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1、第 6 章参数估计选择题1 设nXXX,.,21是来自正态总体X 的简单随机样本， X 的分布函数F(x;)中含未知参数，则（A）用矩估计法和最大似然估计法求出的的估计量相同(B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的的估计量不同（C）用矩估计法和最大似然估计法求出的的估计量不一定相同(D) 用最大似然估计法求出的的估计量是唯一的2设nXXX,.,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX= ， DX=2，其中，2均为未知参数，X1?，12?X，下面结论哪个是错误的。（A）X1?是的无偏估计(B) 12?X是的无偏估计（C）X1?比12?X有效(D) niiXn12)(1是2的最大似然估计量3设n
2、XXX,.,21是来自正态分布总体N(,2)的简单随机样本，其中数学期望已知，则总体方差2的最大似然估计量是（A）niiXXn12)(11(B) niiXXn12)(1（C）niiXn12)(11(D) niiXn12)(14已知总体X 在区间 0,上均匀分布，其中是未知参数，设nXXX,.,21是来自 X 的简单随机样本，X是样本均值，,.,max1)(nnXXX是最大观测值，则下列选项错误的是（A）)(nX是的最大似然估计量(B) )(nX是的无偏估计量（C）X2是的矩估计量(D) X2是的无偏估计量5 设总体XN(1,2)，总体 YN(2,2)，mXXX,.,21和nYYY,.,21分别
3、是来自总体X和 Y的简单随机样本，样本方差分别为2XS与2YS，则2的无偏估计量是（A）22YXSS(B) 22)1()1(YXSnSm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （C）222nmSSYX(D) 2)1()1(22nmSnSmYX6 设X是从总体 X中取出的简单随机样本nXXX,.,21的样本均值，则X是的矩估计，如果（A）XN(,2) (B) X 服从参数为的指数分布（C）P（X=m）=(1-)m-1，m=1,2,(D) X
4、服从 0,上的均匀分布填空题1假设总体X 服从参数为的泊松分布，nXXX,.,21是取自总体X 的简单随机样本，其均值、方差分别为X，S2 ，如果2)32(?SaXa为的无偏估计，则a= 。2已知1?、2?为未知参数的两个无偏估计，且1?与2?不相关，21?4?DD，如果213?ba也是的无偏估计，且是1?、2?所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差的，则 a= ，b= 。3设总体 X 的概率密度为其它，,0, 10,)1 ()(1xxxf则的矩估计量为。4设nXXX,.,21是取自总体X 的简单随机样本，且EX= ， DX=2，其均值、方差分别为X，S2 ，则当 c= 时，22)(cSX是2
5、的无偏估计。5设nXXX,.,21是取自总体X 的简单随机样本，且EX= ， DX=2，212)(XbXanii的数学期望等于2，则 a= ，b= 。解答题1设总体 X的概率密度为其它，,0, 10,) 1()(xxxf其中 -1 是未知参数， X1,X2,Xn是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量。2 设某种元件的使用寿命X的概率密度为其它，, 0,2)()(2xexfx其中 0 是未知参数，x1,x2, ,xn是来自总体X 的一组样本观测值，求的最大似然估计量。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下
6、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 3. 设总体 X的概率分布为X0123P22(1-)21-2其中（ 00) 为未知参数。自一批这种器件中随取n 件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为nXXX,.,21，求，的最大似然估计量。5设总体X 的概率密度为其它，, 0,);()(xexfx为未知参数，nXXX,.,21为取自X的一个样本， 证明：1?1X，nXXn1,.,min?12是的两个无偏估计量，并比较哪个更有效。6 设 总 体X 的 概 率 密 度 为其它，,0,0),(6);(3xxxxf 为 未 知 参 数
7、 ，nXXX,.,21为取自 X的一个样本，（1）求的矩估计量?； （2）求?的方差?D； （3）讨论?的无偏性。7某人作独立重复射击，每次击中目标的概率为p，他在第X次射击时，首次击中目标。（1）试写出 X的分布律；（2）以此 X为总体，从中抽取简单随机样本nXXX,.,21，试求未知参数p 的矩估计量和最大似然估计量。8设从均值为，方差为2的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，样本均值分别为X和Y。试证：对于任意满足条件a+b=1 的常数 a 和 b，YbXaT是的无偏估计量，并确定a，b，使得方差DT达到最小。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
8、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 参 考 答 案选择题1C 2D 3C 4 B 5D 6 A填空题11/2 2 ，31/1?X41/n 5 1/(n-1) ，-n/(n-1)解答题1 解： （1）21) 1(10dxxxEX， 所以令XEX， 解得的矩估计量XX112?；（2）似然函数为,)() 1();()(11niinniixxfL其对数似然函数为),ln()1ln();()(ln11niiniixnxfL考虑0ln1)(ln1niixndLd，解得niixn1ln1?；于是的最大似然估计量为n
9、iiXn1ln1?。2解：似然函数为其它，,0,.,1,2);()()(211nixexfLinxnniinii其它，, 0,),.,min(,2)(1221nnxnxxeLnii由上面形式可得,.,min?1nxx时，似然函数达到最大值，于是的最大似然估计量为,.,min?1nXX。3解： （1）43EX，所以令2xEX，解得的矩估计值41?；（2）似然函数为,)21()1 (4)21 ()1 (2)(4264222L其对数似然函数为),21ln(4)1ln(2ln64ln)(ln L考虑0218126)(lndLd，解得)137(121?。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
10、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 4解：似然函数为其它，,0,.,1,1),;(),(11nixexfLinxnniinii其对数似然函数为其它，,0,.,min,1ln),(ln11nniixxnxnL由上面形式可得,.,min?1nxx时， lnL 达到最大值。同时，考虑01),(ln12nxnLnii，解得?x；于是，的最大似然估计量为,.,min?1nXX；,.,min?1nXXX。5证明：1)(dxxeEXx，222)(22dxexEXx，DX=1，于是111?1XEE，
11、即1?1X为的无偏估计量；令,.,min1)1(nXXX，则 X(1) 的概率密度为其它，, 0,)()()1(xnexfxn从而ndxxneEXxn1)()1(，所以nXXn1,.,min?12也为的无偏估计量；又nXDD1?1，22)1(2)1()1(21)(?nEXEXDXD，当 n1 时nXXn1,.,min?12比1?1X更有效。6解： （1）21)(603dxxxxEX，所以令XEX，解得的矩估计量X2?；（2）20322103)(6dxxxxEX，222201)(EXEXDX，故2514?nXDD；（3）由于XEE2?，即?为的无偏估计量。7解： （1）X 的分布律为： P(X=
12、x)=p(1-p)x-1，x=1,2,(2)p 的矩估计量： EX=1 /p，令XEX，解得Xp1?；p的 最 大 似 然 估 计 量 ：nxnipppL)1()(， 从 而 对 数 似 然 函 数 为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - )1ln()(ln)(lnpnxpnpLi，令0)(lnppL，解得Xp1?。8证明：)(baYbEXaEET，从而YbXaT是的无偏估计量，由于是222122221222)1 ()(nananbnaYDbXDaDT利用一元函数的微分法，得到其最小值点为211nnna，212nnnb。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -