《2022年概率论与数理统计知识点总复习.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年概率论与数理统计知识点总复习.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!nmmPnm从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!( !nmnmCnm从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 (2) 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成， 第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。(3) 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m n 种方法来完成。(4) 一些常见排列 特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨
2、重复排列和非重复排列（有序） 对立事件 顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（2）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生） ：BA如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而
3、B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=?，则表示A 与 B 不可能同时发生，称事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A (BC)=(AB)C 分配率： (AB) C=(AC)(BC) (A B)C=(AC)(BC) 德摩根率：11iiiiAABABA，BABA3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A) ，若满足下列三个条件：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
4、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 1 0P(A) 1，2 P( ) =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A的概率。（2）古典概型（等可能概型）1n21,，2 nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有P(A)=)()()(21m =)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)
5、+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时， P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时，P(B)=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式定义 设 A、B 是两个事件，且P(A)0 ，则称)()(APABP为事件 A 发生条件下，事件B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2， An，若 P(A1A2An-1)
6、0 ，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（4）全概公式设事件nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容，),2, 1(0)(niBPi，2niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。此公式即为全概率公式。（5）贝叶斯公式设事件1B，2B，nB及A满足11B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2niiBA1，0)(AP，则njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1 ，2， n。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
7、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此公式即为贝叶斯公式。)(iBP， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)/(ABPi， （1i，2，n） ，通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的 “结果”，而1B，2B，nB理解为“原因” ，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。5、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A、B相互独立，且0)(AP
8、，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立， 则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件和不可能事件? 与任何事件都相互独立。 （证明）同时，? 与任何事件都互斥。（2）多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。两两互斥互相互斥。两两独立互相独立？（3）伯努利试验定义
9、我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率， 则A发生的概率为qp1， 用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2, 1 ,0。随机变量及其分布第一节基本概念在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A) 这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数
10、字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是)(XX，当反面出现，当正面出现01称X为随机变量。 又由于X是随着试验结果 （基本事件） 不同而变化的， 所以X实际上是基本事件的函数，即X=X() 。同时事件A 包含了一定量的 （例如古典概型中 A包含了 1，2， m，共 m个基本事件），于是 P(A) 可以由 P(X( ) 来计算，这是一个普通函数。定义设试验的样本空间为， 如果对中每个事件都有唯一的实数值X=X()与之对应，则称X=X() 为随机变量，简记
11、为X。有了随机变量， 就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区
12、间，这称为连续型随机变量。1、随机变量的分布函数（1）离散型随机变量的分布率设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,) 且取各个值的概率，即事件(X=Xk) 的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2, ，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2, 1k，（2）11kkp。（2）分布函数对于非离散型随机变量，通常有0)(xXP，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X，0)(0 xXP。所以我们考虑用X落在某个区间,(ba内的概率表示。定义设X为随机变量，x是任意实数，
13、则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数。)()()(aFbFbXaP可以得到X 落入区间,(ba的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。分布函数)(xF是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（， x 内的概率。)(xF的图形是阶梯图形，,21xx是第一类间断点， 随机变量X在kx处的概率就是)(xF在kx处的跃度。分布函数具有如下性质：1, 1)(0 xFx；2)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；30)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5)0()()(xFxFxXP。
14、（3）连续型随机变量的密度函数定义 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 密度。)(xf的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数。所以，)()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPx
15、XxP密度函数具有下面4 个性质：10)(xf。21)(dxxf。1)()(dxxfF的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于 1。如果一个函数)(xf满足 1 、2 ，则它一定是某个随机变量的密度函数。3)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf。4 若)(xf在x处连续，则有)()(xfxF。dxxfdxxXxP)()(它在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。)(),(,独立性古典概型，五大公式，APAE)()()()(xXPxFxXX对于连续型随机变量X，虽然有0)(xXP，但事件)(xX并非是不可能事件 ? 。
16、hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令0h，则右端为零，而概率0)(xXP，故得0)(xXP。不可能事件（ ? ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（ ）的概率为1，而概率为1 的事件也不一定是必然事件。2、常见分布01 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2, 1 ,0。knkknnqpkPkXPC)()(，其中nkppq,2, 1 ,0, 10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(pnBX。nknkknnnnnpqpqpnpq
17、qkXPXCC,|)(2221容易验证，满足离散型分布率的条件。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为ekkXPk!)(，0，2, 1 , 0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P() 。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、
18、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。超几何分布),min(,2, 1 ,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM随机变量 X服从参数为n,N,M 的超几何分布。几何分布, 3 ,2, 1,)(1kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。随机变量 X服从参数为p 的几何分布。均匀分布设随机变量X的值只落在 a ，b 内，其密度函数)(xf在a ，b 上为常数 k，即,0,)(kxf其他，其中 k=ab1，则称随机变量X在a ，b 上服从均匀分布，记为XU(a，b)。分布函数为xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时， X落在区间
19、（21,xx）内的概率为P(21211)()21xxxxabdxxfxXxabxxdx12。指数分布设随机变量X的密度函数为其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为记住几个积分：, 10dxxex,202dxexx)!1(01ndxexxn01)(dxexx，)()1(0，xb。a xb)(xf,xe0 x, 0, 0 x, )(xF,1xe0 x, ,0 x0。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 正态分布设随机变
20、量X的密度函数为222)(21)(xexf，x，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（ Gauss）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于x对称的；2 当x时，21)(f为最大值；3 )(xf以ox轴为渐近线。特别当固定、改变时，)(xf的图形形状不变，只是集体沿ox轴平行移动，所以又称为位置参数。当固定、改变时，)(xf的图形形状要发生变化，随变大，)(xf图形的形状变得平坦，所以又称为形状参数。若),(2NX，则X的分布函数为dtexFxt222)(21)(。 。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为)1 ,0( NX，其密度函数
21、记为2221)(xex，x，分布函数为dtexxt2221)(。)(x是不可求积函数， 其函数值， 已编制成表可供查用。(x) 和 (x) 的性质如下：1 (x) 是偶函数， (x) (-x) ；2 当 x=0 时， (x) 21为最大值；3 (-x) 1- (x) 且 (0) 21。如果X),(2N，则X)1 ,0(N。所以我们可以通过变换将)(xF的计算转化为)(x的计算，而)(x的值是可以通过查表得到的。1221)(xxxXxP。分位数的定义。3、随机变量函数的分布随机变量Y是随机变量X的函数)(XgY，若X的分布函数)(xFX或密度函数)(xfX知道，则如何求出)(XgY的分布函数)(
22、yFY或密度函数)(yfY。（1）X是离散型随机变量已知X的分布列为,)(2121nnipppxxxxXPX，显然，)(XgY的取值只可能是),(,),(),(21nxgxgxg，若)(ixg互不相等，则Y的分布列如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - ,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，则应将对应的iP相加作为)(ixg的概率。（2）X是连续型随机变量先利用 X 的概率密度
23、 fX(x) 写出 Y 的分布函数 FY(y) ， 再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y) 。二维随机变量及其分布第一节基本概念1、二维随机变量的基本概念（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y ）时，则称为离散型随机量。理解： （X=x,Y=y）（ X=xY=y）设= （ X， Y） 的 所 有 可 能 取 值 为), 2, 1,)(,(jiyxji， 且 事 件=),(jiyx 的概率为pij, 称),2, 1,(),(),(jipyxYXPijji为=（X，Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律。联合分布有
24、时也用下面的概率分布表来表示： Y Xy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1 这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,） ；（2）.1ijijp对于随机向量（ X，Y） ，称其分量X（或 Y）的分布为（ X，Y）的关于 X（或 Y）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了X为离散型，并且其联合分布律为),2 , 1,(),(),(jipyxYXPijji，则 X 的边缘分布为), 2, 1,()(jipxXPPijjii；Y的边缘分布为), 2, 1,()(jipyYPPijiii。（2）二维连续型随机向量联合
25、分布密度及边缘分布对于二维随机向量),(YX，如果存在非负函数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D=(X,Y)|axb,cyx1时，有 F（x2,y ） F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF2、随机变量的独立性（1）一般型随机变量F(X,Y)=FX(x)FY(y) （2）离散型随机变量jiijppp例 35：二维随机向量 （X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：
26、（1，-1） ， （2，-1 ） ，（2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（ X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为D3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - Y X -1 0 1 2 p11 610 0 0 612 61610 61213 0 0 616131pj316161311 （3）连续型随机变量f(x,y)=fX(x)fY(y) 联合分布边缘分布f(x,y)=fX(x)fY(y
27、) 直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形例 36：如图 3.1 ，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不独立。例 37：f(x,y)=其他,010 ,20 ,2yxAxy（4）二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf=0 （5）随机变量函数的独立性若 X 与 Y 独立， h,g 为连续函数，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X与 Y独立，则： 3X+1和 5Y-2 独立。3、简单函数的分布两个随机变量的和Z=X+Y 离散型：连续型fZ(z) dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布
28、（222121,） 。2、随机变量的独立性例 317：设（ X，Y）的联合分布密度为.,0,10),(),(其他xyyxCyxf（1）求 C；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （2）求 X，Y 的边缘分布；（3）讨论 X 与 Y 的独立性；（4）计算 P（X+Y 1） 。3、简单函数的分布随机变量的数字特征第一节基本概念1、一维随机变量的数字特征（1）一维随机变量及其函数的期望设 X 是离散型随机变量，其分布律为P(kxX)pk
29、，k=1,2,n，nkkkpxXE1)(期望就是平均值。数学期望的性质（1）E(C)=C （2）E(CX)=CE(X) （3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，niniiiiiXECXCE11)()(（4）E(XY)=E(X) E(Y) ，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关。（5）Y=g(X) 离散：nikkpxgYE1)()(连续：dxxxfXE)()(dxxfxgYE)()()(（2）方差D(X)=EX-E(X)2，方差)()(XDX，标准差离散型随机变量kkkpXExXD2)()(连续型随机变量dxxfXExXD)()()(2方差的性质（1）D(C)=0 ；E(
30、C)=C （2）D(aX)=a2D(X) ；E(aX)=aE(X) （3）D(aX+b)= a2D(X) ；E(aX+b)=aE(X)+b （4）D(X)=E(X2)-E2(X) （5）D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关。D(X Y)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。类似的， n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布),(2N。iiiC，iiiC222（3）常见分布的数学期望和方差精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
31、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 分布名称符号均值方差0-1 分布), 1(pBp )1(pp二项分布),(pnBnp )1(pnp泊松分布)(P几何分布)( pGp121pp超几何分布),(NMnHNnM11NnNNMNnM均匀分布),(baU2ba12)(2ab指数分布)(e121正态分布),(2N201 分布X 0 1 q p E(X)=p，D(X)=pq 二项分布 X B(n,p) ，knkknnqpCkP)(， （k=0,1,2 n）E(X)=np ，D(X)=npq 泊松分布 P(
32、) P(X=k)=! kexk，k=0,1,2 E(X)= ， D(X)= 超几何分布nNknMNkMCCCkXP)(E(X)=NnM几何分布1)(kpqkXP，k=0,1,2 E(X)=p1， D(X)=2pq均匀分布 X Ua,b ，f(x)=ab1，a, b E(X)=2ba， D(X)=12)(2ab指数分布 f(x)= xe，(x0)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - E(X)=1， D(X)=21正态分布 X N(,
33、2)，222)(21)(xexfE(X)=， D(X)= 2 2、二维随机变量的数字特征（1）协方差和相关系数对于随机变量X与 Y，称它们的二阶混合中心矩11为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为),cov(YXXY或，即).()(11YEYXEXEXY与记号XY相对应， X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为XX与YY。协方差有下面几个性质：(i)cov (X, Y)=cov (Y , X); (ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii)cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv)cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(
34、E(Y). 对于随机变量X与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0 ，则称)()(YDXDXY为 X与 Y 的相关系数，记作XY（有时可简记为） 。| 1，当 |=1 时，称 X与 Y安全相关：完全相关时，负相关，当时，正相关，当11而当0时，称 X 与 Y 不相关。与相关系数有关的几个重要结论（i ）若随机变量X与 Y相互独立，则0XY；反之不真。（ii ）若（ X，Y） N（,222121） ，则 X与 Y相互独立的充要条件是0，即 X和 Y不相关。（iii）以下五个命题是等价的：0XY；cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)
35、=D(X)+D(Y). （2）二维随机变量函数的期望为连续型。，为离散型；，),(),(),(),(),(),(YXdxdyyxfyxGYXpyxGYXGEijijji精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （3）原点矩和中心矩对于正整数k，称随机变量X的 k 次幂的数学期望为X的 k 阶原点矩，记为vk, 即uk=E(Xk), k=1,2, . 于是，我们有.,)(续型时为连当为离散型时，当XdxxpxXpxukiikik对于正整数
36、k，称随机变量X与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为X 的 k 阶中心矩，记为k，即.,2 , 1,)(kXEXEkk于是，我们有.,)()()(续型时为连当为离散型时，当XdxxpXExXpXExukiikik对于随机变量X 与 Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为X 与 Y的k+l阶混合原点矩，记为klu，即).()(YEYXEXEukkl大数定律和中心极限定理第一节基本概念1、切比雪夫不等式设随机变量X 具有数学期望E （X）=，方差 D（X ）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式22)( XP切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率)( XP的一种估计，它在理论上有
37、重要意义。2、大数定律（1）切比雪夫大数定律（要求方差有界）设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C 所界： D（Xi）C(i=1,2,), 则对于任意的正数，有. 1)(11lim11niiniinXEnXnP特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则上式成为.11lim1niinXnP或者简写成：.1limXPn切比雪夫大数定律指出，n 个相互独立， 且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n 很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -
38、- - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （2）伯努利大数定律设是 n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有.1limpnPn伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即.0limpnPn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。（3）辛钦大数定律（不要求存在方差）设 X1，X2， Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=，则对于任意的正数 有. 11lim1niinXnP3、中心极限定理（1）列维林德伯格定理设随机变量X1， X2
39、，相互独立， 服从同一分布， 且具有相同的数学期望和方差：), 2, 1(0)(,)(2kXDXEkk，则随机变量nnXYnkkn1的分布函数Fn(x) 对任意的实数x，有xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212或者简写成：) 1 , 0(/NnXn此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。（2）棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量X1， Xn均为具有参数n, p(0p2) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （3
40、）F 分布设)(),(2212nYnX，且 X 与 Y 独立，可以证明：21/nYnXF的概率密度函数为.0, 0,0,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn我们称随机变量F 服从第一个自由度为n1， 第二个自由度为n2的 F分布， 记为 Ff(n1, n2). 正态分布1，)()(1ntnt，),(1),(12211nnFnnF4、正态总体下统计量的分布和性质注意一个定理：X与2S独立。（1）正态分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1 ,0(/Nnxudef（2）t-分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个
41、样本，则样本函数),1(/ntnSxtdef其中 t(n-1)表示自由度为n-1 的 t 分布。（3）2分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1()1(222nSnwdef其中) 1(2n表示自由度为n-1 的2分布。（4）F 分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1, 1(/2122222121nnFSSFdef其中精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页
42、- - - - - - - - - - ,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS) 1, 1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的 F 分布。第七章参数估计第一节基本概念1、点估计的两种方法（1）矩法所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。设总体X 的分布中包含有未知数m,21，则其分布函数可以表成).,;(21mxF显示它的k 阶原点矩), 2, 1)(mkXEvkk中也包 含 了 未 知 参 数m,21， 即),(21mkkvv。 又 设nxxx,21为总体 X 的 n 个样本值，其样本的k 阶原点矩为nikikxnv11).,2 , 1(mk这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(由 上 面 的m 个 方 程 中 ， 解 出 的m 个 未 知 参 数),(21m即 为 参 数（m,21）的矩估计量。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -