《2022年概率论与随机过程题集.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年概率论与随机过程题集.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二章概率论与随机过程2-16 图 P2-16 中的电路输入为随机过程X(t),且 EX(t)=0,xx() =2(),即 X(t)为白噪过程。（a）试求谱密度yy（f） 。（b）试求yy()和 EY2(t)。图 P2-16解： （a）xx=2222)()(dedefjfjxx又系统函数)( fH=)()(fXfY=fcjfcjRfcj21121212222222241)2(11)()()(cfRfcRfHffxxyy(b)E)(2ty=)0(yyRcfjfjyyyyeRcdfecfRdfef122222222241)()(E)(2ty=Rcyy2)0(22-20 一离散时间随机过程的自相关序
2、列函数是kk)2/1 ()(，试求其功率密度谱。解：由功率密度谱的定义知)( fkfkjek2)(kfkjke2)21(CRY(t)X(t)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - fkjkke21)21(fkjkke20)21(kfjke)21(21kfjke)21(20fjfjee2221121fje22111)( ffjfjee2221121fje22111即为所求。2-23 试证明函数)(tfk)2(2)2(2sinWktWWkt
3、W，k= 0，1，2，在区间 ,上为正交的，即所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号)(ts的级数展开式，其中权值为)(ts的样值，且)(tfk是级数展开式中的正交函数集。证明：由题得dttftfjk)()()2(2)2(2sinWktWWktW)2(2)2(2sinWjtWWjtWdt21)2)(2()(4cos)cos(jwtkwtjkwtkjdt命题得证。2-24系统的噪声等效带宽定义为02)(1dffHGBeq精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - -
4、- - - - - - cfcf)(fH式中 ,2)(maxfHG。利用该定义，试确定图P2-12 中的理想带通滤波器和图P2-16 中的低通系统的噪声等效带宽。图 P2-12 图 P2-16解：(1) 对于图 P2-12 有1)(max2fHGBBfBfdfdffHBccBfBfeqcc?)2(21)(0222图 P2-12 的系统的等效带宽为B(2) 对于图 P2-16有1)(max2fHGeqB0dffH2)(=0022222)2(1)2(21411RcfRcfdRcdffcR=RcRcfarctgRc41|)2(210第三章信源编码3-4 X、Y是两个离散随机变量,其概率为 P(X=x
5、, Y=y)=P(x, y)证明： I(X,Y) ，当且仅当X和 Y统计独立时等号成立。证明：),(),(),(11jinimjjiYXIYXPYXI)()(),(log),(11jijinimjjiYPXPYXPYXP),()()(log),(11jijinimjjiYXPYPXPYXP1),()()(),(11jijinimjjiYXPYPXPYXP0),()()(11nimjjijiYXPYPXP),(YXI0, 当且仅当 X和 Y统计独立时BBCRY(t)X(t)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -
6、- - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - )()(),(jijiYPXPYXP0)()(),(logjijiYPXPYXP此时 , 0),(jiYXI3-5 某 DMS 信源输出由可能的字符1x，2x， ，nx组成，其发生概率分别是1p，2p，np。证明信源熵)(XH至多是nlog。证明：由熵定义可知)(XHniiipp1log；又niip11)(XHnlogniiipp1logniinp1logniiipp11logniinp1logniiinpp11log又npi1log2ln1lnnpi2ln11npi)(XHnlogniiinpp1) 11(2ln1n
7、iipn1)1(2ln1)11(2ln10)(XHnlog当且仅当ipn1时等号成立。3-11 设X和Y是两个联合分布的离散随机变量（a）证明：)(XHyxxPyxp,)(log),()(YHyxyPyxp,)(log),(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - (b) 利用上述结果证明：),(YXH)(XH)(YH在什么情况下上式的等号成立（c） 证明：)|(YXH)(XH当且仅当X和Y独立时上式等号成立。证明： (a) 由离散随机变
8、量的边缘概率可知)(ixPmjjiyxP1),()(XH)(log)(1iniixpxpni 1mjijixpyxp1)(log),(yxxPyxPXH,)(log),()(同理可知：yxyPyxPXH,)(log),()(（b）),(log),(),(11jinimjjiYXPYXPYXHyxxPyxP,)(log),(yxyPyxP,)(log),(=),(log),(11jinimjjiYXPYXP)()(YHXH0),(logjiYXP)()(),(YHXHYXH当),(jiYXP=1 时，等号成立。(c) ),()|()(YXIYXHXH由 3-4 的结论可知：0),(YXI),()
9、(YXHXH若存在,YX不独立，使得)()|(XHYXH即yxyxPyxPYXH,)|(1log),()|(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - yxyxPyxPXH,)|(1log),()()()(),()|(xPyPyxPyxP,YX不独立，所以与以上推论相互矛盾； 当且仅当YX ,相互独立时上式等号成立。3-23 一个无记忆信符源的字集为-5,-3,-1,0,1,3,5, 相应的概率分别是,(a) 计算信源熵。(b) 假设信源输
10、出按如下量化规则量化,4)3()5(qq,0)1()0()1(qqq4)3()5(qq,计算量化后的信息熵。解： (a) 由熵的定义可得)(XH71)(log)(iiixPxP15.0log15.005.0log05.025.0log25.03 .0log3.0取 2 作底可得)(XH53.2(b)量化后的字符集为0,4且)0(xP1 .015. 005.03.0)4(xP1)0(xP7. 0此时的熵为)(XH21)(log)(iiixPxP3 .0log3.07 .0log7.0取 2 作底可得)(XH3-25对下列二进制序列做L-Z信源编码：000000000再从编成的L-Z信源码中恢复原
11、序列。解：将该二进制序列做如下分解，可得到下列码段：0，00，1，001，000，0001，10，00010，0000，0010，00000，101， 00001，000000，11，01，0000000，110可得 L-Z算法字典如下：字典位置字典内容码字精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 10000100000002000100000001030001110000014001000010001015001010000001006
12、0011000010010117001111000011080100000010001100901001000000101010010100010001000110101100000010010120110010100111113011010000101001114011100000000101101501111110001111610000010000111710001000000001110018100101100111103-30 某加性高斯白噪声信道的输出是GXY,此处X是信道输入，G是噪声，概率密度函数为2221)(nnnenp，如X是0)(XE及22)(xXE的白高斯输入，计算：(
13、a) 条件差熵)|(GXH。(b) 平均互信息);(YXI。解： (a) dxdggxPgxPGXH)|(log),()|( 已知信源X的概率刻度函数为22221)(xxxeXP，G为加性噪声，)22(22221)()();(NxNxnxegPxPgxP，)()|(xPgxp 条件熵为xdxdggxPgxPGXH2log21)|(log),()|(b) 平均互信息为0)2log21()(log)()|()();(xdxxPxPgxHxHgxI3-38 考虑一个平稳随机信号序列)(nX，其均值为0，自相关序列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名
14、师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 1 （n=0）)(n(n=1) 0 (其它 )（a）)(nX的一阶最小MSE预测器为)(nx) 1(1nxa，计算预测系数以及相应的最小均方误差1。（b）对于二阶预测器)(nx) 1(1nxa)2(2nxa重复（ a）的问题。解： （a）由piijia1)()(j且1p，1ji可得)11(1a)1()0(1a) 1(1a)(nx) 1(5.0nx此时最小均方误差为121)1()(nxanxE2)1(5 .0)(nxnxE)1(25.0)1()()(22nxnxnxnxE)(2nxE)
15、1()(nxnxE)1(25.02nxE)0(25.0) 1()0(75.0（b）二阶最小MSE预测器此时，1, 2 jp，2)1()12() 11(21aa)2()22()21 (21aa5.05 .021aa05.021aa321a，312a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此时的最小均方误差为2)2(31)1(32)(nxnxnxE)2(31)1(32)(nxEnxEnxE212121)()(2)0(iijjiijiaaia
16、32第四章通信信号与系统的表征4-9已知一组 M 个正交信号波形)(tsm，Mm1，Tt0， 他们具有相同的能量。现定义一组新的M 个波形)(tsmMkkmtsMts1)(1)(，Mm1，Tt0试证明这 M 个信号波形 )(tsm 有相同的能量，即MM)1(并且是等相关的，相关系数为TnmmnMdttsts0,11)()(1证明：由能量定义可得Tmdtms02)(TmkkmdttsMts012)(1)(TmkkmkkmmdttsMtsMtsts021212 )(1)(1)(2)(Tmdtts02)(TmkkmdttstsM01)()(2mkTkdttsM1022)(1)(tsm，Mm1为正交向
17、量MM12MM)1(即 M 个信号波形 )(tsm 有相同的能量。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 又mnTnmdttsts0,)()(1TminnmkkmdttsMtstsMtsMM011)(1)()(1)(11dttsMtsMtstsMtsMtststsMMTmimkknnmimkknmnm01111 )(1)(1)()(1)(1)()()(11TTmkTknmdttsMdtnsMdttsMM00102222)(1)(1)(1
18、0111111MMMM11M即证。4-10 考察图 P4-10 所示的 3 个波形。图P4-10（a）试证明这些波形是标准正交的。（b）如果1 10t)(tx1 31t0 1 2 3 4t)(3tf)(2tf)(1tft0 4t0 2 4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 1 43t试将)(tx表示为)(tfn1(n，2，3)的加权线性组合，并求加权系数。证明：（a）由图可知)(1tf21214220tt，)(2tf21，40t)
19、(3tf212143, 2132, 10tttt)(),(21tftf4021)()(dttftf0)(),(32tftf4032)()(dttftf0)(),(31tftf4031)()(dttftf014021)(dttf1，24022)( dttf1，34023)( dttf1，)(1tf，)(2tf，)(3tf是标准正交的。（b）)(),(1tftx)(),(2tftx)(),(3tftx0)(tx，)(1tf，)(2tf，)(3tf是两两正交的它们是线形独立的)(tx不能由)(1tf，)(2tf，)(3tf线形表示。4-13低通高斯随机过程)(tx的功率密度谱为)( f00N)()(
20、BfBf试求)(ty)(2tx的功率密度谱和自相关函数。解：根据题意可知)(xxBN2sin0)0(xx02BN2x又)(txE0，)(2txE)(txD)(2txE2x02BN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - )(2ts1)(4txEdxexxx2224243x)0(yy20)2(2BN)(yy2204sin2BN)( fydeBNfj 22204sin2202N4-17试对图4-2-1（a）中的信号按)(4ts，)(3ts，
21、)(1ts的次序进行格拉姆-施密特（GramSchmidt）正交化，得到标准正交函数集)(tfm。试利用标准正交函数集)(tfm将信号)(tsm表示为向量形式，并求各向量的能量。图 4-2-1（a）)(1ts13s10 2 3tt)(2ts1-10 2)(4ts-10 tt0 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 解：)(4ts的能量为1dtts)(24302) 1(dt3)(1tf14)(ts33，30t)(1tf在)(3ts投
22、影为12cdttfts)()(13dt1)33(20+32)1()33(dt=33)(2tf)(3ts12c)(1tf343232,20 ,tt)(2tf的能量为2dttf)(2438)(2tf22)(tf366632,20,tt)(1tf在)(1ts投影为13cdttfts)()(11332)(2tf在)(1ts投影为23cdttfts)()(2136)(3tf)(1ts13c)(1tf23c)(2tf0)(1ts是)(1tf，)(2tf的线性组合)(3tf0信号空间为2 且4s0,3，433s362,33，334s36,332，324-18如图 P4-18所示，由)(1tf，)(2tf标准
23、正交基函数， 试求 4 个信号)(tsk)4,3 ,2, 1(k的信号空间表示形式。画出信号空间图，并证明这种信号集等价于四相PSK信号集。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 图 P4-18（1）解：)(tsk)4, 3 ,2, 1(k的信号空间表示式为1r2011)()(dttfts2021)()(dttfts02r2012)()(dttfts2022)()(dttfts03r2013)()(dttfts2023)()(dttf
24、ts04r2014)()(dttfts2024)()(dttfts0信号空间为（2）证明：由题可得)(tsk)4, 3, 2, 1(k的能量分别为11021)(dtts，21022)(dtts31023)( dtts，41024)(dtts1234g21即g20 1 2 0 1 2 0 1 2 0 10 10 1)(5ts)(6ts)(4ts)(3ts)(2ts)(1ts1s1s2s2s精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 又)(t
25、sm)(11tfsm)(22tfsm)(1tf)(2tgtfc2cos，)(2tf)(2tgtfc2sinms1(ms，)2ms)1(42cos2mg)1(42sin2mgm()4, 3,2, 1可知当nm1时mindnmss)42cos1(gg此信号集与四PSK信号集等价。第五章加性高斯白噪声信道的最佳接收机5-2有一个信号为：)(ts02cos)(tftTAc）（ 其他)0(Tt（a）试求该信号的匹配滤波器的冲激响应。（b）试求在tT时刻匹配滤波器的输出。（c）设信号)(ts通过一个相关器，它将输入)(ts和)(ts进行相关运算。试求tT时刻相关器的输出值。试与（b）中的结果相比较。解：
26、（a）由匹配滤波器的定义可知，其冲激响应即为)(th)(tTs0)(2cos)(tTftTTAc）（ 其他)0(Tt（b） 匹配滤波器的输出为)(tyTdtTss0)()(在tT时刻的输出为)(TyTds02)(TcdfTA022222cosTffAcc4sin82TfTfAcc4cos16222TfTfAcc4sin642332TA62（c） 由题可知，信号通过相关器，即，信号进行自相关。)(tytds02)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - -
27、 - - - - )(TyTds02)(显然与（ b）相同。5-6有一个等效低通（复值）信号)(tsl，Tt0，其能量为Tldtts02)(21假设该信号受到AWGN的恶化，其等效低通形式为)(tz，则观察到的信号为：)(trl)(tsl)(tz，Tt0该接收信号通过一个（等效低通）冲激响应为)(thl的滤波器。试求)(thl，要求（在tT时刻）使输出SNR最大。解： 当信号受到AWGN 影响时， 具有匹配于)(tsl的冲激响应的滤波器使输出SNR最大。)(thl)(tTsl且在在tT时刻输出 SNR最大maxSNR04N5-10三元通信系统在每个T秒内传输下列三个信号之一：)(ts，0，)(
28、ts，则接收信号为)(trl)(ts)(tz，)(trl)(tz，或)(trl)(tsl)(tz，其中)(tz为高斯白噪声，)(tzE0，)(zz)()(21zzE)(0tN。最佳接收机计算以下相关度量U)()(Re0Tdttstr将U与门限A和门限A相比较。若UA,则判发送)(ts，若UA，则判发送)(ts,若AUA时则判为)(1ts其 PDF为)|(1srp2)(exp21020NrN当 ArA时则判为)(2ts其 PDF为)|(2srp2exp21020NrN当rA时则判为)(3ts其 PDF为)|(3srp2)(exp21020NrN输入为)(ts时的错误概率为)|(1sepAdrsr
29、p)|(1AdrNrN2)(exp2102002exp212NAdxx0NAQ输入为0时的错误概率为)|(2sepAdrsrp)|(2Adrsrp)|(2AdrNrN2exp21020AdrNrN2exp2102002exp212NAdxx02exp212NAdxx022NAQ输入为)(ts时的错误概率为)|(3sepAdrsrp)|(3AdrNrN2)(exp2102002exp212NAdxx0NAQ（b） 若先验等概，则)(tsp)0(p)(tsp31其平均错误概率为eP31)|(1sep31)|(2sep31)|(3sep310NAQ32320NAQ+310NAQ精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 3210NAQ0NAQ（I）（d）要求最小时的A值，可对（ I）式两边对A 进行微分可得dAdPe3210NAQ0NAQ322)(exp2102NA2exp2102NA02A即当2A时eP最小。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -