间欧式看涨期权与看跌期权价格之间的平价关系的平价关系(put-call parity)ffrKSrpc110004假设欧式
19、看涨、看跌期权具有相同的标的物、相同的到期日、相同的执行价格4简单一期模型4连续复利TrfeSpc0004买一份股票，买一份看跌期权，再卖一份看涨期权，在到期日，该证券组合的收益为4有红利时欧式期权的平价关系4美式期权不存在平价关系6 关于期权价格界的定理关于期权价格界的定理4看涨期权价格的界。 定理1：以不支付红利的股票为标的物的美式看涨期权不会提前执行。 证明：买一份欧式看涨期权，买面值为K 债券，再卖空一份股票。 定理2：当标的股票支付红利时，美式看涨期权可能被提前执行。 定理3：无论标的股票是否支付红利，美式看跌期权都有可能提前执行。1S2S2S7 期权定价理论期权定价理论二项式方法二
20、项式方法4Black-Scholes 模型模型4等价鞅测度模型等价鞅测度模型4二项分布方法二项分布方法 在应用这种方法时，最重要的是套期保值套期保值的概念。套期保值最形象、最简单的例子是有关保险中的定价问题。 可用于对美式期权的定价 可用于对标的物有红利的期权定价4假设1：标的股票不支付红利4假设2：证券市场是无摩擦的和完全竞争的，且不存在套利机会。4A. 以股票为标的物的看涨期权的简单二项模型 标的股票的价格服从二项分布产生的过程：4 4 图9 一期二项式生成过程SuSdSqq14这里 =股票现在的价格 =股票价格上涨的概率 =一期的无风险利率 =股票价格上涨的幅度 =股票价格=下跌的幅度S
21、qfrud例子：4 420S24uS4 .13dSqq11 . 0fr21K2 . 1u67. 0d4注：对 的假设，在这个假设之下，不管经过多少期，股票的价格永远不会跌到零以下。但是，对股票价格上涨的界没有限制。 d4每期的无风险利率为 。对 的限制为 ，这是无套利条件。直观地可以看出，无论是 （这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是 （这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。不失一般性，假设 。 frfrdruf1durf1frdu10fr4以股票为标的物的欧式看涨期权，执行价格为 ，到期日为一期，它的现价以 表示。该期权在到期日的支付如下图4 4 图10 欧式看涨
22、期权的支付 Kcqq1cKuScu, 0maxKdScd, 0max 构造无风险套期保值证券组合：以价格 买一份股票，写 份以股票为标的物的看涨期权（ 称为套期保值比率）。下图说明了这个套期保值证券组合的到期支付。如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券组合是无风险的。 图11 套期保值证券组合的到期支付 Smmqq1mcSumcuSdmcdS 4让支付相等，得到： 4 = 4从上式中解出看涨期权的份数 ： 4 (21)4把例子里的数字代入，得到 =3.53 4因此，无风险套期保值证券组合包括买一份股票，写3.53份看涨期权。在两个状态下的支付相等，如下表：不确定状态
23、证券组合 支付 好状态 1.2(20元)-3.53(3元)=13.40元 坏状态 0.67(20元)-3.53(0元)=13.40元 umcuSdmcdSmduccduSmmumcuSdmcdS4因为套期保值证券组合是无风险的，它的终端支付应该等于它的现价乘以 ，即，从这个式子得出期权的价格： 4 (22)4设4则fr1ufmcuSmcSr1ffdfurdurucdudrcc111dudrPf1duruPf114fdurpcpcc114这里定义 的总是大于0而小于1，具有概率的性质，我们称之为套期保值概率套期保值概率。4从 的定义可以看出，无套利条件 成立当且仅当 大于0而小于1（即，保证 是
24、概率）。PPdruf1PP4 是当市场达到均衡时，风险中性者所认为的 值，即，股票价格上涨的概率。作为风险中性者，投资者仅仅需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率：4从中解出值，得到：4所以，对一个风险中性者来说， = ，而(24)式中看涨期权的价格可以解释为，在一个风险中性环境中，期权的期望终端支付的折现值。 PqdSqquSSrf)1 (1dudrqf1Pq4在求得看涨期权价格的过程中，有两点是至关重要的： 套期保值证券组合的存在性； 无风险的套期保值证券组合的的回报率为无风险利率。 4 看涨期权的定价公式具有以下三个有趣的特征：1该公式不依赖于股票价格上涨的概率。这使得，即使投资者对的
25、预期不一致，只要他们对别的参数的估计一致（包括 ），他们就会有一样的定价公式。2该公式的获得不依赖个体对风险的偏好。所需的假设仅仅只是无套利。3该公式依赖的唯一随机变量是标的股票。（例如，与市场证券组合无关）frKSdu,4B. 两期模型4 图12 股票价格Sqq1uSdSudSSu2Sd244 图13 欧式看涨期权的支付 cqq1ucdcduudcc uucddc4假设两期的无风险利率为 。利用一期期权的定价公式(24)得到期权在一期末的价值 和 ： 4 (25) 4 (26)21frucdcfuduuurpcpcc11fdddudrpcpcc114把和当作一期模型的终端支付，再一次利用一期
26、期权的定价公式(24)得到期权的现在价格：fdurpcpcc114把(25)和(26)式代入得到： (27)22211)1 (1fddduuduurcppcpcppcpc4可以把(27)式中的分子部分看成是一期模型的定价公式(24)式的分子的二项展开。4(27)式的另外一种解释是，看涨期权的价格等于期权在两期末的期望支付的折现值，这里所用的概率为套期保值概率，折现利用无风险利率。C. 看涨期权定价的完全二项式模型看涨期权定价的完全二项式模型4T期模型 这里TfTnnTnrKSdupTnBc1,0max,0pTanBrKpTanSBTf,1,dudrpf1prupf141. 在0时刻，买 份股票
27、，卖空 份债券所构成的证券组合在到期日的支付，即为以该股票为标的物，以 为执行价格的欧式看涨期权在到期日的支付。以此观点，如果把到期日以前任意的第 t期当作起始时刻，则欧式看涨期权在到期日以前的任意第 t 期的价格为： (32) 4所以，(32)式不但给出了欧式看涨期权在第 t 期的定价公式，而且给出了第 t 期为了模拟欧式看涨期权在到期日的支付所应该采用的策略。 , pTanBpTanKB,KptTanBSctt,ptTanBrKtTf,142从(31)式可以看出，当股票价格 增加，执行价格减少时，期权的价格都会增加。另外，当无风险利率增加时，它的主要影响是减少执行价格的现值，从而增加期权的
28、价格（尽管无风险利率增加时，会导致 p、p 减少，但这种影响是次要的）。至于到期日和股票价格的方差，它们的变化对期权价格的绝对影响并不是显然的，需要通过严格的数学证明来得到。0SD. 二项模型推广到连续时间二项模型推广到连续时间Black-Scholes 期权定价模型期权定价模型4在实际操作中应该注意，Black-Scholes期权定价公式仅仅适用于标的股票不支付红利的情形。4只适用于欧式期权4用途4连续时间看涨期权定价公式，Black和Scholes（1973）： 4 (33)4这里 4 21dNKedNSctTrttftTtTtTrKSdft21ln1tTtTtTrKSdft21ln24连
29、续时间看跌期权定价公式：4这里21dNKedNSptTrttftTtTtTrKSdft21ln1tTtTtTrKSdft21ln24与二项式模型的对照4比较静态分析 看涨期权 看跌期权4标的股票风险的估计 样本方差 市场估计4Hedging ratio 股票价格变化导致期权价格的变化 为了构造无风险组合，一份期权需要多少份股票 当期权的到期日变小，股票价格变化时， Hedging ratio也发生变化，所以为了套期保值需要连续调整组合策略。4期权价格的渐进行为1dNSc 图14 期权价格曲线tS)(ttSctTrttfKeSc4在实际应用中注意： 股票实际是一种期权 风险是随时间变化的9 美式
30、期权的定价10. 指标期权(index option)11 Portfolio insurance4一个投资者持有风险高度分散的证券组合，现价100000元，投资者目标：从牛市中充分获利，但从熊市中免遭损失。 购买保险 购买看跌期权 构造合成看跌期权4购买保险4 1004 Uninsured portfolio valueAB4购买看跌期权4 1004 Uninsured portfolio valueABCreate a synthetic putA 100000B 125000C 80000DFEGUninsuredportfolio156250Insuredportfolio156250
31、1000001000001000001000006400010000012 monthsNow6 monthsCreate a synthetic putA 100000B C Now6 monthsStocks: 125000bonds: 0total:125000Stocks: 0bonds: 95238total: 95238Stocks: 66138bonds: 40312total:1064504在B点4在C点4在A点05. 11000009523812500005. 125. 1bs9523805. 18 . 0bs4初始投资相当于投资在股票100000元，投资在看跌期权6450元
32、，看跌期权的执行价格为100000元，到期日为12个月。4这个过程可以看作看跌期权或者保险政策的定价。4动态策略4交易成本、动态调整的可行性411 期权定价思想的应用 股票和债券作为期权 例子： Popov公司被授权在南极洲举办下一年的奥运会。由于南极洲特殊的条件，该公司在奥运会后将解散。公司通过发行债券来筹办这次奥运会。假设下一年债务连本带息为800元，到时债务将一次性付清。公司下一年的现金流预测如下 非常 一般 一般 完全 成功 成功 失败 失败 支付债务 前的现金流 1000 850 700 550 债务 800 800 700 550 股东的 现金流 200 50 0 04依照看涨期权
33、来表示 股东：把股票看成以公司为标的物（债权人拥有公司），执行价格为800的看涨期权 股东现金流 0 800 公司现金流 债权人的头寸可以用下面两个权益来描述： 拥有公司 写一份以公司为标的物、执行价格为800的看涨期权 债权人现金流 800 0 800 公司现金流4依照看跌期权来表示 股东的头寸可以用三种权益来表示： 拥有公司 连本带息欠债权持有者800元 股东持有以公司为标的物、执行价格为800元的看跌期权。债权持有者是看跌期权的卖者。 债权持有者的头寸可以用下面两个权益来描述： 有800元的债权 卖出了以公司为标的物、执行价格为800元的看跌期权 把具有违约风险的债权利用无违约风险债权和看跌期权来表示： 风险债券的值=无风险债券的值-看跌期权的值 两种观点的一致性 两平关系普通股票的 价值+看跌期权的值-看涨期权的值=执行价格的现值以公司为标的物的看涨期权的值=公司的值+以公司为标的物的看跌期权的值-无违约风险的债权的值公司的值-以公司为标的物的看涨期权的值=无违约风险的债权的值-以公司为标的物的看跌期权的值 贷款保险的价值