机械能守恒定律　.pptx

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1、笫五章机械能守恒笫五章机械能守恒（一）（一） 功功 动能定理动能定理（二）（二） 保守力做功与势能保守力做功与势能（三）机械能和机械能守恒定律（三）机械能和机械能守恒定律（四）两体碰撞与两体问题（四）两体碰撞与两体问题目录目录1一、功一、功（一）（一） 功功 动能定律动能定律定义：定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量 与位移大小的乘积与位移大小的乘积. .rdFdW cosrdF BArdFW功是力对空间的累积作用功是力对空间的累积作用 单位单位: :1 1焦耳焦耳(J)=1(J)=1牛顿（牛顿（N N）. .米（米（m m）量纲：量纲：M

2、LML2 2T T-2-2A AB BFrd元功元功第五章机械能守恒第五章机械能守恒2说明：说明：（1 1）在直角坐标系中：）在直角坐标系中：)(dzFdyFdxFrdFWzyBAxBA kdzjdyidxrdkFjFiFFzyx第五章机械能守恒第五章机械能守恒（2 2）几个力同时作用在物体上时，所作的功：）几个力同时作用在物体上时，所作的功：iFFFF213 2121)(WWrdFrdF合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 rdFW（4 4）功率：）功率：vFvFdtdrFdtdWP coscos单位单位: :焦耳焦耳/ /秒秒

3、( (瓦特瓦特) ) 量纲：量纲：ML2T-3力在单位时间内所做的功力在单位时间内所做的功第五章机械能守恒第五章机械能守恒（3 3）功是标量，没有方向，但有正负）功是标量，没有方向，但有正负. .41m5N 例题例题5.1 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质量为量为1.0kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上。若用面上。若用5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速运动向右作加速运动.当系在物体上的绳索从与水平当系在物体上的绳索从与水平成成变变为为 时时,力对物体作功为多

4、少力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面己知滑轮与水平面间的距离为间的距离为1m.037030第五章机械能守恒第五章机械能守恒5解解: : 建立坐标系建立坐标系( (如图如图) ) cosFFxdxxxFdxWxxxxxF 21212121xxF )11(2221xxFWJ69. 1 mtgx732. 130101 mtgx327. 137102 x0F F1m1m5N5N 第五章机械能守恒第五章机械能守恒6二、质点动能定理二、质点动能定理dsF dWF drdsdtdvm mvdv 元功元功: :质点由质点由A到到B这一过程中，力作总功为这一过程中，力作总功为：21BvAvWdWmvdv 21

5、2kEmv ABmFrd-质点的动能质点的动能第五章机械能守恒第五章机械能守恒cosFds 22211122mvmv 12kkEEW -质点动能定理质点动能定理令令则则7例题例题5.2 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b, ,设设绳子总长度为绳子总长度为L, ,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率. .解：解：方法一：利用动能定理方法一：利用动能定理 LbLMgMgdxLxWLb2221LxMm 中中其其mgdxdW 建立作坐标系，重力所作元功为：建立作坐标系，重力所作元功为：由动能定理得：由动能定理得： 22bLLgv 0212

6、222 MvLbLMgM,L b bxo ot=0,v=0第五章机械能守恒第五章机械能守恒8方法二：利用牛顿定律方法二：利用牛顿定律 22bLLgv dtdvMmg gLxgMmdtdv 即即由牛顿定律得由牛顿定律得gLxdxdvvgLxdtdxdxdv 两种方法结果相同两种方法结果相同M,Lb bxo ot=0,v=0第五章机械能守恒第五章机械能守恒9例题例题5.3 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置径钻一个洞，质点从很高的位置 h 落入洞中，落入洞中，求质点通过地心的速度。求质点通过地心的速度。 由动能定理：由动能定理：解：

7、解：矢径方向如图所示，设通过矢径方向如图所示，设通过 地心的速度为地心的速度为vdrfdrfRhRR 0内内外外 RhRRrdfrdfmv02021内内外外OmhRr第五章机械能守恒第五章机械能守恒1032333434RGMmrrmrRMGf 内内又质点在地球内、外受力不同又质点在地球内、外受力不同drRGMmrdrrGMmmvRRhR 0322021 3GMm RhvR Rh 2rGMmf 外外第五章机械能守恒第五章机械能守恒110kikiEEWi三、质点系动能定理三、质点系动能定理-质点系动能定理质点系动能定理 nininikiokiiEEW111对所有质点求和：对所有质点求和： 设一个系

8、统内有设一个系统内有n个质点，作用于笫个质点，作用于笫 i 个质点的力所作的个质点的力所作的功为功为 ，由质点动能定理，由质点动能定理iW第五章机械能守恒第五章机械能守恒12 ikiikiEEWW0内内外外内外iiWW（2 2） 是每个质点所受外力（内力）是每个质点所受外力（内力）作功作功之和之和，而不是合力功之和，而不是合力功之和. . niiniiniiWWWWW111内内外外内内外外说明：说明：（3 3）质点系内力的功：质点系内力的功： 研究两质点、间作用力与反作用力元功之和研究两质点、间作用力与反作用力元功之和 rdFrdrdFrdFrdFdA 1212 即一对内力所作的功仅决定于力和

9、质点间相对位移的标积即一对内力所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积.（1 1）质点系所受的力分外力和内力，则）质点系所受的力分外力和内力，则内力作的总功内力作的总功一般不为零一般不为零第五章机械能守恒第五章机械能守恒13例题例题5.4 如图，质量为如图，质量为M的卡车载一质量为的卡车载一质量为m的木箱，的木箱，以速率以速率v沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了卡车上相对于卡车滑行了l 距离距离,卡车滑行了卡车滑行了 L 距离。距离。求求 L

10、和和 l 。巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 ，卡车轮与地面的滑动摩擦系数为卡车轮与地面的滑动摩擦系数为1 2 L Llf mgN MgNfF Fmg第五章机械能守恒第五章机械能守恒14 卡车和木箱受力如图卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力只有二者间摩擦力 和地面对车和地面对车的摩擦力的摩擦力 F 做功，三力之受力质点位移各为做功，三力之受力质点位移各为 . 根据质点动能定理得根据质点动能定理得ff 、LlLL、 解得解得 LgvlgmmMMvL 121222 解：解：解法一（用质点动能定理求解）解法一（用质点动能定理求解）第五章机械能守恒第五章机械能守恒 2

11、12102mgmM g LMv卡车：卡车： （1） 21102mg Llmv 木箱：木箱： （2）15解法二（用质点系动能定理求解）解法二（用质点系动能定理求解） 视卡车与木箱为一质点系视卡车与木箱为一质点系.外力外力F 做功做功 ，内力做功等于力与相对位移的标积，即内力做功等于力与相对位移的标积，即 gLmM 2 mgl1 根据质点系动能定理，有根据质点系动能定理，有 212102mglMm gLMm v又视木箱为质点，得上面又视木箱为质点，得上面(2)式式.(2)(3)联立得与上法相同结果联立得与上法相同结果.第五章机械能守恒第五章机械能守恒（3）16（二）（二） 保守力做功与势能保守力做

12、功与势能一、几种常见的力作功一、几种常见的力作功1 1、重力作功、重力作功jmgP jdyidxPrdPWdymgyy）（ 1212mgymgyW 重力作功只与质点的起始和终止位置有关，而与所重力作功只与质点的起始和终止位置有关，而与所经过的路径无关。经过的路径无关。xabPyy2y1rd第五章机械能守恒第五章机械能守恒1702 rrMmGF rdrrMmGrdFdW 02移动位移元移动位移元 ，F可近似认为不变，故可近似认为不变，故rd由图知：由图知：drrdrdrrdr coscos00于是：于是：drrMmGdW2 2 2、万有引力作功、万有引力作功如图，如图，M不动，不动，m由由a 经

13、任一路径到经任一路径到b）（abbarrrrGMmdrrGMmdWWba1112Mardrr mbrddrF第五章机械能守恒第五章机械能守恒1821221211()22xxWdWkx dxkxkx在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置决定，而与形变的过程无关。决定，而与形变的过程无关。3 3、弹性力作功、弹性力作功kxdxrdFdW ikxF 如图，如图，O点为平衡位置，拉长到点为平衡位置，拉长到P点时，伸长量为点时，伸长量为x：万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经过的

14、路径无关。过的路径无关。第五章机械能守恒第五章机械能守恒0 xxFKmP19：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力。的力。二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力22212121kxkxW ）（abrrGMmW11 12mgymgyW 分析三种力分析三种力作功的特点作功的特点反映保守力作功特点的数学表达式：反映保守力作功特点的数学表达式：bcdaFF物体沿不同路径从物体沿不同路径从a 到到 b，保守力作功，保守力作功 adbacbadbacbrdFrdFWW第五章机械能守恒第五章机械能守恒该类力产生的力场为该类力产生的力场为保守力场保守力场。

15、20保守力沿任意闭合路径作功为零。保守力沿任意闭合路径作功为零。bcda沿闭合路径运动一周，保守力作功：沿闭合路径运动一周，保守力作功： bdalacbrdFrdFrdFW0 Ll dF0保守力的一些判据：保守力的一些判据：(1)(1)对于一维运动，凡是位置对于一维运动，凡是位置x单值函数的力都是保守力单值函数的力都是保守力, ,如弹性如弹性力力 f = f (x) = k(xx0) 是是 x 的单值函数，故它是保守力；的单值函数，故它是保守力；(2)(2)对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，如重对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力力 f = mg, 是保守力是保

16、守力; ;(3)(3)有心力是保守力，例如万有引力、库仑力都是保守力。有心力是保守力，例如万有引力、库仑力都是保守力。第五章机械能守恒第五章机械能守恒21 称为耗散力（如滑动摩擦力，称为耗散力（如滑动摩擦力， 将机械能转化为热能）将机械能转化为热能）0 rdf：0 rdf （如爆炸力），将其他形态的能（如爆炸力），将其他形态的能 （如化学能、电磁能）转化为机械能（如化学能、电磁能）转化为机械能. .所作的功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，所作的功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿任一闭合路径一周作功不为零的力。或沿任一闭合路径一周作功不为零的力。非保守力可分两类：非保守力

17、可分两类：第五章机械能守恒第五章机械能守恒22三、势三、势 能能证：在保守力场中，选择一个标证：在保守力场中，选择一个标量函数：如图，先任取一点量函数：如图，先任取一点rC ，令：，令：对空间任意点，定义：对空间任意点，定义： 0)(VrVC )()(0rrAVrVC rArCrB第五章机械能守恒第五章机械能守恒定理定理 对于保守力场对于保守力场，可以定义一个标量函数，可以定义一个标量函数 ，使保，使保守力做的功为守力做的功为其中，其中， 表示质点从空间点表示质点从空间点 运动到点运动到点 时保守时保守力所做的功。力所做的功。 称为称为势能（或势函数、位能）。势能（或势函数、位能）。 rV B

18、ABArVrVrrA BArrABrAr rV23 由于是保守力场，故由于是保守力场，故 唯一确定，与运动的唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点路径无关，于是对于空间中的任意点，我们定义的，我们定义的的值确定并且唯一。的值确定并且唯一。 rrAC)(rV下面证明下面证明 就是势能就是势能 )(rVr)()(0rrAVrVC 对于空间中任意两点对于空间中任意两点 和和 ，按照我们对，按照我们对 的定义，有：的定义，有： BrAr)(rV)1()()(0ACArrAVrVA 点：点：)2()()(0BCBrrAVrVB 点：点：由定义：由定义：第五章机械能守恒第五章机械能守恒24 将

19、上面将上面(1)与与(2)两式相减，注意到保守力作功与路两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得：径无关，可得： ()()()()ABACCBV rV rA rrA rr 即即故故 就是势能。证毕就是势能。证毕 反之，存在势能的力一定是保守力。反之，存在势能的力一定是保守力。 )()()()(ACBCBArrArrArVrV )()(CABCrrArrA )()()(BABArVrVrrA )(rV注：注：由证明可见，势能具有一个任意常数由证明可见，势能具有一个任意常数 0)(VrVC 一般我们规定一般我们规定点（无穷远处）的势能为零。点（无穷远处）的势能为零。 第五章机械能守恒第五章机械能

20、守恒25 (2)(2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零该点的势能为零. .而势能零点可根据问题的需要任意选择；而势能零点可根据问题的需要任意选择；(3)(3)势能是属于系统的势能是属于系统的。实质上势能是相互作用能；。实质上势能是相互作用能；(1)(1)势能是状态（位置坐标）的函数，即：势能是状态（位置坐标）的函数，即： (4) (4)自然界中的大部分能量是以引力势能的形式存在。自然界中的大部分能量是以引力势能的形式存在。

21、),()(zyxVrVV )0)()(00 rVrdFrVrr（其其中中1. 势能势能 的计算的计算 )(rV由定理可得：由定理可得：即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到势能零点的积分值即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到势能零点的积分值第五章机械能守恒第五章机械能守恒26mgyVP VVVWpp )(12保保即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。 0)(rrrdFrV重力势能重力势能2 三种势能三种势能：保守力作功可用势能差表示：保守力作功可用势能差表示：rMmGVP 221kxVP 引力势能引力势能弹性势能弹性势能第五章机械能守恒第

22、五章机械能守恒273 3 势能曲线势能曲线当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图: :),()(zyxVrV mghVhrVrGMm 第五章机械能守恒第五章机械能守恒Vr122kxrV0r28v势能曲线的用途：势能曲线的用途：dVrdFdVdW 保守力与势能的关系保守力与势能的关系：WV 保保zVFyVFxVFzyx ,dzzVdyyVdxxVdV dzFdyFdxFrdFzyx VkzVjyVixVF (1) (1) 由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力第五章机械

23、能守恒第五章机械能守恒29mghVhrVrGMm Vr122kx第五章机械能守恒第五章机械能守恒rV0rFxFh-mgFr2GMmr Fr重力及其势能重力及其势能万有引力及其万有引力及其势能势能弹性力及其势能弹性力及其势能 双原子分子及双原子分子及其势能其势能30平衡位置：就是物体所受作用力为零的位置。平衡位置：就是物体所受作用力为零的位置。(2)(2) 求平衡位置及判断平衡的稳定性：求平衡位置及判断平衡的稳定性：平衡的稳定性：取决于偏离平衡位置时，物体所受力方向：平衡的稳定性：取决于偏离平衡位置时，物体所受力方向：第五章机械能守恒第五章机械能守恒xOVx0 xOVx0 xOVx1 x0 x2

24、022 xV(a)稳定平衡稳定平衡(),力始终指向平衡位置；力始终指向平衡位置；022 xV(b)不稳定平衡不稳定平衡( ),离开平衡位置离开平衡位置,力背离平衡位置方向力背离平衡位置方向；(c)亚稳平衡亚稳平衡;0 F(d)随遇平衡（随遇平衡（x1x2 , ）。）。xOVx0 x031第五章机械能守恒第五章机械能守恒利用势能曲线求平衡位置：利用势能曲线求平衡位置：0 VFFxOkxVx122kx例如：弹性势能例如：弹性势能二维三维情况：特例马鞍形势二维三维情况：特例马鞍形势能曲面中心能曲面中心O处的质点在处的质点在x方向方向不稳定平衡，不稳定平衡，y方向为稳定平衡方向为稳定平衡(3)(3)

25、决定质点的运动范围决定质点的运动范围V0 x1 x2rV0r双原子分子势双原子分子势能曲线能曲线320WWEE 外外内内非非内内非非内内保保内内WWW 一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理（三）（三） 机械能守恒定律机械能守恒定律根据质点系动能定理根据质点系动能定理 ikiikiEEWW0内内外外功能原理功能原理 质点系机械能的增量，等于外力与非保守内力质点系机械能的增量，等于外力与非保守内力对质点系作功之和。对质点系作功之和。机械能：机械能：E=Ek+V第五章机械能守恒第五章机械能守恒与质点系动能定理的关系？与质点系动能定理的关系？0()iiiiWVV 内内保保00() ()kiikii

26、iiiiWWEVEV 外外内内非非33二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统机械能守恒。机械能守恒。时时，内内非非外外00 WW当当0WWEE 外外内内非非根据功能原理：根据功能原理：或或kdEdV 或可写为：或可写为：VEk 00kiikioiEEEVEV 第五章机械能守恒第五章机械能守恒34第五章机械能守恒第五章机械能守恒说明：说明：（1）功能原理和）功能原理和 机械能守恒定律只在惯性系中成立；机械能守恒定律只在惯性系中成立；非惯性系中要引入惯性力；非惯性系中要引入惯性力；（2）在不同的参考系中，

27、力所做的功，体系的动能）在不同的参考系中，力所做的功，体系的动能和体系的机械能可能不同；和体系的机械能可能不同；（3）一个体系在一个参考系中机械能守恒，但在另）一个体系在一个参考系中机械能守恒，但在另一个参考系中并不一定成立一个参考系中并不一定成立;i.功与参考系有关功与参考系有关: 内力做功与参考系无关内力做功与参考系无关; 外力做功与参考系有关外力做功与参考系有关.ii.体系的动能与参考系有关体系的动能与参考系有关;iii. 体系的势能与参考系无关体系的势能与参考系无关.（4）功是一个过程量）功是一个过程量, 能量是一个状态量能量是一个状态量.35三、柯尼希（三、柯尼希（Konig）定理）

28、定理 相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和能之和 iiiiiiikvvmvmE 21212 设设 为质点系的质心速度，为质点系的质心速度， 为笫为笫i个质点相对质心系的速个质点相对质心系的速度，则有度，则有cviv icivvv 代入上式得代入上式得 iciciikvvvvmE 21第五章机械能守恒第五章机械能守恒36 iiciiciiciciikvmvvmvmvvvvmE 22212121kcciiickEMvvmmvE 222212121于是于是质心动能质心动能体系相对质体系相对质心系动能心系动能柯尼希定理柯尼希定理体系动能等于

29、质心动能和体系相对质心系体系动能等于质心动能和体系相对质心系 的动能之和的动能之和.cMv 0 第五章机械能守恒第五章机械能守恒()i im rdMdtM 其中笫三项中其中笫三项中iiiidrm vmdt 37第五章机械能守恒第五章机械能守恒四、一般质心系中的功能原理四、一般质心系中的功能原理ac=0，质心系为惯性系；，质心系为惯性系；ac0，质心系（平动参考系）为非惯性系，质心系（平动参考系）为非惯性系，此时惯性力所做的总功为：此时惯性力所做的总功为： itCicirdamAt0惯 iCiitcrdmat0 CCCtcCiCiiCtciCiitcrmdamrmdmarmda ttt000)(

30、0 即质心系虽为非惯性系时，可不考虑惯性力所做的功！即质心系虽为非惯性系时，可不考虑惯性力所做的功！38五、三种宇宙速度五、三种宇宙速度笫一宇宙速度人造卫星笫一宇宙速度人造卫星21217.9/vMmmGrrGMGMGMvkm srRhR 笫二宇宙速度（或称逃逸速度）人造行星（太阳系）笫二宇宙速度（或称逃逸速度）人造行星（太阳系） 飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度.飞行物在地球引力作用下，环绕地球表面运行，成为人造卫星飞行物在地球引力作用

31、下，环绕地球表面运行，成为人造卫星.分别考虑分别考虑 r 处和无穷远处的机械能处和无穷远处的机械能0)(0)()(21)(2 VErMmGrVmvrEkk，第五章机械能守恒第五章机械能守恒39应当满足机械能守恒，即应当满足机械能守恒，即 ，于是，于是)()( ErE0212 rMmGmv取其等于零，得取其等于零，得逃逸速度逃逸速度skmRGMRhGMrGMv/2 .112222 第五章机械能守恒第五章机械能守恒v产生产生“黑洞黑洞”的条件的条件令笫二宇宙速度取其等于光速令笫二宇宙速度取其等于光速c，则对质量为，则对质量为M的天体，的天体，要成为要成为“黑洞黑洞”，其半径需为，其半径需为22gG

32、MRc 以太阳为例：以太阳为例：Ms=1.99x1030kg，2.95gRkm 40笫三宇宙速度人造行星笫三宇宙速度人造行星(银河系银河系)飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星. 根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的笫三宇宙速度笫三宇宙速度rGMVs23 第五章机械能守恒第五章机械能守恒其中太阳质量其中太阳质量 （地球质量）（地球质量） ，太阳太阳-地球平均距离地球平均距离 （地球半径）（地球半径）MMs310332 Rr2810234105 . 1 skmvV/2 .421

33、0234103322233 故故41 这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕太阳的公转速度太阳的公转速度 ，两者相减，两者相减skmv/8 .29 skmvVV/4 .1233 这是地球这是地球-飞行器质心飞行器质心参考系看来，飞行器冲出地球引力参考系看来，飞行器冲出地球引力范围时，应有的速度。再追溯到地面附近范围时，应有的速度。再追溯到地面附近 h 高度，发射速高度，发射速度度 应当满足机械能守恒，即应当满足机械能守恒，即3v021212323 VmRMmGmv第五章机械能守恒第五章机械能守恒注意到注意到 ，故，故2221mv

34、RGMm 232223Vvv v3VSunEarth3vv 42最后得出笫三宇宙速度最后得出笫三宇宙速度 skmskmVvv/7 .16/4 .122 .112223223 综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定高度，物体在水平方向上的三个特征速度：高度，物体在水平方向上的三个特征速度：第五章机械能守恒第五章机械能守恒32vvv 当当 ，发射体环绕太阳作椭圆轨道运行；，发射体环绕太阳作椭圆轨道运行；21vvv 当当 ，发射体环绕地球作椭园轨道运行；，发射体环绕地球作椭园轨道运行；3vv 当当 ，发射体将沿双曲线轨道离开太阳系，发射体将沿双曲线轨道离

35、开太阳系.43（四）（四） 两体碰撞与两体问题两体碰撞与两体问题 所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的现象。碰撞的特征是现象。碰撞的特征是极短的时间极短的时间和和强烈的相互作用强烈的相互作用。一、正碰对心碰撞一、正碰对心碰撞说明：说明： e=0 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 0e1 非弹性碰撞非弹性碰撞(如采用不同材料时如采用不同材料时) e=1 完全弹性碰撞完全弹性碰撞1102201122m vm vm vm v碰撞定律碰撞定律1201020vvvevvv 恢复系数恢复系数碰撞前两球速度均沿两球中心碰撞前两球速度均沿两球中心

36、连线满足：动量守恒定律连线满足：动量守恒定律10v2v1v20v1m2m第五章机械能守恒第五章机械能守恒44当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得讨论：讨论： 21211020121212121020121211e mmemvvvmmmme mmemvvvmmmm 碰撞过程中损失的动能为碰撞过程中损失的动能为 2212102012112km mEevvmm 由此可知，对于完全弹性碰撞，由此可知，对于完全弹性碰撞，e=1，动能守恒；，动能守恒； 对于完全非弹性碰撞，对于完全非弹性碰撞，e=0，动能损失最大，动能损失最大.第五章机械能守恒第五章机械能守恒4

37、5第五章机械能守恒第五章机械能守恒v高能粒子加速器高能粒子加速器资用能资用能: 真正参与粒子反应的能量，质心动能不参与反应真正参与粒子反应的能量，质心动能不参与反应目的：用来研究微观粒子的结构、相互作用和反应机制目的：用来研究微观粒子的结构、相互作用和反应机制10v200v 1m2m10v20v1m2m？120,mmm令令情况情况i情况情况i:资用能资用能 22121020121102km mEevvemm 由由取取20101142kCkEm vE情况情况i:资用能资用能2010kCkEm vE情况情况ii :高能粒子对撞高能粒子对撞1020)vv ( (令令例如例如: 1987年年,北京正负

38、电子对撞机北京正负电子对撞机:资用能资用能2x2.2GeV 若单束加速若单束加速:1.9x104GeV46 质心系中的正碰撞质心系中的正碰撞 上面讨论的是在实验室系（上面讨论的是在实验室系（L系）中正碰撞。而在质心系）中正碰撞。而在质心系（系（C系）中，由于对质心的动量之和永远为零，故在质心系）中，由于对质心的动量之和永远为零，故在质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰。系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰。在在L系中，质心速度为系中，质心速度为1 1022012cm vm vvmm 在在C系中，设碰撞前后两质点的速度分别为系中，设碰撞前后两质点的速度分别为 和和 则则212010v

39、vvv ，1 102201 122m vm vm vm v0 211020vve vv由这两方程可得由这两方程可得110220vevvev 第五章机械能守恒第五章机械能守恒47在在C系中，碰撞损失的动能为系中，碰撞损失的动能为 22102201122k1Eem vm v 思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系?二、弹性斜碰二、弹性斜碰 碰撞前两球的速度碰撞前两球的速度 不在两球中心连线上的碰撞叫不在两球中心连线上的碰撞叫斜碰斜碰.一般情况下，斜碰为三维问题一般情况下，斜碰为三维问题.若若 ，则变为二维，则变为二维问题问题.2010vv，020

40、v提示：提示：101020201122ccccvvvvvvvvvvvv 第五章机械能守恒第五章机械能守恒48 如图，取如图，取 的方向为的方向为x轴，则上轴，则上面笫一式化为面笫一式化为10v1 101 112221 11222coscos0sinsinm vm vm vm vm v 22221121012211101212121vmvmvmvmvmvm 在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有 式中式中 称为散射角称为散射角.另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中心在心在y方向上的距离方向上的距离b有关有关.b称为瞄准距离称为瞄准

41、距离.b=0时即为正碰时即为正碰.21 、 通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才能求出其余三个未知数能求出其余三个未知数.b1 2 1m2m1v2v10v第五章机械能守恒第五章机械能守恒49例题例题5.5 如图，质量为如图，质量为M的物块的物块A在离平板为在离平板为h的高度的高度处自由下落处自由下落.落在质量也为落在质量也为M的平板的平板B上上.已知轻质弹已知轻质弹簧的倔强系数为簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量求碰撞后弹簧的最大压缩量.解：本题可分为三个物理过程解：本题

42、可分为三个物理过程物块物块A下落下落ghv221 物块物块A与平板与平板B发生碰撞发生碰撞 21vMMMv 碰撞后弹簧被压缩碰撞后弹簧被压缩机械能守恒机械能守恒0 pkEEEh第五章机械能守恒第五章机械能守恒50弹簧被最大压缩时弹簧被最大压缩时 22210vMMEk 2212212121gxMMkxxxkEp 如图，取弹簧不承载平板如图，取弹簧不承载平板的平衡位置为坐标原点的平衡位置为坐标原点O.则则平板平板B放上后位移为放上后位移为 ，物，物块块A碰撞后位移为碰撞后位移为 ，则，则1x2x根据机械能守恒式，得根据机械能守恒式，得 0212122122122 gxMMxxxkvMM而而Mgkx

43、 1xh1x2x第五章机械能守恒第五章机械能守恒O51将、式代入式，整理后得将、式代入式，整理后得02222 kMghxkMgxhkMgkMgkMgxxx 221max2因因 ，故应将负根舍去，故应将负根舍去.得碰撞后弹簧最大压缩量为得碰撞后弹簧最大压缩量为02 x解之得解之得hkMgkMgkMgx 22第五章机械能守恒第五章机械能守恒52第五章机械能守恒第五章机械能守恒例题例题5.6 弹弓效应弹弓效应 如图，土星的质量为如图，土星的质量为5.67x1026kg，以相对于，以相对于太阳的轨道速率太阳的轨道速率9.6km.s-1运行；一空间探测器质量为运行；一空间探测器质量为150kg，以相对于

44、太阳以相对于太阳10.4km.s-1的速率迎向土星飞行。由于土星的引的速率迎向土星飞行。由于土星的引力，探测器绕过土星沿和原来速度相反的方向离去，求它离开力，探测器绕过土星沿和原来速度相反的方向离去，求它离开土星的速度。土星的速度。v10v1v20解：将其看成无接触碰撞，其中解：将其看成无接触碰撞，其中e=1，m1可忽略，则可忽略，则 2121102012121e mmemvvvmmmm 11020229.6()vvkm s 探测器绕过土星后由于引力作用速率增大，这种效应称探测器绕过土星后由于引力作用速率增大，这种效应称 为为弹弓效应弹弓效应。53第五章机械能守恒第五章机械能守恒三、两体问题处

45、理方法三、两体问题处理方法m1 rC1 rC2 m2r1 rC r2O如图，考虑质量分别为如图，考虑质量分别为 m1 和和 m2 的的两个质点的孤立体系，质点间的作用两个质点的孤立体系，质点间的作用力是保守力，由两质点的相对位置决力是保守力，由两质点的相对位置决定。取一惯性系，位矢和速度分别定。取一惯性系，位矢和速度分别为为 ，质心的质量、位矢，质心的质量、位矢分别为分别为 mC 和和 rC，则有：，则有： 2121vvrr、和和、21mmmC在该惯性系中，动力学方程为：在该惯性系中，动力学方程为： 212211mmrmrmrC 122121Fdtrdm122222FdtrdmFFF2112处

46、理方法一（处理方法一（S参考系法）参考系法）54第五章机械能守恒第五章机械能守恒考虑考虑 m1 相对于相对于 m2 的运动。选择与的运动。选择与 m2 （通常选取质量较大（通常选取质量较大的物体）相对静止的参考系，的物体）相对静止的参考系，m2 位于原点，称该参考系为位于原点，称该参考系为S系系（非惯性系）。（非惯性系）。21rrr在在S系中，系中，m1 的位置为的位置为r，速度为，速度为v：21vvv和和也可以通过引入也可以通过引入惯性力来列出运惯性力来列出运动的牛顿方程动的牛顿方程 122121Fdtrdm122222FdtrdmFFF2112由由FmmmmFmmrrdtd21212121

47、22)11()( 令令 ，则，则 2121mmmm Fdtrd 22 该方程与牛顿定律类似，即该方程与牛顿定律类似，即利用约化质量，即可把利用约化质量，即可把两体问题化成单体问题。两体问题化成单体问题。其中其中 约化质量，或约化质量，或折合质量折合质量55第五章机械能守恒第五章机械能守恒例如：例如：单电子围绕原子核（如单电子围绕原子核（如H原子），或地球围绕太阳的运原子），或地球围绕太阳的运动等，我们通常可以将大质量的物体看成静止，而仅研究小动等，我们通常可以将大质量的物体看成静止，而仅研究小质量物体的运动，即将两体运动问题转化为单体问题。质量物体的运动，即将两体运动问题转化为单体问题。121

48、121211mmmmmmmm 又由于又由于m1 m2，则，则所以在所以在S系中系中Fdtrdmdtrd 22122 这就是我们处理此类两体问题的依据所在。这就是我们处理此类两体问题的依据所在。讨论：讨论： 1.1. 即使即使 m2 不是很大，且不是很大，且m2 也运动时，只要利用约化质量，也运动时，只要利用约化质量，即可把两体问题化成单体问题；即可把两体问题化成单体问题； 2.2. 其它多质点动力学问题不能化成单体问题。即使三体问题其它多质点动力学问题不能化成单体问题。即使三体问题也未能一般解出。这类问题通常用摄动法（微扰法）解。也未能一般解出。这类问题通常用摄动法（微扰法）解。 56第五章机

49、械能守恒第五章机械能守恒另外取质心为原点建立质心参考系（另外取质心为原点建立质心参考系（质心系）质心系）在以在以O点的惯性系中点的惯性系中设设 m1、m2 在质心系中的坐标分别为在质心系中的坐标分别为 rC1、rC2 2 ，有：，有： )(21212212211111rrmmmmmrmrmrrrrCC )(21211212211222rrmmmmmrmrmrrrrCC 22dtrdmCC0该式表明该式表明孤立体系孤立体系的质心系是惯性系的质心系是惯性系处理方法二（处理方法二（质心质心参考系法）参考系法）21CCr/r故故 ，且有，且有1. 质心在两质点的质心在两质点的连线上；连线上；2. 质点

50、与质心距离质点与质心距离反比于质点的质量反比于质点的质量m1 rC1 rC2 m2r1 rC r2OC57第五章机械能守恒第五章机械能守恒在质心系中的机械能：在质心系中的机械能： )(2121222211rVvmvmECC )()(21)(2122212122221221rVvmmmmvmmmm )( 2122121rVvmmmm 系统的势能系统的势能利用约化质量，可得在质心系中的机械能：利用约化质量，可得在质心系中的机械能： )( 212rVvE vmmmvvmmmvC212212121)( vmmmvvmmmvC211212112)( 由上式可得质点由上式可得质点m1、 m2在质心系中的速