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1、精选优质文档-倾情为你奉上1.2 课时2 基本不等式一、教学目标（一）核心素养通过学习重要不等式推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，进而推广到三个正数的情形。使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法（二）学习目标1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式.3能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题.（三）学习重点均值不等式定理的证明及应用.（四）学习难点等号成立的条件及解题中的转化技巧. 二、教学设计（一）课前设计1预习任务（1）读一读：阅读教材第5页至第9页，填空： ，当且仅当 时，等号成立，其中
2、； ，当且仅当 时，等号成立，其中 ； ，当且仅当 时，等号成立，其中 ；（2） 想一想：（1）中三个结论等号成立条件有什么区别？它们有什么应用？答：中等号成立时，；中等号成立时.应用于求函数的最值.2预习自测（1）两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.A大于B小于C不大于D不小于【知识点】基本不等式【解答过程】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数【思路点拨】掌握基本不等式【答案】D（2）若，则的最大值为（ ）A6B7C8D9【知识点】基本不等式【解题过程】由，得，即，当且仅当时，等式成立.【思路点拨】注意使用基本不等式时的条件【答案】D（3）函数的最小值为（ ）AB3C4D5【知识点
3、】基本不等式【解题过程】，当且仅当即取等号，不满足，当时，.【思路点拨】注意使用基本不等式时的取得条件【答案】B（4）已知三个正数满足，则的最小值为（ ）A21B18C15D12【知识点】三个正数的均值不等式.【解题过程】由，当且仅当即取等号.【思路点拨】【答案】B(二)课堂设计1. 知识回顾（1）比较两个实数的大小可用作差比较法.（2）（3）运用不等式的基本性质时要注意两边同乘一个数时的正负.2问题探究探究一 认识基本不等式活动 重要不等式定理1 如果，那么，当且仅当时，等号成立.证明：由作差比较法得，且当且仅当时，等式成立.几何解释：如果把实数作为线段长度，那么可以这样解释定理1（以为例）
4、如图，在正方形中，；在正方形中，.那么.矩形的长均为，宽均为，它们面积之和为以上两个矩形的公共部分为以边长为的正方形，其面积为，所以上述两个矩形面积之和就等于图中阴影部分的面积，它不大于两个正方形的面积之和，即，当且仅当时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于两个正方形面积之和，即.【设计意图】认识重要不等式，回顾作差比较法活动 基本不等式将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式：定理2（基本不等式） 如果，那么，当且仅当时，等号成立.证明：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.几何解释：如图，是中斜边上的高，是斜边上的中线，.于是，.由，得，即，易知，且当且仅当重合时，所以，
5、当且仅当时，等号成立.综上所述，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.如果都是正数，我们就称为的算术平均数，为的几何平均数.于是，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数.【设计意图】通过对基本不等式的证明，加深对基本不等式的理解，突破重点活动 了解基本不等式的使用步骤基本不等式可以用证明不等式以及求某些代数式的最值，使用时要注意：“一正”：使用基本不等式的两个数或式必须是正数；“二定”：求最值时，使用基本不等式的两个数或式应该和或积为定值；“三相等”：要验证能否取得等号，若能，则所求为最值，否则，不是，可参考双勾函数的图像求最
6、值.由基本不等式，得：（1） 当积为定值时，和有最小值，为；（2） 当和为定值时，积有最大值，为.【设计意图】通过对基本不等式的分析，了解基本不等式的用法.探究二 三个正数的均值不等式活动 认识三个正数的均值性质类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正数，可能有：如果，那么，当且仅当时，等号成立.如何证明这个猜想呢？仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：已知，那么，当且仅当时，等号成立.证明：因为所以，当且仅当时，等号成立.对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到定理3 如果，那么，当且仅当时，等号成立.这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.事实上，基本不等式可
7、以推广到一般的情形，对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当时，等号成立.【设计意图】通过对三个正数均值不等式的认识，为后面的运用做好铺垫探究三 均值不等式的应用活动 利用基本不等式求最值例1 求函数的最小值.【知识点】基本不等式【解题过程】解：，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为.【思路点拨】掌握利用基本不等式求函数最值【答案】同类训练 求函数的最大值.【知识点】基本不等式【解题过程】解：，当且仅当，即时取等号，所以函数的最大值为.【思路点拨】注意使用基本不等式求函数最值时的条件【答案】同类训练 求函数的最小值.【知识点】基本不等式【数学思想】数形结合思想【解题
8、过程】由双勾函数的图像可知，函数在上单调递增，所以的最小值为3.【思路点拨】由例1可知，使用基本不等式求此函数最值时，无法取等号，可利用双勾函数的图像求最值.【答案】3例2 求函数的最小值.【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】法1：（配凑法），当且仅当，即时取等号.法2：（换元法）令，则，当且仅当，即时取等号.【思路点拨】配凑法与换元法实质相同，都要注意使用基本不等式的条件【答案】8同类训练 求函数的最小值.【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】令，则，当且仅当，即时取等号.【思路点拨】与例2为同类型题目，可使用换元法，利用基本不等式.【答案】8同类训练 求函数的最小值.【知识点】基本不
9、等式，换元法【数学思想】数形结合思想【解题过程】令，则，当且仅当时取等号，不满足，由双勾函数图像可知，函数在单调递增，所以函数的最小值为.【思路点拨】当类似基本不等式的类型不能取等号时，可考虑利用双勾函数图像.【答案】2【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用基本不等式求函数的最值活动 求含双变量的代数式的最值例3 若，求以下代数式的最值:的最大值；的最小值【知识点】基本不等式【解题过程】，所以,当且仅当，即时取等号；,当且仅当，即时取等号.【思路点拨】注意利用基本不等式求代数式的最值的方法【答案】 同类训练 已知，求的最小值.【知识点】基本不等式【解题过程】，当且仅当，即时取等号.【思路
10、点拨】掌握“1”的代换的应用【答案】16例4 已知，求的最大值.【知识点】基本不等式【解题过程】由，得，所以，即，所以，当且仅当时取等号.【思路点拨】在“积”与“和”的混合关系中，要明确保留和变换的分别是哪一部分【答案】同类训练 已知，求的最小值.【知识点】基本不等式【解题过程】因为，所以，所以，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号.【思路点拨】掌握利用基本不等式求“积”与“和”的最值.【答案】4【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用基本不等式求含双变量的代数式的最值活动 三个正数的均值不等式的应用例5 求函数最小值.【知识点】三个正数的均值不等式【解题过程】，当且仅当,即时取等号.【思路点拨
11、】掌握利用三个三个正数的均值不等式求最值【答案】6同类训练 把一块边长是3的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？.【知识点】三个正数均值不等式【解题过程】解：设切去的正方形边长为，无盖方底盒子的容积为，则当且仅当，即时取等号.【思路点拨】掌握利用三个正数的均值不等式解决实际问题【答案】当切去的正方形边长是时，才能使盒子的容积最大.【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用三个正数的均值不等式求代数式的最值3. 课堂总结知识梳理（1）两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数（2）运用
12、基本不等式求最值时要注意：一正、二定、三相等（3）利用三个正数的均值不等式求最值时要注意取等条件重难点归纳（1）正确理解基本不等式的意义（2）灵活应用均值不等式求代数式的最值（三）课后作业基础型 自主突破1下列各式中，最小值等于2的是( )A. B. C D【知识点】基本不等式【解题过程】因为，所以.当且仅当，即时，等号成立【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D2设且，则的最小值是( )A10 B C D【知识点】基本不等式【解题过程】，当且仅当时，等号成立【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D.3设为正数，则的最小值为( )A6 B9 C12 D15【知识点】基本不等式【解题过程】为
13、正数，当且仅当，即时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B4若直线过点，则的最小值等于()A2 B3 C4 D5【知识点】基本不等式.【解题过程】因为直线过点，所以.所以，当且仅当时，等号成立【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】C5设，则函数的最大值是_【知识点】基本不等式【解题过程】，当且仅当，即时，等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值时，注意使用条件【答案】6设，且，则的取值范围是()A B C D【知识点】基本不等式；对数的运算.【解题过程】因为，而.【思路点拨】利用基本不等式求最值所以，当且仅当时取等号【答案】B能力型 师生共研7已知不等式对任意正实数恒成立，则
14、正实数的最小值为()A2 B4 C6 D8【知识点】基本不等式；恒成立【解题过程】不等式对任意正实数恒成立，则，得到，所以或(舍去)即正实数的最小值为4.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B8若，则的最小值是()A. B. C. D.【知识点】三个正数的均值不等式；对数的运算.【解题过程】当，得且，.当且仅当，即时取等号【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】A探究型 多维突破9定义运算“”：，当时，的最小值为_【知识点】基本不等式【数学思想】转化与化归思想【解题过程】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】10.函数的最大值是_【知识点】三个正数的均
15、值不等式【解题过程】，当且仅当，即时，等号成立【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】自助餐11. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.【知识点】基本不等式；恒成立问题【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由，得，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，即【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D12直线平分圆，则的最小值是（ ）A.1B.5 C.4 D.3+2 【知识点】基本不等式；圆【解题过程】由题可得，直线过圆心，所以所以，当且仅当，即时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D13已知正数满足，则的取值范围是 .【知识点】基本不等式.【解题过程】，所以
16、或（舍去），即，当且仅时取等号.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】14已知函数，点在函数的图象上，那么的最小值是_【知识点】基本不等式【解题过程】点在函数的图象上，所以有.因为，所以，当且仅当时，等号成立【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】415设且，则的最大值是_【知识点】个正数的均值不等式.【解题过程】因为，所以，当且仅当，即时取等号.【思路点拨】利用三个正数的均值不等式求最值【答案】116.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2018年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量万件与年促销费万元之间满足与成反比例的关系，如果不搞促销活动，
17、化妆品的年销量只能是1万件已知2018年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)若计划2018年生产的化妆品正好能销售完，试将2018年的利润(万元)表示为促销费(万元)的函数；(2)该企业2018年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【知识点】基本不等式【数学思想】函数与方程思想【解题过程】(1)由题意可设，将代入，得.所以.当年生产万件时，年生产成本为，当销售万件时，年销售收入为.由题意，生产万件化妆品正好销完，得年利润(2)令，则，当且仅当，即，时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式解决实际问题【答案】（1）；（2）当促销费定在7万元时，年利润最大.专心-专注-专业