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1、第九章技术原理与概论，随机变量与分布第一节分类加法技术原理与分步乘法记数原理必明 2 个易误点1.分类加法计数原理在使用时易忽略每类做法中每一种方法都能完成事件，类与类之间是独立的。2.分布乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的【必会 2 个方法】1.应用两种原理解题（1）分清要完成的事件是什么；（2）分清完成改事件是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立， “步”间互相联系；（3）有无特殊条件的限制；（4）检验是否有重漏。2混合问题一般是先分类再分步，分类时标准要明确，做到不重复不遗漏。考点一分类加法计数原理【类题通法】利用分类加
2、法计数原理理解时应注意（！ ）跟据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏（2） 分类时，要注意完成这件事的任何一种方法必须属于哪一类，不能重复。考点二分步乘法计数原理利用分步乘法计数原理解决问题时应注意（1）要按事件发生的过程合理分布，即分步是先有先后顺序的（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事。（3）对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定考点三两个原理的综合应用【类题同法】在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求，分清完成该事情是分类还是分步，“类” 间互相独立，“步”间
3、互相联系第二节排列与组合必明 3 个易误点1易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关。2.计算mnA时易错算为n（n-1） （n-2）（n-m） 。3.易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，而排列是所有排列的个数，是一个正整数必会 2 个方法1.排列问题与组合问题的识别方法；识别方法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 排列若交换某两个元素的位置对结
4、果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关2.组合数的性质（2）的应用主要是两个方面，一个简化运算，当m2n时，通常将记算mnC转化为计算n mnC。二是列等式，由xnC=ynC可得 x=y 或 x+y=n 。性质（3）主要用于恒等变形简化运算。考点一排列问题【类题同法】求解排列应用题的主要方法直接法符合条件的排列数值接列数计算优先法有限安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的颞部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再讲不相邻的元素插在
5、前面元素排列的空档中先整体“小集体”排列问题中先整体后布局后布局定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，除法处理再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等间转化方法考点二组合问题【类题同法】组合两类问题的解法（1） “含”与“不含”的问题，“含”，则先将这些元素取出，再有另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，在冲剩下的元素中去选取（2） “至少”， “最多”的问题，解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解。用直接法或间接法都可以求解。通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
6、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 考点三分组分配问题分组分配问题是排列，组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配，归纳起来常见的命题角度有：（1）整体均分问题；（2）部分均分问题；（3）不等分问题；【类题同法】解决分组分配问题的策略1.对于整体均分，解决时要注意分组后，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以nnA（n 为均分的组数） ，避免重复计数2.对于部分均分， 解题是注意重复的次数是均分组合的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以m
7、！ ，一个分组过程中有几个这样的均分组就要除以几个这样的全排列数。3.对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排数列。第三节二次式定理必明 3 个易误点1.二次式的通项易误认为是第k 项实质上是k+1 项。2 （ a+b)n与（ b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的。所以公式中的第一个量 a易第二个量b 的位置不能颠倒。3.易混淆二次项式中的“项”， “项系数”， “项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指knc（k=0.1，n） 。必会 4 个方法1.赋值法研究二项式的系数和问题“
8、赋值法”普遍适用于恒定等式，是一种重要的方法，对于如（ax+bx+c)m（a，b R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，至需x=1 即可；对于（ ax+by)n（a，bR）的式子求各项系数之和，只需令x=y=1 即可2.利用二项式定理解决整除问题的思路要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二次式定理展开后的各项式均能被另个一式子整除即可。因此，一般要将被除化为除式化为含相关除式化为含相关除式的二次项式，然后再展开3.二次式系数最大项的确定方法（1）如果 n 是偶数则中间一项（第（2n+1）项）的二次项系数最大；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
9、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （2）如果 n 是奇数，则中间两项（第12n项与第（12n+1）项）的二次式系数相等并最大；4二次展开式系数最大项的求法：如求（a+bx)n（a，bR）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为1A，2A，1nA，且第 k 项系数最大，应用11kkkkAAAA从而解出 k 来，即得。考点一二次式中的特定项或特定项的系数【类题同法】求二次展开式中的指定项，一般是利用通项公式进化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；
10、求有理项时，指数为整数等），解出项数r+11，代会通项公式即可。考点二二次式系数和或各项系数和问题【类题同法】1.对于几个多项式和展开式中的特定项（系数）问题，只需依据展开式的通项，每一项中分别得到含有3x的项，再求和即可2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规则，结合组合细想求解，但要求注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏3.对于三项式问题一般先变化为二项式再解决第四节随机事件的概率必明 2 个易误点1.易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数。2.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除除要求这两个事件不同时发生外，还要二者之
11、一必须有一个发生因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件必会 2 个方法1.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥2.事件 A 的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集。考点一事件关系的判断（1）利用集合观点判断事件关系（2）可以写出所有试验结果，看所求事件包含那几个试验结果，从而判断所求事件的关系。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 考点二随机事件的概率
12、【典例】(2013 广州模拟 )将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数。（1）求点数之积是4 的概率（2）设 a，b 分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子2a b=1 成立的概率。【类题同法】求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，基算方法有：（1）列举法，（2）列表法（ 3）利用树状图举列考点三互斥事件与对立事件的概率【类题同法】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法， 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件得求个公式计算。二是间接求法， 先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）=1-P（A） ，即运用逆向思想9(正难则反 )，特别是
13、“至多” ， “至少”型题目，用间接求法就显得较简便。第五节古典概型必明 2 个易误点1.在计算古典概率中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否等可能的。2.概率的一般加法公式P （A+B ）=P（A）=P（B）-P （A B）中，易忽视只有当A B=，即 A，B 互斥时， P（A+B ）=P（A）+P（B） ，此时 P（AB） =0 必会 3 个方法古典概率中基本事件的探索方法（1）牧举法 ;适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的。（2）树状图法：适合于较复杂的问题中基本事件的探求，注意在确定基本事件（x，y）可以看成是有序的，如（2,1）不同，有时也可以看成是无序的，如（1,2） （
14、2,1）相同（3）排列组合法： 在求一些较复杂的基本的基本事件的个数时可利用排列或组合的知识。考点一古典概率【类题通法】计算古典概型事件的概率三步法第一步：算出基本事件的总个数第二部：求出事件A 所包含的基本事件个数m 第三步：代入公式求出概率P 考点二古典概型与平面向量相结合古典概型在高考中常与平面向量，集合，函数，解析几何，统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考察知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有（1）古典概型与平面向量相结合；（2）古典概型与直线，圆相结合；（3）古典概型与函数相结合。【类题通法】解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件， 求
15、出事件和随机事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第六节几何概型必明 1 个易误点易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生时等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本的个数是有限的必会 3 个方法几何概型的常见类型的判断方法（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有
16、关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可惜助平面区域解决问题；考点一与长度，角度有关的几何概型【类题通法】求与长度（角度）有关的几何概型的方法是把题中所表达的几何模型装转化长度（角度）。然后求解，要特别注意“长度型”不同。解题的关键是构建事件的区域(长度，角度 )。考点二与体积有关几何概型【类题通法】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积 （事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求。考点三与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见的命题角度有：（
17、1）与三角形，矩形，圆形平面圆形面积有关的问题（2）与线性规划知识交汇命题问题（3）与定积分交汇命题的问题。【类题通法】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积， 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部实验结果构成的平面图形，以便求解。第七节离散型随机变量及其分布列必明 2 个易误点1.对于分布列忽视其性质1p+2p+np=1 及ip0（i=1,2，n）其作用可与检验所求离散型随机变量的分布列是否正确。2.确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的。必会 3 个方法（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列（2）有古典概型求
18、出离散型随机变量的分布列（3）由互斥事件的概率，相互独立事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有k 次发生的概率求离散随机变量的分布列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 考点一 |离散型随机变量的分布列性质【类题通法】利用分布列中各概率之和为1可求参数的值， 此时要注意检验，以保证每个概率值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数【类题通法】求离散型随机变量分布列的步骤（1）找出随机变量X 的所有可能取值ix（i=1,2,3，
19、n） ；（2）求出各取值的概率P（X=ix）=ip；（3）列成表格并分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确。考点二 |离散型随机变量的分布列求法【类题通法】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某个体的个数第八节n 次独立重复试验与二项分布必会 1 个方法牢记且理解事件中常见词语的含义（1）A,B 中至少有一个发生事件为AUB；（2）A,B 都发生的事件为AB；（3）A,B 都不发生的事件为A B；（4）A,B 恰有一个发生的事件为ABUAB （5）A,B 至多一个发生事件为ABUAB 考点一 |条件概率【类
20、题通法】条件概率的求法（1）定义法：先求P（A）和 P（AB） ，再有 P（B|A ）=()(A)n ABn。（2）基本事件法； 借古典概率公式，先求事件A 包含的基本事件数A 包含的基本事件数 n（AB） ，得 P（B|A ）=()()n ABn A。考点二 |相互度立事件的概率【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的方法（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件手计算精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - -
21、 - - - - - - 【类题通法】二项分布满足的条件（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的。（2）没次试验中的事件是互相独立的。（3）每次试验只有两种结果，事件要么发生。要么不发生。（4）随机变量是这n 次独立重复实试验中事件发生的次数。第九节离散型随机变量的均值与方差，正态分布必明 2 个易误点1.理解均值 E（X）易失误，均值E（X）是一个实数，由x 的分布列唯一确定， 即 X 作为随机变量时可变的，而 E（X）是不变的，它描述 X 值的取值平衡状态。2.注意 E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=2aD（X）易错。必会 3 个方法求离散型随机变量均值，方差的机泵方法（1）
22、的分布列求它的均值，方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；（2）已知随机变量的均值，方差，求的线性函数=a+b 的均值，方差和标准差可直接用的均值，方差的性质求解（3）给随机变量是服从常用的分布（如两点分布，两项分布等），可直接利用它们的均值，方差公式求解。考点一 |离散型随机变量的均值【类题通法】求离散型随机变量均值的步骤（1）理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值（2）求 X 的每一个值的概率（3）写出 X 的分布列（4）有均值定义求出E（X） ，考点二 |离散型随机变量的方差【类题通法】1.D（X）表示随机变量X 对 E（X）的平均值偏离程度，D（X）越大表明平均偏离程度越大
23、 ,说明 X 的取值越分散；反之，D（X）越小， X 的取值越集中在E（X）附近，统计中常用()D X来描述 X 的分散程度。2.随机变量的均值反映了随机变量取值的水，放差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。考点三 |正态分布【类题通法】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 关于正太总体在某个区间内取值的概率求法（1）熟
24、记 P(-X+)，(2()PX，(33 )PX的值；（2）充分利用正态曲线的对称性和对称和曲线与x 轴之间面积为1正态曲线关于直线x=对称，从而在关于x=对称的区间上概率相等。()1(),()().P XaP XaP XaP Xa第十章算法初步，统计，统计案列必记 3 个易误点1.易混淆处理与输入框，处理框主要是赋值，计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息。2.易忽视循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分。3.易混淆当型循环与直到性循环。直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时始终循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环
25、”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反。必会 1 个方法识别程序框图运行和完善程序框图的步骤识别运行程序框图和完善程序框图是高考的热点，解答这一类问题，第一，要明确程序框图的顺序结构，条件结构和循环结构；第二，运行程序框图，理解框图所解决的实际问题要别运行程序框图，理解框图所解决的实际问题，第三，按照题目的要求完成解答。对程序框图的考查常与数列和函数等知识相结合，近一步强化框图问题的实际背景。考点一 |算法的基本结构【类题通法】1.解决程序框图问题要注意几个常数变量（1）计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i=i+1. （2）累计变量：用来计算数据之和，如S=S
26、+i。（3）累计变量：用来计算数据之和，如p=pi。2.处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数。考点二 |算法的交汇性问题算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是新课标高考的一大亮点，归纳起来常见的命题角度有（1）与统计的交汇问题（2）与函数的交汇问题（3）与概率的交汇问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 考点三 |基本算法语句【类题通法】1.输入语句、输出语句和赋值语句基本对应于算法的顺序结构。2
27、.再循环语句中也可以嵌套条件语句，基本是循环语句，此时需要注意嵌套格式，这些语句需要保证算法的完整性，否则就会造成程序无法执行。必会 2 个方法1.系统抽样的步骤（1）先将总体的N 个个体编号；（2）确定分段间隔k（kN* ） ，对编号进行分段，当Nn（n 是样本容量）是整数时，取k = Nn；（3）在第 1 段用简单随机抽取样本确定第1 个个体编号L（L k）; （4）按照一定的规则抽取样本。通常是将L 加上间隔k 得到第 2 个个体编号（L+k） ，再家上 k 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -