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1、第十周对勾函数模型重点知识梳理1对勾函数定义对勾函数是指形如： yaxbx( ab0)的一类函数， 因其图象形态极像对勾， 因此被称为“对勾函数”， 又被称为“双勾函数”、 “勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”2对勾函数yaxbx(a0，b0)的性质(1) 定义域： ( ， 0) (0 ， ) (2) 值域： ( ， ，) (3) 奇偶性：在定义域内为奇函数(4) 单调性： ( ，ba) ，(ba，) 上是增函数；( ba，0)，(0 ，ba) 上是减函数(5) 渐近线： y 轴与 y=ax( 或 y=-ax)3yaxbx(a0，b0)的单调区间的分界点：ba.求分界点方法：令axbx?xb
2、a.特殊的，a0 时，yxax的单调区间的分界点：a.4对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解5利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 若a0，b0，则x0时，axbx2ab.当且仅当axbx，xba时取等号在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax和bx都是正项，且二者乘积为定值，同时axbx中等号可
3、取到若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解典型例题剖析例 1 已知f(x) x5x，求f(x) 在下列区间的最小值(1)1,2; (2)3,4; (3)3，1 【解析】如图，f(x) 在 ( ，5) ，(5，) 上是增函数，在( 5，0) ，(0 ，5) 上是减函数(1) 由对勾函数性质可知f(x) 在1,2上单调递减，f(x)minf(2) 412.(2) 因为f(x) 在3,4上单调递增，所以f(x)minf(3) 423.(3) 因为f(x) 在 3，5 上单调递增，在( 5， 1 上单调递减，且f( 3) 423，f( 1) 6，所以f(x)min 6.变式训练已知函数f(x) x2
4、5x24，求f(x) 的最小值，并求此时x的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 【解析】f(x) x25x24x241x24x241x24令tx24，则t2，yt1t.yt1t在2 ，) 单调递增，当t2时，ymin21252，此时，x242，x0.综上，f(x) 的最小值为52，此时x的值为 0.例 2 求函数f(x) x22x1x 2(0 x3)的值域【解析】令tx2，则xt2, 2 t5，y(t2)22(t2) 1tt26t
5、7tt7t6,2 t5.yt7t6 在2 ，7 上单调递减，在7， 5 上单调递增，当t7时，ymin276，且当t2时，y 272612，当t5 时，y575625，ymax25.综上，f(x) 的值域为 276，25 变式训练求函数f(x) x24x 12x1，x2，5 的值域精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 【解析】f(x) x24x12x1(x1)22(x1) 9x1x19x12，令tx1，则f(t) t9t2，t1,4结
6、合yt9t的图象与性质，可知当t1,3时，函数单调递减，当t3,4时，函数单调递增，又f(1) 8，f(3) 4，f(4) 174，所以f(x)4,8例 3 某工厂去年的某产品的年产量为100 万只，每只产品的销售价为10 元，固定成本为8元今年， 工厂第一次投入100 万元 ( 科技成本 ) ，并计划以后每年比上一年多投入100 万元( 科技成本 ) ， 预计产量年递增10 万只，第n次投入后， 每只产品的固定成本为g(n) kn1(k0，k为常数，nZ 且n0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1) 求k的值，并求出f(n) 的表达式；(2) 问从今年算起第几年利
7、润最高最高利润为多少万元【解析】 (1) 由g(n)kn1，当n0 时，由题意，可得k8，所以f(n)(100 10n)(10 8n 1) 100n(nZ 且n0)(2) 由f(n) (100 10n)(10 8n1) 100n1 000 80(n19n1)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 1 0008029520，当且仅当n19n1，即n8 时取等号，所以第 8 年工厂的利润最高，最高为520 万元变式训练建筑一个容积为800
8、米3，深 8 米的长方体水池( 无盖 ) 池壁，池底造价分别为a元/ 米2和 2a元/ 米2. 底面一边长为x米，总造价为y. 写出y与x的函数式，问底面边长x为何值时总造价y最低，是多少【解析】长方体底面积S8008 100 米2，地面一边长为x米，因此另一边长为100 x米，池壁总面积为8(2x200 x) 米2， 总造价y1002a(2x200 x) 8a200a16a(x100 x)(x0) 函数y200a16a(x100 x) 在 (0,10 上是减函数，在(10 ， ) 上是增函数， 当x10 时，总造价最低，且ymin520a( 元) 跟踪训练1下列函数中最小值是4 的是( )A
9、yx4xByx2xCy21x21xDyx21x213，(x0)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2函数yx4x，x(1,3的值域为 ( )A133，5) B4,5)C133，4) D(4,5)3函数yx41x3，x)1，0 的值域为 _4y2x231x2的最小值是 _5已知x0，则 2x4x的最小值是 _6函数yx3x在区间 1,2上的最小值为 _7若函数yxax(a0) 在区间 (5，) 上单调递增，则a_.8建造一个容积为8m
10、3，深为 2 m的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和 80 元，则水池的最低造价为_元9某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道( 阴影部分 ) 组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为 4 m 和 10 m(如图所示 ) (1) 若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；(2) 要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
11、 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 10如图，某单位准备修建一个面积为600 平方米的矩形场地( 图中ABCD) 的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设ABx米，已知围墙( 包括EF)的修建费用均为800 元每米，设围墙( 包括EF) 的修建总费用为y元(1) 求出y关于x的函数解析式；(2) 当x为何值时，设围墙( 包括EF) 的的修建总费用y最小并求出y的最小值11已知函数f(x) x22x3x (x2 ，) (1) 求f(x) 的最小值；(2) 若f(x)a恒成立，求a的取值范围精品
12、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 12已知函数f(x) xax，x1 ，) ，a0.(1) 当a12时，求函数f(x) 的最小值；(2) 若函数f(x) 的最小值为4，求实数a.13为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层体育馆要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C( 单位：万元 )与隔热层厚度x( 单位：cm)满足关系：C(x) k3x5(0 x10，k为常数 ) ，若不建
13、隔热层，每年能源消耗费用为8 万元设f(x) 为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和(1) 求k的值及f(x)的表达式；(2) 隔热层修建多厚时，总费用f(x) 达到最小并求出最小值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 参考答案1C A 选项，由于x可取负值，显然最小值不是4，排除 A；B选项，由于x可取负值，显然最小值也不是4，排除 B；C选项，由于y22x22x2(2x12x) ，换元，令t2x，t0，则y2(t1t) 4，
14、当且仅当t1 即x0 时，函数有最小值4，D选项，由于yx21x213x211x212，换元，令tx21，t1，则yt1t2，函数在 (1 ，) 上单调递增，因此y4，排除 D选项综上，答案为C.2B 由对勾函数性质可知，当x4x，即x2 时，表达式有最小值4，又函数在 (1,2) 上单调递减，在 (2,3上单调递增，f(1) 5，f(3) 343133，所以值域为 4,5) ，答案为B.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 36,7
15、)解析yx41x31x41x2，换元，令t1x，则x)1，0时t(1,2 ，yt4t2，函数在 (1,2 上单调递减，若t1，则y14127，若t2，则y24226，故函数值域为 6,7) 4262解析换元，令t1x2，则t1，x2t1，y2(t1)3t2t3t2，函数在 1 ，32 上单调递减，在32，) 上单调递增，所以当t32时，函数有最小值262.56解析由对勾函数性质可知，当x4x，即x2 时，表达式有最小值6.623解析因为yx3x在区间 1, 3 上单调递减， 在3，2 上单调递增， 所以当x3时函数有最小值23.7(0,581 760精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
16、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 解析池底面积为824 cm2，设池底宽为x cm，则长为4x cm，则水池的造价为4120 2(4x2x2)80 4801 280 x320 x480 21 280 x320 x 1 760.9解析(1) 设休闲区的宽为a米，则其长为ax米由a2x4 000 ，得a2010 x，则S(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000 (8x20)2010 x1608010(2x5x) 4 160 ，即S8010(2x5x) 4 16
17、0.(2)S8010(2x5x) 4 16016010104 160 5 760 ，当且仅当 2x5x，即x时取等号，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 米，宽 40 米10解析(1) 设ADt米，则由题意得xt600，且tx，故t600 xx，可得 0 x106，则y800(3x2t) 800(3x2600 x)2 400(x400 x) ，所以y关于x的函数解析式为y2 400(x400 x)(0 x106) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -
18、- -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - (2)y2400(x400 x) 2 4002x400 x96 000 ，当且仅当x400 x，即x20 时等号成立故当x为 20 米时，y最小y的最小值为96 000 元11解析(1) 任取x1，x22 ，) ，且x1x2，f(x) x3x2.则f(x1) f(x2)(x1x2) (1 3x1x2) ，x1x2，x1x22，x1x24,1 3x1x20，f(x1) f(x2)0，即f(x1)a恒成立，只需f(x)mina.又f(x)min112，a0)，得x22?1 ，) ，不能用不等式求最值设 1x1x2，则f(x1
19、) f(x2)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - (x1x2) (12x112x2) (x1x2)(1 12x1x2)0 ，函数f(x) 在1 ，) 上是单调递增函数，fmin(x) f(1) 32.(2) 当 0a1 时，令xax，得xa1, a?1 ，) ，类似于 (1) 可知函数f(x) 在1 ，) 上是单调递增函数，fmin(x) f(1) 1a4，得a3，与 0a1 不符 ( 舍) ；当a1 时，a1，由不等式知xax2
20、a，当xax，即xa时，fmin(x) 2a4，解得a4.综上所述，函数f(x) 的最小值为4 时，a4.13解析(1) 依题意，当x0 时，C8，k40 ，C(x) 403x5，f(x) 6x20403x56x8003x5(0 x10)(2)f(x) 2(3x5)8003x 510，设 3x5t，t5,35，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - y2t800t1022t800t1070，当且仅当 2t800t，即t20 时等号成立
21、这时x5 ，因此f(x)的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70 万元特殊对勾函数f(x) xx1234f(x)4322234(1)定义域：( ， 0) (0 ，) (2)值域：( ， -2 2 ，) (3)奇偶性：在定义域内为奇函数(4)单调性：( ， 1) ，(1 ，) 上；( 1，0) ，(0 ，1) 上精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - (5) 分界点 ( 拐点 ) 坐标P(1,2) ; Q(-1,-2)(6) 渐近线(7) Y=x 和 x=0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -