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1、1-2 ，2-2 第二章：“推理与证明”教材分析与教学建议房山教师进修学校中学数学教研室张 吉一、地位与作用“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理与演绎推理。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，演绎推理和逻辑证明能力的培养是高中数学课程的重要目标。本章学习，有利于发展学生思给能力，提高学生数学素养，让学生感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。二、内容说明“推理与证明”是新课标新增内容( 选
2、修 1-2 第二章，选修2-2 第二章 ) ，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求） “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的，是高中数学的重要基础，在高中数学中占有极其重要的地位和作用三、课标要求1合情推理与演绎推理（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（2）结合已学过的数学实例和生活中
3、的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理（3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2直接证明与间接证明（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点（2）结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点3数学归纳法（文科不做要求）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题四、本章重点与难点1重点：（1）合情推理、演绎推理；（2）直接证明与间接证明。2难点：（1）演绎推理和反证法； （2）对数学归纳法的理解（只限理科）。五、教学
4、内容及课时安排1理科课时安排（合情推理与演绎推理3 课时，直接证明与间接证明2 课时，数学归纳法2 课时，小结1课时，共8课时）节次内容课时21 合情推理和演绎推理3 211 合情推理1 212 演绎推理2 22 直接证明与间接证明2 221 分析法与综合法1 222 反证法1 23 数学归纳法2 本章小结1 2文课时安排（合情推理与演绎推理4 课时，直接证明与间接证明4 课时，小结2 课时，共计10 课时）节次内容课时21 合情推理和演绎推理4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共
5、 15 页 - - - - - - - - - - 211 合情推理2 212 演绎推理2 22 直接证明与间接证明4 221 分析法与综合法2 222 反证法2 本章小结2 六、教材分析教学建议本章结合生活实例和学生已学过的数学实例，介绍两种基本的推理- 合情推理与演绎推理、两类基本的证明 - 直接证明与间接证明、一种特殊的方法- 数学归纳法本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能有意识地使用它们，以培养言之有理、论证有据的习惯（一）合情推理与演绎推理1教学重点与难点教学重点：了解合情推理的含义，能利用
6、归纳和类比等进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行一些简单推理教学难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题2教材分析合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式（1） “合情推理”是高中数学课程标准的亮点之一从解放后首次制定（1952 年）中小学数学教学大纲开始，关于数学能力主要以三大能力为具体内容；1978 年增加了“培养学生分析问题与解决问题的能力”，而对核心逻辑思维能力中推理的理解，仅局限在演绎和归纳两个方面，并且不论是教材的呈现方式，还是教师的教学、考试都是以演绎推理和严格的证明为主，归纳推理没有引起足够的重视，类比推理更难寻其踪影 2001 年
7、7 月全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中，提出让“学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”合情推理首次进入国家纲领性文件，这标志着我国数学教育观念的一次转变，标志着合情推理得到了应有的重视 2003 年颁布的普通高中数学课程标准（实验稿）中，强调在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论的作用，而且在教材中专门设置了合情推理的内容（2）归纳推理和类比推理是合情推理的两种常用的思维方法归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由于归纳推
8、理是由部分到整体、由个别到一般，所以结论不一定可靠，只能算是一种猜想类比推理是由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理其思维过程是从特殊到特殊，类比的基础是事物之间的相似性或某种特殊性由于类比推理是由特殊到特殊的推理，因此结论不一定可靠，只能算是一种猜想合情推理具有两大功能：一是探索一般结论，二是发现解题思路（3）演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论” 是演绎推理的一般模式三段论由三部分构成： （两个前提，一个结论）大前提 -已知的一般原理；小前提 -所研究的特殊情况；结论 -根据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论可用右边的格式来表示用集合
9、观点就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，则S中所有元素都具有性质P演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得结论就一定是正确的但错误的前提会导致错误的结论（4）合情推理与演绎推理的联系与差异：M 是 P，S是 MS是 P精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，是由部分到整体、
10、由个别到一般、由特殊到特殊的推理，合情推理作出的结论未必可靠，有待于进一步证明或否定演绎推理是由一般到特殊的推理，只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得结论就一定是正确的正如波利亚所说：“论证推理（即演绎推理）是可靠的、无可置疑的和终决的合情推理是冒险的、有争议的和暂时的”从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度上讲，它们又是紧密联系，相辅相成的合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的演绎推理回答如何证明定理或命题的问题，是“论证”的手段，而合情推理回答如何发现定理或命题的问题，是发现的工具合情推理可以为演绎推理提供方向和思路，演绎推理可以验证合情推理的
11、结论的正确性合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式许多重要的科学结论（包括数学的定理、法则、公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比等，即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误对于数学学习来说，既要学会证明，也要学会猜想3教学建议（1）要注意结合实际例子，使学生了解合情推理的含义；（2）要通过学生学过的简单的数学例子，让学生掌握归纳推理和类比推理的基本方法；（3）要通过数学史事，使学生认识合情推理在数学发现中的作用；（4）要通过学生学过的简单的数学例子，让学生掌握演绎推理的基本模式-“三段论”推理模式；（5）要通过反例，让学生理解演绎推理的前提与结论之
12、间的蕴涵关系；（6）要通过具体实例，帮助学生了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，让学生既学会猜想，又学会证明（二）直接证明与间接证明1教学重点与难点教学重点：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解分析法、综合法和反证法的思考过程、特点教学难点：根据问题的特点, 结合分析法、综合法和反证法的思考过程、特点, 选择适当的证明方法或使用不同的证明方法解决同一问题. 2教材分析数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明才能得到确认，这是数学区别于其他学科的显著特点 . 直接证明与间接证明是两类基本的数学证明方法（1）综合法的思维
13、特征是：由因导果即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法（2）分析法的思维特征是：执果索因即从结论入手进行反推，看看需要知道什么，最后推出一个已证的命题（定义、公理、定理、公式等）或已知条件，从而得到证明很多演绎推理的证明题都是采用这种方法进行思考的，有时也将综合法和分析法结合起来使用（3）反证法是间接证明的一种基本方法，任何一个问题都有正反两面，当直接证明有困难时，便可以考虑使用反证法反证法证题的步骤可归结为：反设归谬结论3教学建议（1）先讲综合法，后讲分析法综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式综合法是学生使用较多
14、、较为熟悉的一种方法分析法虽然在过去也经常使用，但学生在理解上显然不如综合法那样容易（2）要突破分析法这一教学难点分析法的主要困难有两点：一是学生对这种证明方法的思考过程不理解； 二是学生对这种证明方法的表达方式不习惯突破难点的方法有两点：一是结合具体的数学实例，让学生感受分析法证明的可靠性，以及“要证只需证”这种表达的必要性；二是将分析法与综合法对比着进行讲解帮助学生加深对分析法思考过程及特点的理解（3）通过具体的数学实例，帮助学生形成既分析又综合的思维方式，学会将分析法与综合法结合起来运用结合方式有两种：一是先用分析法探寻证题思路，再用综合法有条理地表述证明过程；二是将分精品资料 - -
15、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 析法与综合法结合起来，证明某些较复杂的数学问题（4）结合已经学过的数学实例，帮助学生了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点在必修课的教学中，学生已经使用反证法证明了一些较简单的数学命题，对于反证法学生并不是完全陌生的本次教学应尽量利用学生已有的经验，进一步加深对反证法的思考过程、特点的了解一是要提炼用反证法证题的基本模式反证法证题的步骤可归结为：反设归谬结论其中，正确反设是用好反证法的前提，推
16、出矛盾 （归谬） 是用好反证法的关键反设是否正确， 与逻辑知识密切相关，因此，在反证法教学前，宜先复习常用逻辑用语中的相关知识二是总结反证法的适用范围反证法主要适用于以下两种情形：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形（三）数学归纳法1教学重点与难点教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握数学归纳法的基本步骤，运用数学归纳法证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题教学难点：（1）对数学归纳法基本原理的理解；（2）在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推
17、关系2教材分析本节分为两部分：第一部分主要内容是借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；第二部分的重点是用数学归纳法证明一些简单的数学命题，教科书安排了两个例题，通过证明数学命题巩固对数学归纳法的认识数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形用数学归纳法证题分为两大步骤：第一步（归纳奠基） ：证明当0nn时命题成立，其中0n是命题成立的初始值，不一定是自然数1这一步是论证的基本保证，是递推的基础，必须保证其真实性第二步（归纳递推） ：假设0(,)nk
18、kn kN时命题成立，证明1nk时命题也成立这一步是命题具有后续传递性的保证，是递推的依据由1kk时必须使用归纳假设，否则不算数学归纳法只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题，但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法3教学建议（1）通过递推数列求通项问题，引发学习数学归纳法的欲望，说明探索新的证明方法的必要性（2）分析“多米诺骨牌”全部倒下的原理递推思想（3）给出数学归纳法的基本原理（4）结合例题，讲解数学归纳法的证题步骤与要求，帮助学生理解数学归纳法证题中的“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可（5）向学生指明数学
19、归纳法的适用范围教学时要使学生明确，数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题一般说，从nk时的情形过渡到1nk时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难（6）让学生经历数学研究与发现的完整过程，并进一步熟悉数学归纳法在教科书例2 的教学中，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 应引导学生关注两个问题：一是归纳猜想；二是归纳递推，要注意从nk时的情形到1nk
20、时的情形是怎样过渡的（7）通过变式训练，让学生形成运用数学归纳法解题的经验七、例题分析例 1 （归纳推理） 从2211 23432，3+4+5+6+7=5中，可得到一般规律为 (用数学表达式表示) 解：2(1)(2). (32)(21)nnnnn例 2 （类比推理）在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：.222bac设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMNO，如果用321,SSS表示三个侧面面积，4S表示截面面积，那么你类比得到的结论是解：23222124SSSS例 3 （假言
21、推理）设a为实数，求证方程0222aaxx有相异的两实根。解：因为方程0222aaxx的判别式0，则这个方程有实根，而判别式07) 12(24422aaa，所以方程0222aaxx有相异的两实根。例 4 （三段论推理）已知空间四边形ABCD 中，点 E、F分别为 AB 、AD的中点。求证：EF平面 BCD 。 A E F B D C 证明：连结BD 。因为点 E、F 分别为 AB 、AD的中点所以 EFBD 又 EF平面 BCD ，BD平面 BCD ，所以 EF 平面 BCD 例 5 （关系推理）已知,abc求证：114.abbcac证明：abc2224acacabbcabbcbcabbc a
22、babbcabbcabbcab bc图 1 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 1144,.acacabbcabbcac例 6（完全归纳推理）运用完全归纳推理证明：函数1)(258xxxxxf的值恒为正值。证明：当0 x时，)(xf的每一项均为正数，故函数)(xf的值为正值；当10 x时，1)(258xxxxxf=011328xxxx；当1x时，1)(258xxxxxf=011135xxxx。综上所述，函数1)(258xxx
23、xxf的值恒为正值。例 7 （综合法）求证：2233()ababab。222abab, 232 3aa, 232 3bb ; 将此三式相加得222(3)22 32 3ababab, 2233()ababab. 例 8 （分析法）已知0,0 mba，求证：abmamb。证明：0,0 mba，为了证明abmamb，只需证明mabmba只需证明bmam只需证明ba因为ba成立，故原不等式成立。例 9 （反证法）若a,b,c 均为实数，且,求证： a，b，c 中至少有一个大于0。证明：假设a,b,c 都小于 0，则623222222xzzyyxcba03111222zyx与假设矛盾，故假设不成立，原命
24、题成立，所以a，b，c 中至少有一个大于0。例 10用数学归纳法证明等式：式:.211121121.4131211nnnnn21.由kn到kn+1 时,两边应同时加上( D ) (A)121k(B) -121k(C) ) 1(21k(D) 121k-221k例 11欲用数学归纳法证明:对于足够大的自然数n,总有32nn,0n是验证的第一个值,则（ C ）(A) 0n=1 (B) 0n是大于 1而小于 10 的某个整数(C) 0n10(D) 0n=2 例 3正项数列na中，21a，且满足nnanna11。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
25、纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （1）求432,aaa；（2）猜想出数列na的一个通项公式，并用数学归纳法证明。解:(1)2212112aa;323223aa;42214334aa(2)由此猜想 ,nan2,下面用数学归纳法证明: 当1n时,11a, 公式成立假设当kn时公式成立 , 即kak2,则当kn+1 时kkakka11=1221kkkk由、可知，对一切Nn*，公式都成立。八、练习题一、选择题1. 下列表述正确的是（）归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比
26、推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理. A B C D2. “若qp，为真则为真q，p” ，是演绎推理中的（）A假言推理 B 三段论推理 C 关系推理 D 完全归纳推理3. 下面使用类比推理正确的是（）A.“若33ab, 则ab”类推出“若00ab, 则ab”B.“若()ab cacbc”类推出“()a b cac bc”C.“若()ab cacbc” 类推出“ababccc（c0） ”D.“nnaa bn（ b）” 类推出“nnaabn（b）”4观察下列数:1, 3, 2, 6, 5, 15, 14 ,x, y, z, 122, 中 x，y，z 的值依次是( ) A42,，
27、41，123 B13，39，123 C24，23，123 D28，27， 123 5.已知命题:pxR，sin1x，则（）:pxR，sin1x:pxR，sin1x:pxR，sin1x:pxR，sin1x6. 函数21yax的图像与直线yx相切，则a=( ) A. 18B.14C. 12 D. 1 7. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面, 则平行于平面内所有直线；已知直线b平面， 直线a平面， 直线b平面， 则直线b直线a” 的结论显然是错误的， 这是因为 （）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误8. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理
28、数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 ( ) C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误9. 用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于60 度”时，反设正确的是（）(A) 假设三内角都不大于60 度 (B) 假设三内角都大于60 度 (C) 假设三内角至多有一个大于60 度 (D) 假设三内角至多有两个大于60 度10. 设)()(,sin)(010
29、xfxfxxf，21( )( ),fxfx1( )( )nnfxfx，nN，则2007( )fx( ) A.sin xB.sin xC.cosxD.cosx11. 抛物线24xy 上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( ) A.2 B.3 C.4 D. 5 12. 设( )|1|f xxx, 则1()2ff( ) A. 12B. 0 C.12 D. 1 13. 已知向量)3, 5(xa, ), 2(xb, 且ba, 则由x的值构成的集合是( ) A.2,3 B. -1, 6 C. 2 D. 6 14. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面, 则平行于平面内所有直线；已知直线b平
30、面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误15若)(xf和 g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)(xgfx有实数解，则)(xgf不可能是 ( ) A512xxB512xxC512xD512x16若数列na的前 8 项的值各异，且nnaa8对任意的Nn都成立，则下列数列中，可取遍na的前 8 项值的数列是（）A12kaB13kaC14kaD16ka17已知2 ( )(1), (1) 1( ) 2f xf xff x*xN（），猜想(f x）的表达式为 ( ) A.4( )22xf
31、x B.2( )1f xx C.1( )1f xx D.2( )21f xx18. 已知2( )(1),(1)1( )2f xf xff x*xN（），猜想(fx ）的表达式为 ( ) A.4( )22xf x B.2( )1f xx C.1( )1f xx D.2( )21f xx19. 设数列na的前 n 项和为nS，令12nnSSSTn，称nT为数列1a，2a，na的“ 理想数 ” ，已知数列1a，2a， ，500a的“ 理想数 ” 为 2004，那么数列 2，1a，2a， ，500a的“ 理想数 ” 为（）A2008 B2004 C2002 D2000 20.已知1230aaa，则使得
32、2(1)1ia x(1,2,3)i都成立的x取值范围是（）A.（0，11a）B. （0，12a）C. （0，31a）D. （0，32a）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 21. 下 面 的 四 个 不 等 式 ： cabcabcba222； 411aa； 2abba； 22222bdacdcba. 其中不成立的有 ( ) A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个22. 数列na中， a1=1，Sn表示前 n 项和，且 Sn，Sn+
33、1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2， S3，猜想当 n1 时， Sn=（）A1212nnB1212nnCnnn2)1(D1121n二、填空题23. 一同学在电脑中打出如下若干个圈: 若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈, 那么在前 120 个圈中的的个数是。24. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB 、 AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BCACAB。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC 、ACD 、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 . 25. 从 1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-1
34、6=-(1+2+3+4), , 推广到第n个等式为 _.26. 从2211 23432，3+4+5+6+7=5中，可得到一般规律为 (用数学表达式表示) 27. 函数 yf （x）在（ 0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 . 28. 设平面内有条直线(3)n，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用( )f n表示这条直线交点的个数，则(4)f= ；当时，( )f n（用含n 的数学表达式表示） . 29在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：.222ba
35、c设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMNO，如果用321,SSS表示三个侧面面积，4S表示截面面积， 那么你类比得到的结论是30. 知数列 an 满足Snan2n1, 则a1, a2, a3的值分别是 _, 推测an的表达式为 _.31由数列的前四项：23，1 ，85，83，归纳出通项公式an =_ (nN*)图 1 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 32若数列
36、an，(nN*)是等差数列 ,则有数列bn=naaan21(nN*)也是等差数列，类比上述性 质 ， 相 应 地 ： 若 数 列 Cn 是 等 比 数 列 , 且Cn 0(nN*) ， 则 有dn=(nN*)也是等比数列33. 为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem) ，其加密、解密原理如下图：现在加密密钥为)2(logxya，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3” ，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6” 问：若接受方接到密文为“4” ，则解密后得明文为34)(131211)(Nnnnf，经计算的27)32(, 3)16
37、(,25)8(, 2)4(,23)2(fffff，推测当2n时，有三、解答题35. 求证： (1)2233()ababab; (2) 6+722+536. 证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项. 37已知,abc求证：114.abbcac38观察以下各等式：223sin 30cos 60sin 30 cos604223sin 20cos 50sin 20 cos504223sin 15cos 45sin15 cos454解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -
38、- -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。39. 在 ABC中，CBCBAcoscossinsinsin，判断 ABC的形状 . 40. 已知：空间四边形ABCD 中，E，F 分别为 BC ，CD的中点，判断直线EF与平面 ABD的关系，并证明你的结论 . 41. 已知函数xxxf)1ln()(，求)(xf的最大值 . 42. ABC三边长, ,a b c的倒数成等差数列，求证：角B090. 43. 在各项为正的数列na中，数列的前n 项和nS满足nnnaaS121（1） 求321,aa
39、a； （2） 由（ 1）猜想数列na的通项公式； （3） 求nS44.18、设 a，b，x，yR，且精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 45.若 a,b,c 均为实数， 且,求证：a， b，c 中至少有一个大于0。46. 通过计算可得下列等式：11212221222322132342212) 1(22nnn将以上各式分别相加得：nnn)321 (21) 1(22, 即：2)1(321nnn类比上述求法：请你求出2222321n的值
40、. 47. 直角三角形的两条直角边的和为a，求斜边的高的最大值。48. 已知)(Rxxf恒不为0，对于任意Rxx21, 等式222212121xxfxxfxfxf恒成立 . 求证：)(xf是偶函数 . 第二章推理与证明参考答案一、选择题1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 11.D 12.D 13.C 14.A 15.B 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.A 22.B 二、填空题23. 14 24. 2222ADBACDABCBCDSSSS25.nnnn.321)1(1.1694112126. 2(1)(2). (32)(21)
41、nnnnn 27. f(2.5)f(1)f(3.5) 28. 5 ；12（n+1）(n-2)29.23222124SSSS 30. a123, a247, a3815, an 2n2131.nn2232.nnccc2133. 14 34.22)2(nfn三、解答题35. 证明：（1） 222abab, 232 3aa, 232 3bb ; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 将此三式相加得222(3)22 32 3ababab,
42、2233()ababab. （2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2（22+5）2，即证402422。上式显然成立, 原不等式成立.36证明：假设2、3、5为同一等差数列的三项，则存在整数m,n 满足3=2+md 5=2+nd n- m得：3n-5m=2(n-m)两边平方得： 3n2+5m2-215mn=2(n-m)2左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数所以，假设不正确。即2、3、5不能为同一等差数列的三项. 37证法一：（综合法）abc2224acacabbcabbcbcabbc ababbcabbcabbcab bc1144 ,.acacabbcabbcac证法二：（分析法）abc
43、要证114.abbcac即证4.()()acab bcac需证2()4 () ()acabbc即证bcbacabacca44442222即证0)2(2bca0)2(2bca存在，114.abbcac成立38猜想：43)30cos(sin)30(cossin22证明：2222222222sincos (30 )sincos(30 )3131sin(cossin)sin(cossin)222231331sincossinsincossincossin442223(sincos)43439解：ABC是直角三角形；因为 sinA=CBCBcoscossinsin精品资料 - - - 欢迎下载 - -
44、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 据正、余弦定理得： （b+c）(a2-b2-c2)=0 ； 又因为 a,b,c为ABC的三边，所以 b+c0 所以 a2=b2+c2 即ABC为直角三角形. 40解：平行；提示：连接BD ，因为 E，F分别为 BC ，CD的中点， EFBD. 41解：用求导的方法可求得)(xf的最大值为0 42. 证明：222cos2acbBac222acbac=212bac211()bbb acac, ,a b c为 ABC三边，acb，1bac0
45、cosB0B090. 43. 解： （1）23, 12, 1321aaa； （2）1nnan； （3）nSn. 44可以用综合法与分析法- 略45. 用反证法证明. 46. 解 113131223312323232331333334233133) 1(233nnnn将以上各式分别相加得：nnnn)321(3)321 (31) 1(222233所以：2131)1(3132132222nnnnn)12)(1(61nnn47.24a48.简证：令12xx，则有01f，再令12xxx即可精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -