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1、正弦定理和余弦定理一. 教学目标：1 知识与技能：认识正弦、余弦定理，了解三角形中的边与角的关系2 过程与方法：通过具体的探究活动，了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用情感态度与价值观：通过对实例的探究，体会到三角形的和谐美，学会稳定性的重要二. 教学重、难点：1. 重点：正弦、余弦定理应用以及公式的变形2. 难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。知 识 梳 理1正弦定理和余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则正弦定理余弦定理内容asin Absin Bcsin C2R (R 为ABC 外接圆半径 ) a2b2c22bccos
2、A b2a2c22accos B c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；(3)abcsin Asin Bsin Ccos Ab2c2a22bc；cos Ba2c2b22ac；cos Ca2b2c22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S12ah(h 表示边 a上的高 )(2)S12bcsin A12absin C12acsin B. (3)S12r(abc)(r 为ABC 内切圆半径 )问题 1：在ABC 中，a3，b2，A60 求 c 及 B C 问题 2 在ABC 中,c=
3、6 A=30 B=120 求 a b 及 C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 问题 3 在ABC 中，a5，c4，cos A916，则 b通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用; 正弦定理可以解决(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角余弦定理可以解决(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角
4、形中“知三求三”知三中必须要有一边应用举例【例 1】 (1)(2013 湖南卷)在锐角 ABC 中，角 A， B 所对的边长分别为a，b.若 2asin B 3b，则角 A 等于()A.3B.4C.6D.12(2)(2014 杭州模拟 )在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a1，c4 2，B45 ，则 sin C_. 解析(1)在 ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A sin B 3sin B， B 为 ABC 的内角，sin B0. sin A32.又 ABC 为锐角三角形， A0，2， A3. (2)由余弦定理，得 b2a2c22accos B1328 22
5、225，即 b5. 所以 sin Cc sin Bb4 222545. 答案(1)A(2)45【训练 1】 (1)在ABC 中，a2 3，c2 2，A60 ，则 C()精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - A30B45C45 或 135D60(2)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b23bc，sin C2 3sin B，则 AA30B60C120D150解析(1)由正弦定理，得2 3sin 60 2 2s
6、in C，解得： sin C22，又 ca，所以 C60 ，所以 C45 . (2) sin C2 3sin B，由正弦定理，得 c2 3b， cos Ab2c2a22bc3bcc22bc3bc2 3bc2bc32，又 A 为三角形的内角，A30 . 答案(1)B(2)A 规律方法已知两角和一边， 该三角形是确定的， 其解是唯一的； 已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断【例 2】 (2014 临沂一模 )在ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求角 A 的
7、大小；(2)若 sin Bsin C3，试判断 ABC 的形状解(1)由 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 bcb2c2a2，cos Ab2c2a22bc12，A60 . (2)ABC180 ，BC180 60 120 . 由 sin Bsin C3，得 sin Bsin(120 B)3，sin Bsin 120 cos Bcos 120 sin B3. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - -
8、 - - - - 32sin B32cos B3，即 sin(B30 )1. 0 B120 ，30 B30 150 . B30 90 ，B60 . ABC60 ，ABC为等边三角形规律方法解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意A，B，C 的范围对三角函数值的影响课堂小结1在解三角形的问题中， 三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解2正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化如a2b2c22bccos A 可以转化为 sin2Asin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A， 利用这些变形可进行等式的化简与证明精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -