数理统计期末练习题, .pdf

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1、数理统计期末练习题1. 在总体)4, 6.7(N中抽取容量为n的样本 ,如果要求样本均值落在)6.9 ,6.5(内的概率不小于 0.95,则 n 至少为多少2设nxx,1是来自)25,(N的样本 ,问n多大时才能使得95.0) 1|(| xP成立3. 由正态总体)4,100(N抽取两个独立样本,样本均值分别为yx,样本容量分别15,20,试求)2.0|(|yxP. 5.设161,xx是来自),(2N的样本 ,经计算32.5, 92sx,试求)6.0|(| xP. 6.设nxx,1是 来 自)1 ,(的 样 本 ,试 确 定 最 小 的 常 数c, 使 得 对 任 意 的0, 有)|(|cx.

2、7. 设随机变量XF(n,n), 证明)1(X9设21, xx是来自),0(2N的样本 ,试求22121xxxxY服从分布 . 10. 设 总 体 为N(0,1),21,xx为 样 本 , 试 求 常 数k , 使 得.05. 0)()()(221221221kxxxxxx11 设nxx,1是来自),(21N的样本 ,myy,1是来自),(22N的样本 ,c,d是 任 意 两 个 不 为0的 常 数 , 证 明),2()()(2221mntsydxctmdnc其 中22222,2)1()1(yxyxssmnsmsns与分别是两个样本方差. 12 设121,nnxxxx是来自),(2N的样本 ,

3、11,nniixxn_2211() ,1nninisxxn试求常数 c 使得1nncnxxtcs服从 t 分布 ,并指出分布的自由度。13 设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20 的样本 ,其样本方差分别为,2221ss精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 试求).2(2221SSp14. 某厂生产的灯泡使用寿命)250,2250(2NX,现进行质量检查,方法如下：随机抽取若干个灯泡 ,如果这些灯泡的平均寿命超过2200

4、h,就认为该厂生产的灯泡质量合格,若要使检查能通过的概率不低于0.997,问至少应检查多少只灯泡？15设)(1 71xx是来自正态分布),(2N的一个样本 ,_x与2s分别是样本均值与样本方差。求k,使得95.0)(_ksxp, 21设1,nxx是来自正态分布总体2,N的一个样本。2111nniisxxn是样本方差 ,试求满足95.05.122nsP的最小n值。1. 设(X1, X2, ,Xn)为来自正态总体 N(, 2)的样本 , 2未知, 现要检验假设H0: = 0, 则应选取的统计量是 _; 当 H0成立时 , 该统计量服从 _分布. 2. 在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小

5、, 则只有增加 _. 1. 设总体 X N(, 2) , 2已知, x1, x2, , xn为取自 X的样本观察值 , 现在显著水平 = 0.05 下接受了 H0: = 0. 若将改为 0.01 时, 下面结论中正确的是(A) 必拒绝 H0 (B) 必接受 H0 (C) 犯第一类错误概率变大 (D) 犯第一类错误概率变小2. 在假设检验中 , H0表示原假设 , H1为备选假设 , 则称为犯第二类错误的是(A) H1不真, 接受 H1 (B) H0不真, 接受 H1(C) H0不真, 接受 H0 (D) H0为真, 接受 H13. 设(X1, X2, ,Xn)为来自正态总体 N(, 2)的样本

6、 , , 2未知参数 , 且niiXnX11, niiXXQ122)(则检验假设 H0: = 0 时, 应选取统计量为(A) QXnn)1( (B) QXn (C) QXn1 (D) 2QXn4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设TS为总离差平方和，eS为误差平方和，AS为效应平方和，则总有TeASSS1、设来自总体 X 的样本值为( 3,2,1,2,0)，则总体X 的经验分布函数5( )Fx在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -

7、处的值为 _ 。2、设来自总体(1, )B的一个样本为12,nXXX，X为样本均值。 则()Var X_。3、设112,.,mmmXXXX是来自总体2(0,)N的简单随机样本， 则统计量1221miimii mXTX服从的分布为 _。4、设1,nXX为来自总体(0,)U的样本，为未知参数，则的矩法估计量为_ 。5、设12,nXXX为来指数分布( )Exp的简单随机样本，为未知参数，则12niiX服从自由度为 _的卡方分布。6、12,nXXX设为来自正态分布2(,)N的简单随机样本，2,均未知，2,X S分别为样本均值和样本无偏方差，则检验假设0010:HVS H的 检 验 统 计 量 为0()

8、n XtS， 在 显 著 性 水 平下 的 拒 绝 域 为_ 。1 、 设1,nXX是 来 自 总 体2( ,)N的 简 单 随 机 样 本 ，统 计 量1211()niiiTcXX为2的无偏估计。则常数c 为12(1)n3、设1234,XXXX是来自总体(1, )Bp样本容量为 4 的样本，若对假设检验问题0H:0.5p，1H :0.75p的拒绝域为413iiWx，该检验犯第一类错误的概率为（） 。（A）1/2 （B）3/4 （C）5/16 （D ）11/16 4、设12,nXXX为来自总体 X 的简单随机样本 , 总体 X 的方差2未知，2,X S分别为样本均值和样本无偏方差，则下述结论正

9、确的是（） 。（A） S是的无偏估计量（B） S是的最大似然估计量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （C ） S是的相合估计量（D） S与 X 相互独立1、某种产品以往的废品率为5% ，采取某种技术革新措施后，对产品的样本进行检验，这种产品的废品率是否有所降低，取显著水平%5，则此，设题的原假设0H：_备择假设1H ：_.犯第一类错误的概率为 _。2、设总体),(2Nx，方差2未知，对假设0H：0，1H ：0，进行假设检验，通常采

10、取的统计量是_，服从 _分布，自由度是_。3、 设总体),(2Nx，和2均未知。统计假设取为0H：01H ：0若用 t 检验法进行假设检验，则在显著水平之下，拒绝域是（ B）A、) 1(|21ntt B、)1(|21nttC、)1(|1ntt D、)1(|1ntt4、在假设检验中，原假设0H，备择选择1H ，则称（ B ）为犯第二类错误A、0H为真，接受0H B、0H不真，接受0HC、0H为真，拒绝0H D、0H不真，拒绝0H2 、 设nXXX, . . . ,21为 取 自 总 体),(2NX的 样 本 ，X为 样 本 均 值 ，212)(1XXnSinin，则服从自由度为1n的t分布的统计

11、量为3、若总体 X ),(2N，其中2已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1减小，则的置信区间 . 4、在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是（）. （A）减小时也减小；（B）增大时也增大；（C ）,其中一个减小，另一个会增大；（D） （A）和（ B）同时成立 . 6、设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布2(0, 3 )N，而129(,)XXX和129(,)Y YY是 分 别 来自 X 和 Y 的 样 本 ，则192219XXUYY服 从 的分 布是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎

12、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - _ . 7、设1?与2?都是总体未知参数的估计，且1?比2?有效，则1?与2?的期望与方差满足 _ _. 8、 设总体),(2NX，2已知，n为样本容量，总体均值的置信水平为 1的置信区间为),(XX，则的值为 _. 9、 设nXXX, . . . ,21为取自总体),(2NX的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于2检验的拒绝域为2)1(21n，则相应的备择假设1H为_；一、填空题1. 若 X 是离散型随机变量，分布律是( ;)P XxP x，（是待估计参数） ， 则似然

13、函数，X 是连续型随机变量，概率密度是( ; )f x，则似然函数是。2. 若未知参数的估计量是，若称是的无偏估计量。设12,是未知参数的两个无偏估计量，若则称1较2有效。3. 对任意分布的总体，样本均值X是的无偏估计量。 样本方差2S是的无偏估计量。4. 设 总 体( )XP， 其 中0是 未 知 参 数 ，1,nXX是X的 一 个 样 本 ， 则的 矩 估 计量为，极大似然估计为。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 一、填空题1

14、、设总体2( ,),1,，n是的样本，则当2已知时，求的置信区间所使用的统计量为= ；服从分布；当2未知时，求的置信区间所使用的统计量= ，服从分布2、设总体2( ,),1,，n是来自的一个样本，则当已知时，求2的置信区间所使用的统计量为= ；服从分布则当未知时，求2的置信区间所使用的统计量为= ；服从分布3、设由来自总体2( ,0.9 )容量为9 的简单随机样本，得样本均值=5，则未知参数的置信度为 0.95 的置信区间是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - -

15、- - - - - - - 一、选择题1设随机变量X 服从 n 个自由度的t 分布，定义t满足 P(Xt)=1-，0 x)=b ，b0，则 x 等于（A）t1-b（B） t1-b/2 （C）tb（D）tb/22 设nXXX, . . . ,21是来自标准正态总体的简单随机样本，X和 S2为样本均值和样本方差，则（A）X服从标准正态分布（B）niiX12服从自由度为n-1 的2分布（C）Xn服从标准正态分布（D）2) 1(Sn服从自由度为n-1 的 2分布3设nXXX,.,21是来自正态总体N(,2) 的简单随机样本，X为其均值，记niiXnS1221)(1，niiXXnS1222)(1，nii

16、XnS1223)(11，niiXXnS1224)(11，服从自由度为n-1 的 t 分布的随机变量是（A）1/1nSXT（B）1/2nSXT（C）1/3nSXT（D）1/4nSXT4设21,XX是来自正态总体N( ,2) 的简单随机样本，则21XX与21XX必（A）不相关（B）线性相关（C）相关但非线性相关（D）不独立5设nXXX,.,21是来自正态总体N(,2) 的简单随机样本，统计量2SXnY，则（A）Y2(n-1) （B）Yt(n-1) （C）YF(n-1,1) （D）YF(1,n-1) 6设随机变量XN(0,1) ，YN(0,2) ，且 X 与 Y 相互独立，则（A）223231YX服

17、从 2分布（B）2)(31YX服从 2分布（C）222121YX服从 2分布（D）2)(21YX服从 2分布精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 7设 X, 1021,.,XXX是来自正态总体N(0,2) 的简单随机样本，niiXY122101，则（A）X22(1) （B）Y22(10)（C）X/Yt(10) （D） X2/Y2 F(10,1) 8设总体X 与 Y 相互独立且都服从正态分布N(,2) ，X，Y分别为来自总体X,Y 的容

18、量为 n 的样本均值，则当n 固定时，概率)|(|YXP的值随 的增大而（A）单调增大（B）单调减小（ C）保持不变（D）增减不定9 设随机变量X 和 Y 都服从标准正态分布，则（A）X+Y 服从正态分布（B）22YX服从 2分布（C）X2和 Y2都服从 2分布（ D）22/YX服从 F分布填空题1已知随机变量X，Y 的联合概率密度为)4849(721exp121),(22yyxyxf，则22) 1(49YX服从参数为的分布。2假设1621,.,XXX是来自正态总体N(,2) 的简单随机样本，X为其均值， S 为其标准差，如果95.0)(aSXP，则参数 a 。 （ t0.05(15)=1.7

19、531）3在天平上重复称重一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(a,0.22)。若以nX表示n 次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1 .0|(|aXPn，n的最小值应不小于自然数。4假设nXXX,.,21是来自正态总体N(,2) 的简单随机样本，S 为其标准差，则ES4。5设随机变量XF(n,n) ，则概率P(X1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为X，S2。记221) 1(SnXnY，试求 Y 的期望 EY 与方差 DY 。5已知总体X 的数学期望EX= ，方差 DX= 2，,.,21XX,Xn是来自总体X 的简单随机样本，样本均值为X，求XXi与XXj(ij

20、)的相关系数 。6 从正态分布总体N(3.4, 36) 中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4) 的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 选择题1设nXXX,.,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;)中含未知参数，则（A）用矩估计法和最大似然估计法求出的的估计量相同(B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的的估计量不同（C）用矩估计法和最

21、大似然估计法求出的的估计量不一定相同(D) 用最大似然估计法求出的的估计量是唯一的2设nXXX,.,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX= ，DX= 2，其中 ，2均为未知参数，X1?，12?X，下面结论哪个是错误的。（A）X1?是的无偏估计(B) 12?X是的无偏估计（C）X1?比12?X有效(D) niiXn12)(1是 2的最大似然估计量3设nXXX,.,21是来自正态分布总体N(,2)的简单随机样本，其中数学期望已知，则总体方差 2的最大似然估计量是（A）niiXXn12)(11(B) niiXXn12)(1（C）niiXn12)(11(D) niiXn12)(14已知总体X 在

22、区间 0,上均匀分布，其中是未知参数，设nXXX,.,21是来自 X 的简单随机样本，X是样本均值，,.,max 1)(nnXXX是最大观测值，则下列选项错误的是（A）)(nX是的最大似然估计量(B) )(nX是的无偏估计量（C）X2是的矩估计量(D) X2是 的无偏估计量5 设总体 XN( 1,2)，总体 YN( 2,2)，mXXX,.,21和nYYY,.,21分别是来自总体X 和 Y 的简单随机样本，样本方差分别为2XS与2YS，则 2的无偏估计量是（A）22YXSS(B) 22) 1()1(YXSnSm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

23、名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （C）222nmSSYX(D) 2)1() 1(22nmSnSmYX6设X是从总体 X 中取出的简单随机样本nXXX,.,21的样本均值，则X是的矩估计，如果（A）XN( ,2) (B) X 服从参数为 的指数分布（C）P（X=m ）=(1-)m-1，m=1,2,(D) X 服从 0,上的均匀分布填空题1假设总体 X 服从参数为 的泊松分布，nXXX,.,21是取自总体X 的简单随机样本，其均值、 方差分别为X，S2 ，如果2)32(?SaXa为的无偏估计， 则 a= 。2已知1

24、?、2?为未知参数的两个无偏估计，且1?与2?不相关，21?4?DD，如果213?ba也是 的无偏估计，且是1?、2?所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差的，则 a= ，b= 。3设总体 X 的概率密度为其它，,0, 10,)1()(1xxxf则的矩估计量为。4设nXXX,.,21是取自总体X 的简单随机样本，且EX= ，DX= 2，其均值、方差分别为X，S2 ，则当 c= 时，22)(cSX是2的无偏估计。5设nXXX,.,21是取自总体X 的简单随机样本，且 EX= ，DX= 2，212)(XbXanii的数学期望等于 2，则 a= ，b= 。解答题1设总体X 的概率密度为其它，, 0,

25、 10,) 1()(xxxf其中 -1 是未知参数，X1,X2,Xn是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求 的估计量。2设某种元件的使用寿命X 的概率密度为其它，, 0,2)()(2xexfx其中 0 是未知参数， x1,x2,xn是来自总体X 的一组样本观测值，求的最大似然估计量。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 3. 设总体 X 的概率分布为X 0 1 2 3 P 22(1-) 21-

26、2其中 （00) 为未知参数。自一批这种器件中随取n 件进行寿命试验， 设它们的失效时间分别为nXXX,.,21， 求 ，的最大似然估计量。5设总体X 的概率密度为其它，, 0,);()(xexfx为未知参数，nXXX,.,21为取自 X 的一个样本， 证明：1?1X，nXXn1,.,min?12是的两个无偏估计量，并比较哪个更有效。6 设 总 体X的 概 率 密 度 为其它，,0,0),(6);(3xxxxf 为 未 知 参 数 ，nXXX,.,21为取自 X 的一个样本，（1）求 的矩估计量?； （2）求?的方差?D； （3）讨论?的无偏性。7某人作独立重复射击，每次击中目标的概率为p，他在第X 次射击时，首次击中目标。（1）试写出 X 的分布律；（2）以此 X 为总体，从中抽取简单随机样本nXXX,.,21，试求未知参数p 的矩估计量和最大似然估计量。8设从均值为 ，方差为 2的总体中分别抽取容量为n1， n2的两个独立样本，样本均值分别为X和Y。试证：对于任意满足条件a+b=1 的常数 a 和 b，YbXaT是的无偏估计量，并确定a，b，使得方差DT 达到最小。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -