《复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性(共9页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性(共9页).doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上复习专题5-抽象函数的周期性与对称性不务正业收集、整理、点评知识点梳理一、 抽象函数的对称性证明：设P为函数f(x) 上的任意一点，设P(x , y)，则它关于直线的对称点P(a+b-x , y)，因为：，令x=x-a得：f(x)=f(a+b-x)，所以点P(a+b-x,y)也是函数f(x)上的点，所以函数的图象关于直线对称。定理1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。（记忆：如果有：f(a+x）=f(a-x)，显然f(x)关于直线x=a对称) 推论1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图像关于直线对称。推论2. 若函数定义域为，且满足条件
2、：),则函数的图像关于直线对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程推论3. 若函数定义域为，且满足条件：， 又若方程有个根，则此个根的和为。证明：由推论1知：函数的图象关于直线对称，如果方程有奇数个根，即有2k+1个根（此时，n=2k+1），那么，必有一个根在对称轴上，即x=a是方程的一个根，剩下的2k个根关于对称，共有K组对称根，这K组对称根的和为2a*k2ka，所以所有的根和为（2k+1）a=na；如果方程有偶数个根，设为2k1个根（此时，n=2k1），这2k1个根必关于对称，所以和必为：2a*k1=na.定理2. 若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数
3、的图象关于点对称。先证推论1，再来证图象关于点对称，呵呵推论1. 若函数定义域为,且满足条件：成立，则 的图象关于点对称。由定理1知：如果函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称，又f(b-x)与-f(b-x)关于x轴对称，所以，必有f (a+x) =-f (b-x)关于对称。推论2.若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，则这个函数一定是对称函数，要么关于线对称，要么关于点对称。定理3.若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。（注意：这个是两个
4、函数的对称问题）设g(x)=f(a+x)，h(x)=f(b-x)，则g(x)与h(x)如果对称，则对称轴必在它们的交点上，由得它们的交点为，所以。g(x)与f(x) 两函数的图象关于直线对称。推论1. 函数与函数的图象关于直线对称。推论2. 函数与函数的图象关于直线对称。定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。推论. 函数与函数图象关于点对称。证明方法同定理3总结：x的系数一个为1，一个为-1，则g(x)与h(x) 设g(x)=f(a+x)，h(x)=f(b-x)关于直线对称总结：从总体讲：只要满足x前的系数和为0，且满足f(a+x)=c+f(b-x)的形式，则这个函数一定是对称
5、的。一个是线对称，一个是点对称。在这里要注意与两个函数对称问题的区别。设g(x)=f(a+x)，h(x)=f(b-x)，则g(x)与h(x) 关于直线对称（注：x的系数和为0，不一定非要一个是1，一个是-1，只要系数互为相反数就行了，如f(a+2x)=f(b-2x),令x=2X,则函数变成f(a+X)=f(b-X)，那么，以X为自变量，则此函数一定关于直线对称，再换回X2x，即关于对称，同样的道理，如果是两个不同的函数，也有相对应的关系）、函数定义域为，如果有f(a+x)=f(b-x)，则函数的图象关于直线对称，对称轴为：。、函数定义域为，如果有f(a+x)=-f(b-x)，则函数的图象关于点
6、对称，对称点为：()。、函数定义域为，如果有f(a+x)=c-f(b-x)，则函数的图象关于点对称，对称点为：对于两个函数对称的问题，分析方法同上，也同样存在线对称与点对称的问题。注意此时点也好，线也好，全变为：二、抽象函数的周期性定理5.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。（当然f(x+a）=f(x+b) 则T=a-b是它的一个周期。)证明：令x=x+b，因为，所以f(x)=fx+(a+b)，所以则是以为周期的周期函数。推论1.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。证明思路与定理5一样。、令x=x-a得，f(x)= -fx-(a+b) 、令x= x+b得，f
7、(x)= -fx+(a+b) 由得：fx-(a+b) = fx+(a+b) 由定理5得：是以为周期的周期函数。推论2.若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。证明思路与定理5推论1一样。令x=x-a，得：f(x)=，即：，又，所以，由定理5得，则是以为周期的周期函数。由经整理得到f(x)表达式，然后再利用推论2的证法。证明：因为： 令x=x-a得：f(x)= 由得（对进行变形） 由得：f(x+a)*f(x-a)=-1 即：，令x=x+a得：f(x+2a)=由推论2得：则是以为周期的周期函数。推论3. 若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。总结：从总体讲：对于形如：；等等（多留心，多长个“心眼
8、”就是了，呵呵），只要满足x前的系数相同，则这个函数可能就是周期函数。定理7.若函数的图象关于直线 与 对称，则是以为周期的周期函数。（即我们通常所说，相邻两个对称轴之间的距离是周期的一半，实际上只是它的若干个周期中的一个。）定理8.若函数的图象关于点与点 对称，则是以为周期的周期函数。定理9.若函数的图象关于直线与 点，则是以为周期的周期函数。总结：x的系数同为为1，具有周期性。总结：从总体讲：只要f(x)满足:关于某两条直线对称；关于某两点对称；关于一条直线与一个点对称。则这个函数一定是周期函数。例题讲解：题型一、抽象函数的对称轴1、若函数对一切实数都有f (2x) = f (2x)则（
9、）A.f (2)f (1) f(4)B.f (1)f (2) f(4)C.f (2)f (4) f(1)D.f (4)f (2) f(1)2、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x1)与y= f (1x)的图象关于（ ）对称。A.直线y=0B.直线 x=0C.直线 y=1D.直线 x=1题型二、抽象函数的对称中心1、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C可能为0D可正可负2、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线x5对称B关于直线x1对称C关于点（5，0
10、）对称D关于点（1，0）对称题型三、抽象函数的周期性1、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x1对称，证明f(x)是周期函数。2、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（ ）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数课后作业：姓名： 班级 座号 1、换题2、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数 C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数3、
11、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0B.C.1D. 4、已知，则（ ）.A.B. C. D.3 5、ABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( )A.1B.C.D.06、在数列则= 7、定义域为R，且对任意都有，若则= 8、已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)
12、= 9、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 10、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _11、设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.参考答案：题型一、抽象函数的对称轴1、若函数对一切实数都有f (2x) = f (2x)则（ ）A.f (2)f (1) f(4)B.f (1)f (2) f(4)C.f (2)f (4) f(1)D.f (4)f (2) f(1)答案：A。2、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x1)与y= f (1
13、x)的图象关于（ ）对称。A.直线y=0B.直线 x=0C.直线 y=1D.直线 x=1答案：D。由题型二、抽象函数的对称中心1、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C可能为0D可正可负答案A。分析：图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，所以，又由，有，2、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线x5对称B关于直线x1对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称答案：D。解：据复合函数的
14、对称性知函数yf(x4)与yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。题型三、抽象函数的周期性1、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x1对称，证明f(x)是周期函数。证明：任取函数图象上一点，即由是偶函数得也在函数的图象上，由因为函数的图象关于x1对称，点也在函数的图象上，即，由此可得，所以函数的周期为2。2、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（ ）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数答案：C。课后作业：姓名： 班级 座号 1、换题2、定义在R
15、上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数 C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数答案：A.解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。3、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0B.C.1D. 答案：A。解析：令，则；令，则由得，构
16、造函数，由，所以4、已知，则（ ）.A.B. C. D.3 答案：A。分析：由，知，.为迭代周期函数，故，.5、ABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( )A.1B.C.D.0答案：B.解：依条件列出白蚁的路线立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不
17、难计算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在C点，故所求距离是6、在数列则= 答案：。7、定义域为R，且对任意都有，若则=_答案：。8、已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)= 答案：2.9、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 答案：0.函数关于和对称，周期为4。10、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _解：f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.311、设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.解：设时，有 是以2 为周期的函数，.专心-专注-专业