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1、导数常用的一些技巧和结论导数常用的一些技巧与结论精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 导数常用的一些技巧和结论精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 导数常用的一些技巧和结论精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
2、- - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 导数常用的一些技巧和结论(2017 年全国新课标1理 21)已知22xxfxaeaex、(1)讨论fx的单调性 ; (2)若fx有两个零点 ,求a的取值范围、解析 :(1)2221211xxxxfxaeaeeae若0a,则0fx恒成立 ,所以fx在 R 上递减 ; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 导数常用的一些技巧和结论若0a,令0f
3、x,得11,lnxexaa、当1lnxa时,0fx,所以fx在1,lna上递减 ; 当1lnxa时,0fx,所以fx在1ln,a上递增、综上 ,当0a时,fx在 R上递减 ;当0a时,fx在1,lna上递减 ,在1ln,a上递增、(2)fx有两个零点 ,必须满足min0fx,即0a,且min111ln1ln0fxfaaa、构造函数1lng xxx,0 x、 易得110gxx,所以1lng xxx单调递减、又因为10g,所以11111ln01101ggaaaaa、下面只要证明当01a时,fx有两个零点即可,为此我们先证明当0 x时,lnxx、事实上 ,构造函数lnh xxx,易得11hxx,mi
4、n11h xh,所以0h x,即lnxx、当01a时,22222110aeaeaafeee, 2333333ln121ln11ln10afaaaaaaaa, 其中11lna,31lnlnaaa,所以fx在11,lna与13ln,lnaaa上各有一个零点、故a的取值范围就是0,1、注意 :取点过程用到了常用放缩技巧。一方面 :2233202030ln1xxxxxxxaaeaexaeaeeaeaexaa; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -
5、 - 导数常用的一些技巧和结论另一方面 :0 x时,220201xxxaeaexaexx(目测的 ) 常用的放缩公式 ( 考试时需给出证明过程 ) 第一组 :对数放缩(放缩成一次函数)ln1xx,ln xx,ln 1xx(放缩成双撇函数)11ln12xxxx,11ln012xxxx, 1ln1xxxx,1ln01xxxx, (放缩成二次函数)2ln xxx,21ln 1102xxxx,21ln 102xxxx(放缩成类反比例函数)1ln1xx,21ln11xxxx,21ln011xxxx, ln 11xxx,2ln 101xxxx,2ln 101xxxx第二组 :指数放缩(放缩成一次函数)1x
6、ex,xex,xeex, (放缩成类反比例函数)101xexx,10 xexx, (放缩成二次函数)21102xexxx,2311126xexxx, 第三组 :指对放缩ln112xexxx第四组 :三角函数放缩sintan0 xxx x,21sin2xxx,22111cos1sin22xxx、第五组 :以直线1yx为切线的函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 导数常用的一些技巧和结论lnyx,11xye,2yxx,11yx,lny
7、xx、几个经典函数模型经典模型一 :ln xyx或lnxyx、【例 1】讨论函数lnfxxax的零点个数、(1)1ae时,无零点、1fxax,max11ln10fxfaa、(2)1ae时,1 个零点、11fxxe,maxln10fxf ee、(3)当10ae时,2 个零点、10fa(目测 ),111ln1011111aafaaaaa,其中111ea、(放缩 ) 10feea、2211111ln0faaaaaaa,其中221eea、(用到了1ln1xxxx) (4)当0a时,1 个零点、10fxax,单调递增、10fa, 1122111110aaaaafeaaeaaaaeea、【变式】 (经过换
8、元与等价变形之后均可以转化到例1:lnfxxax): 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 导数常用的一些技巧和结论1、 讨论lnfxxmx的零点个数 ( 令xt,2ma); 2、 讨论lnfxxmx的零点个数 ( 令1am) ; 3、 讨论lnfxxxmx的零点个数 ( 考虑fxg xx) ; 4、 讨论ln xfxmxx的零点个数 (考虑g xx fx, 令32tx,32ma); 5、 讨论2lnfxxmx的零点个数 (令2tx,
9、2ma); 6、 讨论xfxaxe的零点个数 (令xet) 、经典模型二 :xeyx或xeyx【例 2】讨论函数xfxeax的零点个数、(1)0a时,1 个零点、0 xfxea,xfxeax单调递增、且010fa,1110afea,所以在1,0a上有一个零点; (2)0a时,无零点、0 xfxe恒成立 ; (3)0ae时,无零点、minln1 ln0fxfaaa; (4)ae时,2 个零点、1110afea,10fea,2ln2ln20faa aaa e、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8
10、 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 导数常用的一些技巧和结论【变式】 (经过换元与等价变形之后均可以转化到例题2:xfxeax): 1、 讨论2xfxemx的零点个数 (令2xt,2ma); 2、 讨论xxemfxxe的零点个数 (去分母后与1 等价 ); 3、 讨论xfxemx的零点个数 (移项平方后与1 等价 ); 4、 讨论2xfxemx的零点个数 (移项开方后换元与1 等价 ); 5、 讨论1xfxemx的零点个数 (乘以系数e, 令ema); 6、 讨论ln xfxmxx的零点个数 (令txe, 转化成 2) 7、 讨论1xfxemxm的零点个数 (令1xt,
11、2mae); 经典模型三 :lnyxx或xyxe【例】讨论函数lnafxxx的零点个数、(1)0a时,1 个零点、20 xafxx,lnafxxx单调递增、10fa,11ln 110111aafaaaaa、(2)0a时,1 个零点 (01x)、(3)1ae时,无零点、2xafxx,minln10fxfaa(4)1ae时,1 个零点、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 导数常用的一些技巧和结论01xe、min11ln10fxfee(5
12、)10ae时,2 个零点、22111ln0faaaaaaa,110feae,10fa, 【变式】 (经过换元与等价变形之后均可以转化到例题3:lnafxxx): 1、讨论1lnfxaxx的零点个数 ; 2、 讨论lnfxmxx的零点个数 (考虑fxg xx,令xt); 3、 讨论xafxxe的零点个数 (令xet); 4、 讨论xafxex的零点个数 ; 练习题1、 已知函数221xfxxea x有两个零点 ,求a的取值范围、2、 设函数2lnxfxeax,讨论fx的导函数fx的零点的个数、3、 已知函数21xfxxeax有两个零点 ,求a的取值范围、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 导数常用的一些技巧和结论4、已知函数212xmfxexmx、 当0m时,试讨论yfx的零点的个数、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -