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1、平行四边形中常用辅助线的添法徐卫东刘建英平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、 相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：一、连对角线或平移对角线：例 1 如图 1，E 是平行四边形ABCD 中 AD 延长线上一点，ED 交 BC 于 F，求证：。简证：连 BD ，由图易得（同底等高），（同底等高）所以，所以，即。例 2 如图 2， 平行四边形ABCD 中， 对角线 AC、 BD 交于 O， AC=a+b ， BD=a
2、+c （） ，AB=m ，求 m 的取值范围。简解：要求AB 的值，需把AC、BD、AB 集中在一个三角形中，过C 作 CE DB 交AB 的延长线于E，由图易得DBEC 是平行四边形，所以，即，在 ACE 中，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 即。二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形例 3 如图 3， 平行四边形ABCD 中， DBC=， DEDB 交 BC 的延长线于E， AD=a ，DE=b，求。简解：过 D 作 DFBE 于
3、 F，由题意得 DEB=，所以 DF=，BE=，则，所以。例 4 如图 4， 平行四边形ABCD 的周长为 40， ABC=， E、 F 是 BD 上的三等分点，AE 的延长线交BC 于 M，MF 的延长线交AD 于 N，设，试求 y 与 x的函数关系。简解：过 A 作 AH BC 于 H。因为，所以，所以精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 。因为 AD BC，所以，所以，则。三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线
4、，构造线段平行或中位线例 5 如图 5， 平行四边形ABCD 中，N 是 AB 中点，BE=， NE 与 BD 交于 F， 求的值。简解：作 AC 交 BD 于 O，连 ON，由 图得 ON，因为，所以，所以，所以，则。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例 6 如图 6，平行四边形ABCD 中， O 是对角线交点，F 是 AB 延长线上一点，OF 交BC 于 E，AB=a，BC=b ，BF=c。求 BE 长。简解：作 OGCB 交
5、AB 于 G，因为 O 是 AC 中点，所以OG=，又，所以。四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。例 7 如图 7，正方形 ABCD 中， E、F 分别为 CD、DA 的中点， BE、CF 交于 P，求证AP=AB 。简证：延长CF 交 BA 的延长线于G。因为 FD=FA ，易得 CDFGAF，所以 AG=CD=AB ，则 A 为 BG 中点，又 CE=DF ，CB=CD ，所以 RtBCERtCDF，所以 1=2，因为 1+3=，所以 2+3=，所以 CPB=，所以 BPG=。则 PA 是 RtBPG 的斜边上中线，所以AP=AB 。精品资料 - -
6、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例 8 如图 8，平行四边形ABCD 中，E、F分别是 DC、DA 上一点， AE=CF ，AE 与 CF交于 P，求证 PB 平分 APC。简证：连 BE、BF，由图易证得。过 B 作 BHCF、BGAE，垂足分别为H、G。因为，所以 BG=BH ，所以 B 点在 APC 的角平分线上，则PB 平分 APC 。五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等例 9 如图 9，E 是平行四边形ABCD 对角线 BD
7、 上一点， EFBC，EGBA ，垂足分别为 F、 G，求证：。简证：作 AH BD 于 H，CKBD 于 K，易得 AHCK，连 AE、CE。因为，所以。又，所以，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 所以，则。例 10 如图 10， ABCD 是正方形， BEAC， AE=AC ，CFAE， 求证：AEB=2 BCF 。简证：连 BD ，过 A 作 AH AC 交 BE 于 H， AC 与 BD 交于 O。由图中易证得AHBO为正方形，所以AH=AO=。因为 AE=AC ，所以，所以在 RtAHE 中， AEH=。又因为 AEFC 为菱形，所以 ACF= AEF=。又 BCF=ACB- ACF=，则 AEB=2 BCF。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -