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1、泰州市 2016 届高三第一次模拟考试数学试题( 考试时间： 120 分钟总分： 160 分) 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1已知集合21Ax x，集合2, 1,0,1,2B，则AB 2如图，在复平面内，点A对应的复数为1z，若21izz（i为虚数单位），则2z 3在平面直角坐标系xOy中，双曲线2212xy的实轴长为4某校共有教师200 人，男学生800 人，女学生600 人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为10
2、0 人，那么n 5执行如图所示的伪代码，当输入,a b的值分别为1,3时，最后输出的a的值为 6甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为 7已知直线(0)ykx k与圆22: (2)1Cxy相交于,A B两点，若255AB，则k 8若命题“存在20,4Rxaxxa”为假命题，则实数a的取值范围是 9如图，长方体1111ABCDA B C D中，O为1BD的中点，三棱锥OABD的体积为1V，四棱锥11OADD A的体积为2V，则12VV的值为 Read ,1While 21End WhilePrint a biiaabbabiia（第 5 题）（第 9
3、题）OCDBC1AB1A1D1（第 2 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 10已知公差为2的等差数列na及公比为2的等比数列nb满足11220,0abab，则33ab的取值范围是 11设( )f x是R上的奇函数，当0 x时，( )2ln4xxf x，记(5)naf n，则数列na的前8项和为12在平面直角坐标系xOy中，已知点,A B分别为x轴，y轴上一点，且2AB，若点(2,5)P，则APBPOP的取值范围是 13若正实数
4、, x y满足2(21)(52)(2)xyyy，则12xy的最大值为 14 已知函数( )sin()coscos()262xxf xAx（其中A为常数，( ,0)） ， 若实数123,x xx满足：123xxx，31xx2，123()()()f xf xf x，则的值为 二、解答题：（本大题共6 小题，共90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本题满分14 分）在ABC中，角,A B的对边分别为,a b，向量(cos,sin),(cos,sin)ABBAmn（1）若coscosaAbB，求证：/ /mn；（2）若mn,ab，求tan2AB的值精品资料 - - - 欢迎下载 - -
5、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - FOCBADE16（本题满分14 分）如图， 在三棱锥PABC中，90PACBAC，PAPB，点D，F分别为BC，AB的中点（1）求证：直线/ /DF平面PAC；（2）求证：PFAD17（本题满分14 分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，1AB米，如图所示小球从A点出发以v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F设AOE弧度，小球从A到F所需时
6、间为T（1）试将T表示为的函数( )T，并写出定义域；（2）求时间T最短时cos的值18（本题满分16 分）已知数列,nnab满足2(2)nnnSab，其中nS是数列na的前n项和（1）若数列na是首项为23，公比为13的等比数列，求数列nb的通项公式；（2）若nbn，23a，求数列na的通项公式；（3）在（ 2）的条件下，设nnnacb，求证：数列nc中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积DFCPAB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - -
7、 - - 19（本题满分16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆:O224xy，椭圆:C2214xy，A为椭圆右顶点过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于,B C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中6(,0)5D设直线,AB AC的斜率分别为12,k k（1）求12k k的值；（2）记直线,PQ BC的斜率分别为,PQBCkk，是否存在常数，使得PQBCkk？若存在， 求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q20（本题满分16 分）已知函数4212fxaxx，(0,)x，g xfxfx（1）若0a，求证：（）fx在( )fx的单调减区间上
8、也单调递减；（）g x在(0,)上恰有两个零点；（2）若1a，记g x的两个零点为12,x x，求证：1244xxaxyDQPCAOB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 泰州市 2016 届高三第一次模拟考试数学试题（附加题）21. 【选做题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答. 如果多做，按所做的前两题记分. A（几何证明选讲，本题满分10 分）如图, 圆O是ABC的外接圆 , 点D是劣弧BC的中点 , 连结AD并延长 ,
9、 与以C为切点的切线交于点P, 求证 :PCBDPAAC. B（矩阵与变换，本题满分10 分）已知矩阵1252Mx的一个特征值为2, 求2M. C（坐标系与参数方程，本题满分10 分）在平面直角坐标系xoy中, 已知直线11:()72xtCtyt为参数与椭圆2cos:(0)3sinxaCay为参数 ,的一条准线的交点位于y轴上 , 求实数a的值 . D（不等式选讲，本题满分10 分）已知正实数, ,a b c满足231abc，求证：24627111abc. BPDOAC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -
10、 - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 22【必做题】（本题满分10 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC = 3 ，BC = 4 ，AB = 5 ，AA1 = 4 （1）设ABAD，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为9 1050，求的值；（2）若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值23.【必做题】（本题满分10 分）已知,N*k m，若存在互不相等的正整数12,a a,ma，使得1223,a aa a11,mmmaaa a同时小于k，则记( )f k为满足条件的m的最大值（）求(6)f的值；（）对于给定的正整数n (1)n，（）当(2)(
11、1)(2)n nknn时，求( )f k的解析式；（）当(1)(2)n nkn n时，求( )f k的解析式高三数学参考答案一、填空题11,0,1； 22i； 32 2； 4200； 55；645； 712； 8(2,)； 912； 10(, 2)；1116； 127,11； 133 212； 1423. 二、解答题15. 证明：（ 1）因为coscosaAbB，DCBB1C1A1A精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - GFOCBDA
12、E所以sincossincosAABB，所以/ /mn. 7 分（2）因为mn，所以coscossinsin0ABAB，即cos()0AB，因为ab，所以AB，又,(0,)A B，所以(0,)AB，则2AB， 12 分所以tantan124AB. 14 分16. 证明（ 1）点D，F分别为BC，AB的中点，/ /DFAC，又DF平面PAC，AC平面PAC，直线/ /DF平面PAC 6 分（）90PACBAC，ACAB，ACAP，又ABAPA，,AB AP在平面PAB内，AC平面PAB， 8 分PF平面PAB，ACPF，PAPB，F为AB的中点，PFAB，ACPF，PFAB，ACABA，,AC
13、AB在平面ABC内，PF平面ABC， 12 分AD平面ABC，ADPF 14 分17. 解：（ 1）过O作OGBC于G，则1OG，1sinsinOGOF，11sinEF，AE，所以11( )5656 sin6AEEFTvvvvv，,44 3 7 分（写错定义域扣1 分）（2）11( )56 sin6Tvvv，22221cos6sin5cos(2cos3)(3cos2)( )56 sin30 sin30 sinTvvvv， 9 分记02cos3，0,44 3，0(,)4003(,)4( )T- 0 + ( )TDFCPAB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
14、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 故当2cos3时，时间T最短 14 分18. 解：（ 1）因为1211()2()333nnna，21(1 () 1133(1 () 1231()3nnnS， 2 分所以11()2131222()23nnnnnSba 4 分（2）若nbn，则22nnSnan，112(1)2nnSna，两式相减得112(1)2nnnanana，即1(1)2nnnana，当2n时，1(1)(2)2nnnana，两式相减得11(1)(1)2(1)nnnnanana，即112nnnaaa， 8
15、分又由1122Sa，22224Sa得12a，23a，所以数列na是首项为2，公差为321的等差数列，故数列na的通项公式是1nan 10 分（3）由（ 2）得1nncn，对于给定的*nN，若存在*, ,k tn k tN，使得nktccc，只需111nktnkt，即1111(1) (1)nkt，即1111nktkt，则(1)n ktkn， 12 分取1kn，则(2)tn n， 对 数 列nc中 的 任 意 一 项1nncn， 都 存 在121nncn和2222212nnnncnn使 得212nnnnccc 16 分19解：（ 1）设00(,)B xy，则00(,)Cxy，220014xy精品资
16、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 所以22000012220000111422424xyyyk kxxxx 4 分（2）联立122(2)4yk xxy得2222111(1)44(1)0kxk xk，解得211122112(1)4,(2)11PPPkkxyk xkk，联立122(2)14ykxxy得2222111(14)164(41)0kxk xk，解得211122112(41)4,(2)1414BBBkkxyk xkk， 8 分所以12
17、1241BBCBykkxk，121122112141562(1)641515PPQPkykkkkkxk，所以52PQBCkk，故存在常数52，使得52PQBCkk 10 分（3）当直线PQ与x轴垂直时，68(,)55Q，则28156225AQkk，所以直线AC必过点Q当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：12156()415kyxk，联立1212256()4154kyxkxy，解得21122112(161)16,161161QQkkxykk，所以1212211211616112(161)42161AQkkkkkkk，故直线AC必过点Q 16 分（不考虑直线PQ与x轴垂直情形扣1 分）精品资
18、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 20. 证：（ 1）因为42102fxaxxx，所以3( )4fxaxx，由32(4)1210axxax得( )fx的递减区间为1(0,)2 3a， 2 分当1(0,)2 3xa时，32( )4(41)0fxaxxxax，所以fx在( )fx的递减区间上也递减 4 分（2）解 1：42343211(4)422g xfxfxaxxaxxaxaxxx，因为0 x，由4321402g xaxaxxx得3214
19、102axaxx，令321( )412xaxaxx，则21( )382xaxax，因为0a，且1(0)02，所以( )x必有两个异号的零点，记正零点为0 x，则0(0 ,)xx时，( )0 x，( )x单调递减；0(,)xx时，( )0 x，( )x单调递增，若( )x在(0,)上恰有两个零点，则0()0 x， 7 分由20001()3802xaxax得2001382axax，所以0003217()939xaxx，又因为对称轴为4,3x所以81( )(0)032，所以08733x，所以0003217()()0933xaxx，又3222111( )41(8)(1) 1222xaxaxxaxxx
20、ax，设1,8a中的较大数为M，则()0M，故0ag x在(0,)上恰有两个零点 10 分解 2：42343211(4)422g xfxfxaxxaxxaxaxxx，因为0 x，由4321402g xaxaxxx得3214102axaxx，令321( )412xaxaxx，若g x在(0,)上恰有两个零点，则( )x在(0,)上恰有两个零点，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 当2x时， 由( )0 x得0a，此时1( )12xx
21、在(0,)上只有一个零点，不合题意；当2x时，由321( )4102xaxaxx得321422xxax， 7 分令322148( )2422xxxxxxx，则22122572 ()2 (58)24( )0(2)(2)x xx xxxxx，当(0,2)x时，( )x单调递增，且由2824,2yxxyx值域知( )x值 域 为( 0 ,)； 当(2,)x时 ，1( )x单 调 递 增 ， 且1(4)0， 由2824 ,2yxxyx值域知( )x值域为(,)；因为0a，所以102a，而12ya与1( )x有两个交点， 所以1( )x在(0,)上恰有两个零点 10 分（3）解 1：由（ 2）知，对于3
22、21( )412xaxaxx在(0,)上恰有两个零点12,x x，不妨设12xx，又因为(0)10，11( )(67 )028a，所以1102x， 12 分又因为(4)10，91( )(65710)028a，所以2942x，所以121945422xxa 16 分解 2：由（ 2）知321422xxax，因为0,2)x时，1( )x单调递增，17( )212，111111(0)0()( )22xa，所以1102x， 12 分当(2,)x时，1( )x单调递增，1981( )220，112119(4)0()( )22xa，所以2942x，所以121945422xxa 16 分精品资料 - - -
23、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 附加题参考答案21.A证明：连结CD，因为CP为圆O的切线，所以PCDPAC, 又P是公共角，所以PCDPAC， 5 分所以PCCDPAAC , 因为点D是劣弧BC的中点 , 所以CDBD, 即PCBDPAAC. 10 分21.B. 解：2代入212(1)(5)052xxx，得3x矩阵12532M 5 分264514M 10 分21.C. 解：直线1C：29xy，椭圆2C:2221(03)9yxaa，5 分准线：29
24、9ya由2999a得，2 2a10 分21.D.证明：因为正实数, ,a b c满足231abc，所以32313 ab c，即23127ab c，5 分所以23127ab c因此，32462461111327abca b c10 分22. 解 ： （ ） 由AC= 3 ，BC= 4 ，AB= 5得090ACB分以 CA、CB 、CC1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如 图 所精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 示的空间直角
25、坐标系则(3,0,0)，1C(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x,y,z)，则由ABAD得(33 ,4 ,0)CD，而1( 3,0,4)AC，根据29 1099|505 25189解得，15或13分（）13(,2,0),(0,4,4)2CDCB，可取平面1CDB的一个法向量为1(4, 3,3)n；分而平面1CBB的一个法向量为2(1,0,0)n，并且12,n n与二面角DCB1B相等，所以二面角DCB1B的余弦值为122coscos,3417n n分（第（）题中少一解扣分；没有交代建立直角坐标系过程扣1 分第（）题如果结果相差符号扣分）23. 解：（ 1）由题意，取121,2aa，126
26、a a，满足题意，若33a，则必有236a a，不满足题意，综上所述：m的最大值为2，即(6)2f4 分（）由题意，当(1)(1)(2)n nknn时，设11,2,A, n，21,2,3,Annn，显然，11,iia aA时，满足1(1)(1)iia an nn nk，从集合1A中选出的ia至多n个，12,jjaaA时，1(1)(2)jja annk，从集合2A中选出的ja必不相邻，又从集合1A中选出的ia至多n个，从集合2A中选出的ja至多n个，放置于从集合1A中选出的ia之间，( )2f kn，6 分（）当(2)(1)(2)n nknn时，取一串数ia为：1,2 ,2,21,3,22,nn
27、n,1,2, ,1nnn n，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 或写成1,221,2iiiaini为奇数为偶数，（12in），此时1(2)iia an nk，(121in),211na ank，满足题意，( )2f kn，8 分（）当(1)(2)n nkn n时，从1A中选出的n个ia：1,2,n，考虑数n的两侧的空位，填入集合2A的两个数,pqaa，不妨设pqnana，则(2)pnan nk，与题意不符，( )21f kn，取一串数ia为：1,21,2,22,3,23,nnn,2,2,1,1,nnnnn或写成1,22,2iiiaini为奇数为偶数，（121in），此时1(1)iia an nk，（122in），211naank，满足题意，( )21f kn，10 分（写出 （）、（）题的结论但没有证明各给分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -