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1、精选优质文档-倾情为你奉上一次函数之存在性问题（讲义）一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中， 根据已知条件， 探索某种状态是否存在的题目，主要考查 .一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：1. 把函数信息（ ）转化为几何信息；2. 分析特殊状态的形成因素，画出 ；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的 建立等式来解决问题二、精讲精练1. 如图，直线 y 33x 3与x轴、 y轴分别交于点 A，点 B，已知点 P是第 3一象限内的点，由点 P， O，B组成了一个含 60角的直角三角形，则点 P 的 坐标为 专心-专注-专业2. 如图，直线 y=kx- 4与x轴、 y轴分别
2、交于 B，C两点，且 OC 4.OB 3（1）求点 B的坐标和 k 的值（2）若点 A是第一象限内直线 y=kx- 4 上的一个动点，则当点 A运动到什么 位置时， AOB的面积是 6？（3）在（2）成立的情况下， x 轴上是否存在一点 P，使 POA是等腰三角形？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC的边 OC，OA分别与 x 轴、y 轴重合， ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=6 2 ，点 C的坐标为 （- 9，0）（1）求点 B 的坐标（2）若直线 BD交y轴于点D，且OD=3，求直线 BD的表 达式（3）若点
3、P 是（2）中直线 BD上的一个动点，是否存在点P，使以 O，D，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由线 y=kx+3上与 A，B不重合的动点过点 C的另一直线 CD 与 y轴相交于点 D，是否存在点 C使 BCD 与AOB全等？若存在，请求出点 C的坐标； 若不存在，请说明理由5. 如图，0），P（x，y）是直线 y 1 x 2 上的一个动点2（点 P不与点 A 重合）（1）在点 P的运动过程中，试写出 OPC的面积 S与 x 之 间的函数关系式2）当点 P运动到什么位置时， OPC的面积为 27 ？求出8此时点 P 的坐标3）过 P作 AB的垂
4、线与 x轴、y 轴分别交于 E，F两点，是 否存在这样的点 P，使 EOF BOA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由参考答案】、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中， 根据已知条件， 探索某种状态是否存 在的题目，主要考查运动的结果 . 一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：4. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；5. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；6. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解 决问题二、精讲精练1（1，3）或（3，3）或（3，3）或（ 3，3 3）4 4 4 4 42（1）B（3，0）， k 1212 4
5、3）P1（ ， ）或P2（-， ）3（2）A（6，4）13（3）P1（2 13，0）或P2（- 2 13，0） 或P3（12，0）或P4（ ，0）33（1）B（- 3， 6）（2）y=- x+3（3） P1（3，0）或P2（ 55 52，3 32）或P3（ 32，332）或P4（3，3）2 2 222 212 612 244（12，6）或（ 12 ，24 ） 或（ 4，6）5 55 53x 3 （x4）5（1）34x 3 （x4）3 x 3 （x 4）17 91 92） P1（ 17， 9）或P2（ 1，9）242 4一次函数之存在性问题（随堂测试）（1）求点B的坐标和 k的值（2）若点 A（
6、x，y）是第一象限内直线 y=kx- 1 上的一个动点， 则当点 A 运动到什么位置时， AOB的面积是 2？（3）在（ 2）成立的情况下， x 轴上是否存在点 P，使 POA 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由【参考答案】11（1）B（2，0）， k 12（2）A（6，2）（3） P1（2 10，0）或P2（- 2 10，0）或P3（12，0）或P4（ 10，0）一次函数之存在性问题（作业）7. 如图，将 RtAOB 放入平面直角坐标系中，点x轴上，点 B在y轴上， OB= 2 3 ， BAO=30，将 AOB沿直线 BE折叠，使得边 OB落在 AB上，点 O与
7、点 D 重合1）求直线 BE 的解析式2）求点 D 的坐标3）x轴上是否存在点 P，使 PAD 是等腰三角形？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .8. 如图，直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，点 B，已知 A（2，0），B（0，4），线段 CD 的两端点在坐标轴上滑动（点 C 在 y 轴上，点 D在 x轴上），且 CD=AB（1）求直线 AB 的解析式；（2）当点 C 在 y轴负半轴上，且 COD 和AOB全等时， 求点 D 的坐标9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- x+8 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，点 B，点 P（x，y）是直线 AB上一动
8、点（点 P不与点 A重合），点 C的坐标为（6， 0），O 是坐标原点，设 PCO 的面积为 S（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式（2）当点 P 运动到什么位置时， PCO的面积为 15？（3）过点 P作AB的垂线与 x轴、 y轴分别交于点 E，点 F， 是否存在这样的点 P，使 EOF BOA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由参考答案】1（ 1， 3）或（- 3，3）或（ 4，4 3）或（ 4，4 3 ） 32（1） y 3x 2 3（2） D（- 3，3）（3）P1（ 4，0）或 P2（ 6 2 3，0）或P3（ 6 2 3，0）或 P4（ 0，0） 3（1）y=-
9、2x+4（2）D1（ 4，0）或D2（- 2，0）或D3（2，0）或D4（ 4，0）3x 24 （x 8）4（1） S3x 24 （x 8） （2）（3，5）或（13，-5） （3）（0，8）一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是 ，主要考查运动的 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向： 把函数信息（ ）转化为基本图形的信息； 分析运动过程，注意 ，确定对应的 ； 画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案2. 解决具体问题时会涉及 ，需要注意两点：路程即线段长，可根据 s=vt直接表达 或；根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用 ，又要结合 二、精讲精练31. 如
10、图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，直线 y x 3 与 x 轴、y4轴分别交于 A，B两点点 P从点 A出发，以每秒 1个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 的运动时间为t 秒（1）求 OA，OB 的长（2）过点 P 与直线 AB垂直的直线与 y 轴交于点 E，在点 P 的运动过程中，是否存在这样的点 P，使 EOPAOB？ 若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由2. 如图，直线 y= 3x+4 3与 x轴、y轴分别交于 A，B 两点， 直线 BC与 x轴交于点 C，ABC=60（ 1）求直线 BC的解析式（2）若动点 P 从点 A 出发沿 AC方向向点 C运动（点 P
11、 不 与点 A，C重合），同时动点 Q 从点 C出发沿折线 CBBA 向点 A 运动（点 Q不与点 A，C重合），动点 P的运动速 度是每秒 1 个单位长度，动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单 位长度设 APQ的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围（3）当t=4时，y轴上是否存在一点 M，使得以 A，Q，M 为 顶点的三角形为等腰三角形？若存在， 请直接写出点 M 的坐 标；若不存在，请说明理由3. 如图，在直角梯形 COAB中， OCAB，以 O为原点建立平面直角坐标系， A，B，C三点的坐标分别为 A（8，0），B（8，11），C
12、（0，5），点D为线段 BC 的中点动点 P从点 O出发，以每秒 1个单位的速度，沿折线 OAABBD 的路线运动，至点 D 停止，设运动时间为 t 秒（1）求直线 BC 的解析式（2）若动点 P在线段 OA上运动，当 t为何值时，四边形1OPDC 的面积是梯形 COAB 面积的 ？43）在动点 P 的运动过程中，设 OPD的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围4. 如图，直线 y 3x 4 3与 x轴交于点 A，与直线 y 3 x交于点 P3（1）求点 P 的坐标（2）求 OPA的面积（3）动点 E 从原点 O出发，以每秒 1个单位的速度沿 OA 方向向
13、终点 A运动，过点 E作 EFx 轴交线段 OP或线段 PA于点 F， FBy轴于点 B设运动时间为 t 秒，矩形 OEFB速度运动，它与 x 轴、 y 轴分别交于 M，N 两点，设运动时间为 t 秒（0 t4）（1）求 A，B 两点的坐标；（ 2）用含 t 的代数式表示 MON 的面积 S1；（3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN，记 MPN 和 OAB重叠部分的面积为三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛速度已知，过程1坐标或表达式；状态转折，时间范围2线段长的表达；已走路程，未走路程；动点的运动情况，基本图形信息 二、精讲精练 1（1）OA=4，OB=3；（2）2（1）（2）（3）3（
14、1）（2）（3）4（1）（2）（3）5（1）（2）（3）t=1 或 t=7y 3x 4 3(0 t 4)(4 t 8)M1(0，4 3 8)或M 2(0，4 3 8)或M 3 (0， 4 3)或M 4(0，3y x 54t324t(0 t 8)S 2t 48(8 t 19)2t 48(19 t 24)P(3， 3)233t2S65 3t2 16 3t 24 32A(4，0), B(0，4)S1 1t 2212t2S2 23t2 8t 82(0 t 2)(2 t 4)(0 t 3)(3 t 4)一次函数之动点问题（随堂测试）1. 如图，直线 l1：y 3x 2 3与x 轴、y轴分别交于 A，B两
15、点，直线 l2： y 3x 6 3与 x 轴交于点 C，与直线 l1交于点 P（1）求点 P 的坐标（2）动点 M 从点 C出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 CP-PB 向点 B匀速运动（点 M 不与点 C重合），设 OMC的面积 为 S，运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 自变量 t 的取值范围1（3）当 t 为何值时， OMC 的面积是 APC面积的 ？4参考答案】1（1） P（2，4 3）2）3 3t3 3t 24 3(0 t 4)(4 t 6)3）一次函数之动点问题（作业）1. 如图，直线 y=x+4与x轴、 y轴分别交于 A，B两点，直线 y=- x+b
16、过点 B且 与 x 轴交于点 C （1）求直线 BC的表达式（2）若动点 P从点 C出发沿 CA方向向点 A 运动（点 P不与点 A，C重合）， 同时动点 Q从点 A出发沿折线 AB- BC向点 C运动（点 Q不与点 A，C重合）， 动点 P的运动速度是每秒 1个单位长度，动点 Q的运动速度是每秒 2 个单 位长度，当其中一个动点到达终点时， 另一个动点也随之停止运动 设 CPQ 的面积为 S，运动时间为 t秒，求 S与t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围2. 已知：如图，在直角梯形 COAB 中，OCAB，AOC=90，AB=4， AO=8，OC=10，以O为原点建立平面直角坐
17、标系，点 D为线段 BC的中 点动点 P从点 A出发，以每秒 4个单位的速度，沿折线 AO- OC- CD向终 点 D 运动，设运动时间为 t 秒（ 1）求点 D 的坐标；（2）在动点 P的运动过程中，设 OPD的面积为 S，求 S与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围yOAx3. 如图，直线 y x 4 2与x轴交于点A，与直线y x交于点 B（1）求点 B 的坐标（2）判断 OAB的形状并说明理由（3）动点 D从原点 O出发，以每秒 2 个单位的速度沿 OA向终点 A运动（点D不与点 O，A重合），过点D作DCx轴，交线段 OB或线段 BA于点C，CE y轴于点 E设运动
18、t秒时，矩形 ODCE与OAB重叠部分的面积为 S，求S 与t 之间的函数关系式参考答案】1( 1) yx 412t2 (0 t 4)2) S212t 2 4t (4 t 8)214t 282) S 8t 162（1） D（4，7）(0 t 2)9(2 t )29 23( t )243(1) B(2 2，2 2)2）OAB是等腰直角三角形3)St2 23t 2 16t 16(0 t 2)(2 t 4)一次函数应用题（讲义）一、知识点睛1. 理解题意：结合图象依次分析 的实际意义，把函数图象与对应起来，可借助示意图（如线段图）等梳理信息2. 利用 解决问题：把所求问题转化为函数元素，利用表达式进
19、行求解；另外当实际场景发生变化时，要分析 或者3. 结合实际场景验证所求结果二、精讲精练1. 一辆快车和一辆慢车分别从 A，B 两站同时出发，相向而行快车到达 B 站 后，停留 1小时，然后原路原速返回 A 站，慢车到达 A 站即停运休息如图 表示的是两车之间的距离 y（千米）与行驶时间 x（小时）的函数图象请 结合图象信息，解答下列问题：（1）直接写出快车、慢车的速度及 A，B 两站间的距离；（2）求快车从 B站返回 A站时，y与 x之间的函数关系式；（3）出发几小时，两车相距 200 千米？请直接写出答案距离 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出
20、A，B 两地之间的距离；（ 2）求出点 M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间保持的距离不超过 3km 时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机 保持联系时 x 的取值范围3. 2013 年夏，某地发生特大暴雨灾害，受其影响，某药品的需求量急增如 图所示，平常对某种药品的需求量 y1（万件）、供应量 y2（万件）与价格 x （元/件）分别近似满足下列函数关系式： y1=- x+70，y2=2x- 38，需求量为 0 时，即停止供应当 y1=y2 时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳 定需求量（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量（2）价格在什
21、么范围内，该药品的需求量低于供应量？（3）由于灾情严重，政府部门决定对药品供应方提供价格 补贴来提高供货价格，以提高供应量根据调查统计，需 将稳定需求量增加 6 万件，政府应对每件药品提供多少元 补贴，才能使供应量等于需求量？4. 甲船从 A 港出发顺流匀速驶向 B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时 落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向 B 港乙船从 B 港 出发逆流匀速驶向 A 港已知救生圈漂流的速度和水流速度相同，甲、乙 两船在静水中的速度相同，甲、乙两船到 A 港的距离 y1，y2（km）与行驶时 间 x（ h）之间的函数图象如图所示（ 1）乙船在逆流中行驶的速度为
22、；（2）求甲船在逆流中行驶的路程；（3）求甲船到 A 港的距离 y1与行驶时间 x 之间的函数关系式；（4）救生圈落入水中时，甲船到 A 港的距离是多少？24y/km甲2 2.5 3.5 4 x/h槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y（厘米）与注水时间 x （分钟）之间的关系如图 2 所示根据图象提供的信息， 解答下列问题：（1）图 2 中折线 ABBC表示槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段 DE表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系 （以上两空选填“甲”或“乙”） ，点 B 的 纵 坐 标 表 示 的 实 际 意 义 是2）注水多长时间时， 甲、乙两个水槽中水的深度相同？3）若乙槽的底面积为
23、 36 平方厘米（壁厚不计） ，求乙 槽中铁块的体积4）若乙槽中铁块的体积为 112 立方厘米（壁厚不计），求甲槽的底面积 （直 图 2 接写出结果）三、回顾与思考参考答案】一、知识点睛1 轴、点、线，实际场景2 函数图象，函数图象的变化，构造函数图象 二、精讲精练1)快车的速度是 120km/h ；慢车的速度是 80km/h ；A，B 两 地之间的距离是 1200km40x 1320 (11 x 15)y120x 2520 (15 x 21)5 小时， 7 小时， 58 小时3A，B两地之间的距离是 30 km； 22M (2 ，20) ，两车出发 2 小时后相遇，此时距离 B 地 20km
24、 ； 33311515该商品的稳定价格是 36 元，稳定需求量是 34 万件 36x 70 9元 6km/h 3km123452)3)1)2)3)1)2)3)1)2)3)4)1)2)3)4)3 x 11或 9x259x6x 30159x2(0 x 2)(2 x 2.5)(2.5 x 3.5)27km2乙，甲，乙槽中铁块的高度是 14 厘米； 注水 2 分钟时，甲乙两个水槽中水的深度相同； 84 立方厘米；60 立方厘米一次函数应用题（随堂测试）1. 甲、乙两个港口相距 72千米，一艘轮船从甲港出发，顺流航行 3 小时到达 乙港，休息 1小时后立即返回；一艘快艇在轮船出发 2 小时后从乙港出发，
25、 逆流航行 2 小时到达甲港，并立即返回（掉头时间忽略不计）已知水流速 度是 2千米/ 时，下图表示轮船和快艇距甲港的距离 y（千米）与轮船出发时 间 x（小时）之间的函数关系式，结合图象解答下列问题：（顺流速度 =船在静水中速度 +水流速度；逆流速度 =船在静水 中速度- 水流速度）（1）轮船在静水中的速度是 千米/ 时，快艇在静水中的速度是 千米/ 时；（2）求快艇返回时的解析式，并写出自变量的取值范围；（ 3）快艇出发多长时间，轮船和快艇在返回途中相距 12千米？【参考答案】1（1）22；38（2）y=40x-160（4x 5.8）（3）3或 3.4一次函数应用题（作业）1. 甲、乙两车
26、分别从 A，B 两地同时出发相向而行， 并以各自的速度匀速行驶 甲 车途经 C地时休息一小时， 然后按原速度继续前进到达 B 地；乙车从 B 地直 接到达 A 地，如图是甲、乙两车离 B地的距离 y（千米）与甲车出发时间 x （小时）的函数图象（1）直接写出 a，m，n 的值；（2）求出甲车离 B 地的距离 y（千米）与甲车出发时间 x（小 时）的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当两车相距 120 千米时，乙车行驶了多长时间？2. 某地区一种商品的需求量 y1（万件）、供应量 y2（万件）与价格 x（元 /件） 分别近似满足下列函数关系式： y1=- x+60，y2=2x- 3
27、6当需求量为 0 时，即 停止供应当 y1=y2 时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求 量（1）求该商品的稳定价格与稳定需求量 （2）当价格在什么范围时，该商品的需求量低于供应量？（3）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格 补贴来提高供货价格，以提高供应量现若要使稳定需求量 增加 4 万件，政府应对每件商品提供多少元补贴，才能使供 应量等于需求量？3. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发设慢 车行驶的时间为 x（ h），两车之间的距离为 y（ km），图中的折线表示 y 与x之间的函数关系根据题中所给信息解答以下问题：（ 1）甲、乙两地之间的距离为 ；图中点 C 的实际意义为 ；慢车的速度为 快车的速度为 2）求线段 BC所表示的 y与 x之间的函数关系式，以及自变量 x 的取值范围参考答案】1（1）a=90；m=1.5；n=3.5；120x 300 （0 x 1.5）（2） y 120 （1.5 x 2.5）120x 420 （2.5 x 3.5）（3）1小时或 3 小时2（ 1）该商品的稳定价格是 32 元，稳定需求量是 28 万件 （2）32 x 60（3）6 元3（1）960km；当慢车行驶 6 个小时时，快车到达乙地； 80km/h ，160km/h （2）y=240x- 960（4 x 6）