2022年概率论习题.pdf

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1、概率论计算：1已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品（2）两只都是次品（ 3）一只是正品，一只是次品（4）第二次取出的是次品解：设 A1、A2 表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 452897108)1|2()1()21(AAPAPAAP(2)45191102)1|2()1()2,1(AAPAPAAP(3) 45169810292108)1|2()1()1|2()1()21()21(AAPAPAAPAPAAPAAP(4) 519110292108)1|2()1()1|2()1()2(AAPAPAAPAPAP2某

2、电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率解：设 Bi（I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件， A 表示任取一只是次品的事件。（1）由全概率公式0125.003. 005. 001. 080. 002. 05 .0)3|()3()2|()2()1|()1()(BAPBPBAPBPBAPBPAP（2）由贝叶斯公式24.00125. 002.015.0)()1|()1()|1(APB

3、APBPABP3房间里有 10 个人，分别佩戴从1 号到 10 叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为 5 的概率； （2）最大号码为 5 的概率。解：由等可能概型有：（1）12131025CCP;（2）20131024CCP46 件产品中有 4 件正品和 2 件次品，从中任取3 件，求 3 件中恰为 1 件次品的概率。解：设 6 件产品编号为 1，26，由等可能概型53361224CCCP5设随机变量 X具有概率密度0, 00,3)(xxxkexf。 （1）确定常数 k； （2）求 P（X）解： （1）由1)(dxxf有333303301kkxdxekdxxke所以（2

4、）7408.0331 .0) 1. 0(dxxexP6一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t，每个设备被使用的概率为，问在同一时刻（1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少（2）至多有 3 个设备被使用的概率是多少（3）至少有 1 个设备被使用的概率是多少解：由题意，以X表示任一时刻被使用的设备的台数，则Xb(5,，于是（1）0729. 039. 021.025)2(CXP（2）9995.051 .0559. 041.0451)5()4(1)3(1)3()2()1()0()3(CCXPXPXPXPXPXPXPXP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

5、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （3）40951.059 .001. 0051)0(1) 1(CXPXP7设随机变量 X的概率密度为, 0, 40,8)(其它xxxf求)31(xP解：2183)31(dxxxP8由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数 =，=的正态分布，规定长度在范围 内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。解：由题意，所以为0456.0)2(1 2)06. 012.0()06.012.0(1)12.005.1012.005.10(1xP9设 XN（3，22）求： （1）)3

6、(),2|(|),104(),52(xPxPxPxP（2）)()(cxPcxP解： （1）5328. 0)5.0()1 ()232()235()52(xP9996.0)5.3()5 .3()234()2310()104(xP6977.0)232()232(1)22(1)2|(|1)2|(|xPxPxP5 .0)0(1)3(XP（2）由 Pc=P(x c)，即3, 02321)23()23()23(1ccccc所以10设随机变量 X的分布律为X -2-1013P2161511513011求 Y=X2的分布律。解：Y=X2的全部取值为 0，1，4，9 且 P（Y=0）=P（X=0）=51，P（Y=

7、1）=P（X=-1）+P（X=1）=30715161，P（Y=4）=P（X=-2）=51，P（Y=9）=P（X=3）=3011故 Y的分布律为X 0 149P5130751301111设二维随机变量（ x，y）具有概率密度其它, 00,0,)2(2)(yxyxexf（1）求分布函数 F（x，y） ；（2）求概率 P（YX）解： （1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 其它其它, 00,0),1)(21 (, 00, 0)2(200

8、),(),(yxyexeyxdxyxexdyydxdyyxfyxyxF（2）31)2(20),()(dydxyxeydxdyyxfXYP12已知（ X，Y）的联合分律为XY01121/81/41/43/8求 X及 Y的边缘分布律。解：X的分布律为X01P8385Y的分布律为X12P838513设随机变量（ X，Y ）的联合概率密度为其它, 010, 6),(xyxf，边缘概率密度)(),(yyfxxf。解：其它其它, 010),2(6, 010,62),()(xxxxdyxxdyyxfxxf其它其它, 010),(6, 010,6),()(yyyydxyydxyxfyyf14设（ X，Y）的概

9、率密度为其它, 042, 20),6(),(yxyxkyxf（1）确定常数 k； （2）求 P（X1，Y30） ，S 近似服从正态分布N(，2/2n)，其中为总全的标准差，试证：的 100（r2）%的置信区间为nxZSnxZSxZnSxZxxZnSxZPNnSnNSnxZSnxZS2/212/2122/2122/2)1 , 0(2/)2/2,(:2/212/21即则近似服从近似服从证解32总体 XN（，2）nXXX,.2,1是来自总体区的容量n=16 的样本， S2是样本方差4375.0475.195. 075.1)15(95.0)4)116(1616/)(:95. 0)(.1612)(116

10、12kktPktPksuZPksuXPKksuXPiZiZS有解值的试求满足33已知离散型随机变量X服从对数为 2 的泊松分布，即.2 , 112)(KKkKZP求 X=3X-2的数学期望 E（X） 。4)(42232)(3)23()(2)(:XEXEXEXEXE解34设随机变量 X与 Y独立，且 XN（1，2）YN （0，1）试求 X=2X-Y+3 的概密度。18)5(231)(9)()(4)32()(53)()(2)32()(:2xegzfYDXDYXDXDYEXEYXEXE解35设随机变量的分布律为P（Z=K ）=0.)2, 1 ,0(1kkka，确定 a。精品资料 - - - 欢迎下载

11、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - eaaekkikakkkakKZP010101)(:解36设（ X，Y）的密度函数为其它, 0, 0,),(xyxyeyxf求 X，Y的边缘密度函数判别其独立性。不独立与其它同理其它时当解YZyyfxzfyxfyyyeyyfxxeyxfxexdyyedyyxfXzfX)()(),(, 00,)(, 00,),(),()(,0:37设随机变量（ X，Y）的概率密度为其它,00, 0,)43(),(yxyxCeyxf求：常数 C及

12、联合分布主数 F（X，Y） 。其它解, 00, 0)41)(31 (),()41)(31(),(),(1212003),(1),(:yxyexeyxFyexedxdyyxfyxFCcdyyedxxeCdxdyyxfdxdyyxf38设二维随机变量（ X，Y）的联合分布函数其它当, 00, 03331),(yxyxyxyxF求二维随机变量（ X，Y）的联合（ x,y）解：可验证 F（x,y）是连续型二维随机变量的分布函数，则其它,00, 0,)3(ln3),(2)3(ln323ln33ln32),(2yxyxyxyxyxFyxxXFyxFyx39测定某种溶液中的水份，它的10 个测定值给出 S=

13、% ，设测定值总体为正态分布，2为总体方差试在水平 a=下检验假设H0:=%, H1:a0 是未知参数，nXXX,.2,1是来自总体 X的容量为 n 的样本，记niiZnZ11。证明：的无偏估计为Z32?。?2332)(32)32()?(23)(232)(,02,1)(:ZEZEEEZZEdxxZExxPX其它的分布概率密度函数解45设随机变量（ X，Y ）的联合概率密度函数为其它,00, 10 ,3),(xyxxyxP求 X=X-Y 的概率密度函数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页

14、，共 13 页 - - - - - - - - - - 其它时当时当时当解, 010),21(23)()(1)(,132123)(1)()(0000:ZZzzFdzdzzPZzFZZZZYXPZYXPzzFXZzFX46设随机变量 Z的概率密度为xxexP|21)(求 E（Z）及 D（Z） 。202)(2)()(0|21)(:dxxexdxXPZEXZDdxxexxZE解47对圆的直径作挖测量，设其值均匀地分布在a,b内，求圆面积的数学期望。解：设圆直径为随机变量Z，圆面积为 Y 。)22(12124)()(, 0,1)(24)(bababadxabxXfEYEbxaabxzPZZfY其它则4

15、8随机向量（ X，Y）在区域 D=(x,y)|0 x1,|y|x| 上服从均匀分布。求关于Z的边缘分布并求 Z=2Z+1的方差。921814)(22)12()(181)(2)2()(211022)2(32102)(,010 ,22)(10,0|10, 1),(1:ZDZDZDZEZEZDxdxxZExdxxZExxzPxxxdxxzPxxyxyxP其它时当其它面积为解49设nXXX,.2,1是来自参数为的泊松分布为总体的一个样本，试求的极大似然估计。ZniixnninixniiixnniixLniiiXexiLxexxZP11?1011)ln(1ln)(ln1)()(1:令解50已知随机变量

16、Z的分布函数为4, 140,40, 0)(xxxxxF求 E（Z）和 D（Z） 。34122)04()(2240)(04,040,41)()(:ZDZEZxdxxdFxP上的均匀分布服从其它解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 51设随机变量（ X，Y ）的概率密度为其它, 040, 20),6(),(yxyxkyxf(1)确定常数 K； （2）求 PZ0，为未知参数，求的极大似然估计值。niixnniixnniixniixnLn

17、LnixeixnniixfLi1221?012312)1222(1ln2)(ln12221),()(:22令解53设总体 Z的概率密度为其它, 010 ,1)(xxxf其中 0, 为未知参数，求的矩估计量。1101)(:dxxXZEiw解21?ZZZa令54设随机变量 Z 服从（ 0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=Z2在（0，4）内的概率分布密度函数fy(y)，求 fy(y)。其它时其它解,040,41)(41)(1)(21)()2()(0, 020,21)(:yyyYfyyYFyYfydxydxxzfyZyPyZPyYPyyFyxxzf55已知P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)

18、=61,P(AC)=P(B), 求 A，B，C均不发生的概率。12761431)()()()()()()(1)(1)()(:ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPCBAPCBAP解56甲、乙、丙三人进行投篮比赛，已知甲的命中率为，乙的命中率为，丙的为，现每人各投一次，求三人中至少有两人投中的概率。解：设 A 为“甲投中”，B为“乙投中”，C为“丙投中”则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 902.0)()()(2)()()

19、()()()()(2)()()()()(,7. 0)(, 8. 0)(,9 . 0)(CPBPApAPCPCPBPBPAPABCpCAPBCPABPCABCABPABCCABCABPCBACPBPAP相互独立显然57某工厂生产的 100个零件中有 5 个次品，采用不放回抽样，每次任取一个，求（i）第一次抽次品。（1）第一次和第二次都抽到次品（2）第一，二，三次都抽到次品。1617019839941005)/()/()()(49519941005)/()()(1005)(:ABCPABPAPABCPABPAPABPAP解58若 AB，AC,P(A)= ，7. 0)8. 01(9 .0)(1 )(

20、)(1 )()()()(,:)(8.0)(CBPAPCBPAPBCPAPBCAPBCACABABCAPCBP解求59对以往数据进行分析，结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整得主奶好的概率是多少9 .03. 025.09 .075.09. 075.0)/()()/()()/()()/(75.0)(,3. 0)/(, 9. 0)/(, :BAPBPBAPBPBAPBPABPBPBAPBAPBA的概率为所求则调整良好机器为产品合格为设解60房间里有 10 个人，分别佩戴从1 号到 10 号的胸章，

21、任选三人记录共胸章的号，求（1）最小号码为 5；（2）最大号码煤矿的概率。201310242)2(121310251)1 (:CCPCCP解61一个工人看管12 台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需工人维修的概率为101，求这段时间内至少有两台机器需要工人维修的概率。解：设kA为“K台机器需维修”，则341.011)109(10212)109(111)109)(101(11212)109(0)101(012112)109()101(12)(CCkkkCkAP62制帽厂生产帽子合格率为，一盒中装有帽子4 顶。一个采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，若两顶帽子都合格，则买下这盒帽子，求每

22、盒帽子被买下的概率。解：设 B为“一盒帽子被买下”，Ai 为“一盒帽子中有I 顶帽子合格”。则64.0422324)2. 0()8 .0(4)40/()()()4 ,3, 2(242)/()1 , 0(0)/()4,3 , 2, 1. 0(4)2 .0()8.0(4)(iCiCxixixiCiAiBPiAPBPiCiCiABPiiABPiiiiCiAP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 63某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态

23、分布，2均未知，现测得16 只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取 a=） ，已知 (15)=。解：此检验如下：.225,0,7531. 16685. 07531. 1)15(05.0,6685. 0)15(05.0) 1(/0225:12250:0小时认为元件平均寿命大于设故接受原假由于计算得拒绝域为HtttnatnSxtHH四、综合题1.对于正态总体的大样本 （n30） ，s 近似服从正态分布)2/2nN，（，其中为总体的标准差， 试证

24、：)%1100 （的的置信区间为nzsnzs221221解：)2/2nNs，（近世服从) 1, 02/（近世服从 Nns则122/2znszP22/2znsz即nzsnzs2212212.测定某种溶液中的水份，它的10 个测定值给出S=% ，设测定值总体为正态分布，2为总体方差试在水平=下检验假设%04. 0:%,04.0:10HH解:0222022205.021201010325. 3707. 70004.000037. 09) 1(325. 3)9(1%04.0%04. 0HsnxxnxxHH所以接受现在）（拒绝域为3.总体 XN162,12.),(XXX是来自总体区的容量n=16的样本，值。的（试求满足是样本方差KKSXPiXiXSS95. 0),1612)(116122解：4375. 0475. 195.075. 1)15(95.04)116(1616KKtPKtPKSXPKSXP所以有所以精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -