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1、目 录第一章 函数. 1第二章 极限与连续. 3自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料第三章 导数与微分. 5第四章 微分中值定理和导数的应用.6第四章 微分中值定理和导数的应用.7第六章 多元函数微积分. 9第一章 函数知识点 名称内容一元二次方程若记一元二次方程的两个根分别为x1 , x2 ，则有 a ， a . b i b i x1 2 两个不同的实根 1,2 2a ； b ax2 bx c 0 x b 2 b2 4ac未知量x 满足的形如ax2 bx c 0 a 0 的方程称为一元二次方程， b2 4ac 称为此方程的判别式.由 2a 4a2 可知：当 0 时，方程
2、有 x b当 0 时，方程有一个二重实根 , 2a ；当 0 时，方程有一对共轭虚根 x 2a ， x 2a .自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料 x1 x2 b x1x2 c韦达定 理（简单计算题）1 2b1 2若记一元二次方程的两个根分别为x1,x2 ，则有：x x acx x a二元一次方程 组 两个未知函数x, y 满足 的方程组称为二元一次方程组.两直线位置关系：a b1 1当 a2 b2 时，方程组有唯一解，两直线相交；a b c1 1 1当 a2 b2 c2 时，方程组无解，两直线平行；a b c1 1 1当 a2 b2 c2 时，方程组有无穷多解，两直线
3、重合.集合A与B 的交集（AB ）A 与B 的并集（ AB）B 在A 中的余集 ABx | x A且x Bx | x A或x Bx | x A当x B一些逻辑符号设p, q 是两个判断，若（1） p 成立可断定q 也成立，则称p 能推出q 或说p 蕴含q ，记作p q ；（2） p q 成立，则称p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件；（3） p q 和q p 同时成立，则称p 与q 等价或互为的充分必要条件，记作p q1隐函数的定义由变量x, y 满足的方程确定的函数y f x称为隐函数.函数图形的概 念函数y f x , x D 的图形指的是xOy平面上的点集 x, y | y f
4、x , x D周期函数设函数f x 的定义域为R ，若存在正数T 0 ，使得对任意的x R 都有f x T f x ， 则称f x是一个周期函数，T 称为函数f x的周期.一般说的周期指的是最小正周期.反三角函数 y arcsin x 是y sin x 在区间 , 上的反函数，定义域为 1,1 ，值域为 , ，在定义 域上单调增加； 反余弦函数y arccos x 的定义域为 1,1 ，值域为 0, ；反正切函数y arctan x 的定义域为 , ，值域为 2 , 2 ；反余切函数y arc cot x 的定义域为 , ， 值域为 0, .设函数：D （D）是单射，则它存在逆映射（： D）
5、D ，称此映射为直接函数 f 的反函数。但需要注意两点：直接函数的单值性无法保证其反函数的单值性，但如果是单调函数那么可以保证其单值性，且单调函数的反函数具有一样的单调性。只有 = 在坐标系中的图像才与 = 关于直线 y = 对称， = （y）与 y = 图像重合。指数函数axbx ab x a0 1 a a x， ， ， ，1ax ay axy ax y axy x .对数函数log a a 1 loga 1 0， .loga xy loga x loga y，log a x r r log a x，log a x log a x log a yy，log x logb xa logb a基
6、本初等函数= c（ c 为常数） xa（ a R 为常数）x= a = log(a) x常见的六类函数： 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基 本初等函数.（1） 常数函数 y（2） 幂函数 y =（3） 指数函数y（4） 对数函数y（5） 三角函数：主要有以下 6 个：正弦函数y =sin x； 余弦函数 y =cos x； 正切函数y =tan x余切函数y =cot x； 正割函数 y =sec x； 余割函数 y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。（6） 反三角函数：主要有以下 6 个：2反正弦函数 y = arcsin x； 反余弦函数 y
7、 = arccos x； 反正切函数y = arctan x反余切函数 y = arccot x； 反正割函数 y = arcsec x； 反余割函数 y = arccsc x四则运算ux v ux vx xux vxux vxuxvx dux vx duxvx uxdux dvxdvx vx duxdu u dx u dy u dzx y zx yvxdux uxdvx vx 0 uxvx ux vx vvx2 ，uxvxuxvxdvx2 ， x 0全微分： dz z dx z dy全微分的近似计算： z dz fx (x, y)x fy (x, y)y第二章 极限与连续知识点 名称内容函数
8、在一点的 极限定义 1 设函数f x在x0 的某个去心邻域Nx0 内有定义，A 是一个常数.若对任意的 0 ， 总存在 0 ，使得当x Nx0 且 0 x x0 时，有 f x A 成立，则称函数f xlim f x A在x x0 时的极限是A ，记作xx0 .函数在一点的极限与左、右极限的关系定理 1 设函数f x在点x0 附近有定义，则lx f x A的充分必要条件是： lximx0 f x A ，且lximx0 f x A .数列的极限设 an 是一个无穷数列，当下标n 越来越大时，其对应的值an 越来越接近一个常数A ，而且 可以无限接近，我们称数列 an 的极限是A，记作nl an
9、A .lim a lim a当极限n n 存在时，称数列 an 收敛； 当极限n n 不存在时，称数列 an 发散.函数极限的性 质x x0 , x0 x0 , x0 都有1.极限值的唯一性定 理 1 若 极 限 lx f x 存 在 ， 则 其值 唯 一 . 定 理 1 说 明 ，如 果 lx f x A ， 且lim f x Bxx0 ，则 A B .2.函数在极限存在点附近的有界性定理 2 若极限lx f x存在，则函数f x在x0 的一个去心邻域内有界.函数 f x 在 x0 的一个去心邻域内有界指的是： 存在 M 0 ， 0 ，使得对任意的f x M . 定理 2 说 明：如果 lx
10、f x 存在 ，存在3M 0 ，X 0 使得对任意的x , X X, ，都有f x M .定理 2 反映的是极限存在点附近函数的局部有界性，对数列来说，结论为：lim a 则数列an 有界.定理 3 说明，数列有界是数列收敛的必要条定理 3 若极限 n n 存在，件.3.函数极限的保号性定理 4 若极限lx f x A ，且A 0 ，则函数f x在x0 的一个去心邻域内大于零； 若在 x0 的一个去心邻域内 f x 0 ，且极限lx f x存在，则lx f x 0 .定理 4说明，利用极限值的正、负号，可得到函数在极限点附近（除去极限点） 的正、负号；另一方面说明，极限值的正、负号不能与函数极
11、限点附近（除去极限点） 的值的正负号相反.注意: 当函数f x 满足： 在x0 的一个去心邻域内f x 0 ，且极限lx f x存在时，结论仍为xx0 ，而不是xx0 .lim f x 0 lim f x 0复合函数的极 限u g xlim g x u lim f u A lim f g x lim f u A若xx0 0 ，u u0 ，则xx0 uu0 .无穷小量的概 念定义 1 若lxf x 0 ，则称函数f x 在x x0 时是一个无穷小量，记作 f x o 1 x x0f x o 1 x x0 指的是： 当 x 无限趋于x0 时，其对应的函数值无限趋于 0.无穷大量的概 念 0当x 无
12、限趋于x0 时，若f x 且无限趋于 0，则11定义 2 若函数f x 在x x0 时是一个无穷小量，则称函数f x 在x x0 时是一个无穷大量，记lim f x 作xx0 .1当 x 无限趋于x0 时，若f x 且无限趋于 0，则称函数f x 在x x0 时是一个正无穷大量，记lim f x 作xx0 . 0 称函数f x 在x x0 时是一个负无穷大量，记作lx f x .从无穷大量的定义可看出： 无穷大量的倒数是同一极限过程中的无穷小量，非零无穷小的倒数是同一极限过程下的无穷大量.无穷大运算的结论：（1） 有界变量与无穷大量之和是无穷大量；（2） 两个无穷大量之积是无穷大量；（3） 有
13、限个无穷大量之积是无穷大量.4间断点及其分 类定义 3 若函数f x 在点x0 处不连续,则称x0 为f x 的间断点.根据函数在间断点处左、右连续的情况,可将间断点分类：（1） 第一类间断点若函数f x在点x0 处的左、右极限均存在，但不连续,则称x0 为f x的第一类间断点.在第一类间断点中，可分为可去间断点和跳跃间断点.（2） 第二类间断点若函数f x 在x0 处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称x0 为f x 的第二间断点.第三章 导数与微分知识点 名称内容基本初等函数的导数公式a x ln a(tan x) sec2 x (cot x) csc2 x (sec x) sec x
14、tan x (csc x) csc x cot x (ax ) ax ln a(log x) 1 (arcsin x) 1 1 x2(arccos x) 1 1 x2(arctan x) (arc cot x) 函数在一点处的导数定义定义 1 设函数y f x 在点x0 的某个邻域内有定义，当 自变量 x 在x0 处取得增量x （ x0 x 也 在该邻域内） 时，相应地函数取得增量y f x0 x f x0 ；若y 与x 之比当x 0 时极限 存在，则称函数y f x 在点x0 处可导，并称这个极限为函数y f x 在x0 处的导数，记为f x0 ， 即f x0 ix ix .（2） 若ix
15、(这时导数是不存在的),为叙述方便,我们称f x 在点x 的可导为无穷大.（3） 若令x x x ,则x 时,有x x ,f x lx ，这是导数定义的另一种形式, 说明导数也可简述为差商的极限.（4） 导数y|xx 是函数在点x 处的变化率,它反应了函数随自变量的变化而变化的快慢程度.若函数y f x 在开区间 I 内的每点处都可导，就称函数f x 在开区间 I 内可导.对于任一x I ，都对应着f x 的一个确定的导函数值.构成的这个新的函数称为原函数y f x 的导函数,记作y , f x , , .把常用导数定义式中的x0 换成 x ，得到导函数定义式y lim f x x f xx0
16、 x 或f x 5函数在一点处可导与连续的关系定理 1 若函数y f x在点 x 处可导,那么函数在该点处必连续.定理 1 表明: 函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件,即函数在某点连续却不一定可导;若不 连续一定不可导.函数在一点处 的微分定义 3 设函数y f x 在某区间内有定义，x0 及x0 x 在这个区间内，如果增量y f x0 x f x0 可表示为y Ax o x .其中A 是不依赖于x 的常数,那么称函数y f x 在点x0 是可微的， 而 Ax 叫做函数y f x 在点 x0 相应于 自变量增量x 的微分，记作dy ，即 dy Ax .第四章 微分中值定理
17、和导数的应用知识点 名称内容罗尔定理费马定义了驻点，称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点） .罗尔定理 若函数f x 满足在闭区间 a, b 上连续； 在开区间 a, b 内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f a f b ，那么在 a, b 内至少有一点 a b ，使得f 0 .拉格朗日中值 定理若函数f x 满足： 在闭区间 a, b 上连续； 在开区间 a, b 内可导，那么在 a, b 内至少有一点 a b ，使等式f b f a f b a 成立.推论 1 若函数f x 在区间I 上的导数恒为零，那么f x在区间I 上是一个常数.推论 2 若函数f x 与g x 在区间
18、a, b 内每一点的导数f x 与g x 都相等，则这两个函数在区 间 a, b 内之多相差一个常数，即f x g x C, x a, b .函数的最值及 其应用取得最值的位置对于可导函数f x 而言，其在区间 a, b 上的最值要么在区间端点取得，要么在区间 a, b 内的点x0 取得，这时有fx0 0 .（1） 求出 f x 在 a, b 内fx 0 和fx 不存在的点，记为 x1 , x2 , , xn .（2） 计算函数值 f a, f x1 , f x2 , , f xn , f b .（3） 函数值 f a, f x1 , f x2 , , f xn , f b 中的最大者为最大值
19、，最小者为最小值.曲线的凹凸性 和拐点【判别凹凸性的充分条件】设函数 fx在 I 上二阶可导。若在 I 上 fx0，则 fx在 I 上的图形是凹的；若在 I 上 fx0，则 fx在 I 上的图形是凸的。 【二阶可导点是拐点的必要条件】设 fx0存在，且点（x0 ，fx0）为曲线上的拐点，则 fx0 = 0【判别拐点的充分条件】6第一充分条件： 设 fx在点 xx0处连续，在点 x = x0的某去心邻域 U（x0 ， ） 内二阶导 数存在，且在该点的左右邻域内 fx变号，则点（x0 ，fx0）为曲线上的拐点。第二充分条件： 设 fx在 xx0的某邻域内三阶可导，且 fx0 = 0 ，fx0 0
20、，则（x0， f x0）为拐点。第三充分条件： 设 fx在x0处 n 阶可导，且fmx0 0（m2 ， ，n ，）fnx0 0 （n3），则当 n 为奇数时，（x0 ，fx0）为拐点。渐近线水平渐 近线若 lim fx x 若 lim fx x y，则yy为一条水平渐近线；y2 ，则yy2为一条水平渐近线；若 lim fx y0 lim fx ，则 yy0为一条水平渐近线。 x x 铅直渐 近线若 lim fx （或 lim fx ） ，则 xx0为一条铅直渐近线。xx xx斜渐近 线x x x 若 lim = k ，lim fx kx b ，则 ykxb是曲 线 y fx的一条斜渐近线；x
21、x 若 lim fx = k2 ， lim fx k2x b2 ，则 yk2xb2 是曲 线 y fxx 的一条斜渐近线；x x x x x 若 lim fx = k0 = lim fx ， lim fx k0x b0 lim fx k0x ，则yk0xb0是曲线y fx的一条斜渐近线。供给弹性作 0 g p0 .一般而言,p 表示价格， Q 表示供应量.p p0 g p0p0 g p0 称为该商lim Qp0 Q0定义 3 已知某商品的供给函数Q gp在点p0 处可导,Q pQ0 p0 称为该商品在p0 与p0 p 两点间的供给弹性,品在p0 处的供给弹性, 记 p |pp p0 p0 g
22、p0 供给量Q 是价格p 的增函数, 因此 p0 一般是正值.拉格朗 日中值定理若函数f x 满足： 在闭区间 a, b 上连续； 在开区间a, b 内可导，那么在 a, b 内至少有一点 a b ，使等式f b f a fb a 成立（简单计算题）洛必达法则求极限 0 0型： 若 lim = lim = ， 0 0 0 0 0 0 0 0则 lim = lim （计算题、综合题）第四章 微分中值定理和导数的应用型： 若 lim = lim = 0 ，则 lim = lim 7知识点 名称内容罗尔定理费马定义了驻点，称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点） .罗尔定理 若函数f x 满
23、足在闭区间 a, b 上连续； 在开区间 a, b 内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f a f b ，那么在 a, b 内至少有一点 a b ，使得f 0 .拉格朗日中值 定理若函数f x 满足： 在闭区间 a, b 上连续； 在开区间 a, b 内可导，那么在 a, b 内至少有一点 a b ，使等式f b f a f b a 成立.推论 1 若函数f x 在区间I 上的导数恒为零，那么f x在区间I 上是一个常数.推论 2 若函数f x 与g x 在区间 a, b 内每一点的导数f x 与g x 都相等，则这两个函数在区 间 a, b 内之多相差一个常数，即f x g x C, x
24、a, b .函数的最值及 其应用取得最值的位置对于可导函数f x 而言，其在区间 a, b 上的最值要么在区间端点取得，要么在区间 a, b 内的点x0 取得，这时有fx0 0 .（4） 求出 f x 在 a, b 内fx 0 和fx 不存在的点，记为 x1 , x2 , , xn .（5） 计算函数值 f a, f x1 , f x2 , , f xn , f b .（6） 函数值 f a, f x1 , f x2 , , f xn , f b 中的最大者为最大值，最小者为最小值.曲线的凹凸性 和拐点【判别凹凸性的充分条件】设函数 fx在 I 上二阶可导。若在 I 上 fx0，则 fx在 I
25、 上的图形是凹的；若在 I 上 fx0，则 fx在 I 上的图形是凸的。 【二阶可导点是拐点的必要条件】设 fx0存在，且点（x0 ，fx0）为曲线上的拐点，则 fx0 = 0【判别拐点的充分条件】第一充分条件： 设 fx在点xx0处连续，在点x = x0的某去心邻域 U（x0 ， ） 内二阶导 数存在，且在该点的左右邻域内 fx变号，则点（x0 ，fx0）为曲线上的拐点。第二充分条件： 设 fx在 xx0的某邻域内三阶可导，且 fx0 = 0 ，fx0 0 ，则（x0， f x0）为拐点。第三充分条件： 设 fx在x0处 n 阶可导，且fmx0 0（m2 ， ，n ，）fnx0 0 （n3）
26、，则当 n 为奇数时，（x0 ，fx0）为拐点。渐近线水平渐 近线若 lim fx x 若 lim fx x y，则 yy为一条水平渐近线；y2 ，则 yy2为一条水平渐近线；若 lim fx y0 lim fx ，则 yy0为一条水平渐近线。 x x 8铅直渐 近线若 lim fx （或 lim fx ） ，则 xx0为一条铅直渐近线。xx xx斜渐近 线x x 若 lim = k ，lim fx kx b ，则 ykxb是曲 线 y fx的一条斜渐近线；x x 若 lim fx = k2 ， lim fx k2x b2 ，则 yk2xb2 是曲 线 y fxx 的一条斜渐近线；x x x
27、x x 若 lim fx = k0 = lim fx ， lim fx k0x b0 lim fx k0x ，x 则yk0xb0是曲线y fx的一条斜渐近线。供给弹性作 0 g p0 .一般而言,p 表示价格， Q 表示供应量.p p0 g p0p0 g p0 称为该商lim Qp0 Q0定义 3 已知某商品的供给函数Q gp在点p0 处可导,Q pQ0 p0 称为该商品在p0 与p0 p 两点间的供给弹性,品在p0 处的供给弹性, 记 p |pp p0 p0 g p0 供给量Q 是价格p 的增函数, 因此 p0 一般是正值.拉格朗 日中值定理若函数f x 满足： 在闭区间 a, b 上连续；
28、 在开区间a, b 内可导，那么在 a, b 内至少有一点 a b ，使等式f b f a fb a 成立（简单计算题）洛必达法则求极限0 0 0 0 00 0 0型： 若 lim = lim = ， 型： 若 lim = lim = 0 ，则 lim = lim 0 0则 lim = lim （计算题、综合题）第六章 多元函数微积分知识点 名称内容多元函数的概 念定义 1 设有三个变量x, y 和z ，如果当变量x, y在某一区域D 内任取一组值时，变量 z 按照一 定的法则f 都有唯一的数值与之对应，则称f 是D 上的二元函数，记为z f x, y ， x, y D . 其中变量x, y
29、称为自变量，变量 z 称为因变量，x, y 的取值区域称为二元函数的定义域.对于D 上任意一点 x0 , y0 ，对应的因变量 z 的取值z0 f x0 , y0 称为函数在点 x0 , y0 处的函数值，函数值的全体称为该二元函数的值域.类似地，可定义有三个自变量x, y, z 和因变量u 的 三元函数u f x, y, z 以及三元以上的函数. 一般地，我们将二元及二元以上的函数统称为多 元函数.9二元函数的极 限定义 2 设二元函数f x,y在点P0 x0 , y0 的某一去心邻域内有定义，若当该去心邻域中任意一点Px, y 以及任何方式趋于点P0 x0 , y0 时，对应的函数值f x
30、, y 趋于一个确定的常数A ，则称 A 是函数f x,y 在P x, y P0 x0 , y0 时的极限，记作lxyf x, y A 或 x,y ,y0 f x, y A .二元函数的极限又称为二重极限.偏导数的计算设函数 zfx ，y在点x0 ，y0的某领域内有定义，若极限 lim fx0x ，y0 fx0 ，y0存在，xx ，x ， 二阶偏导数 z 2zf z一阶偏导数x0则称此极限为函数 zfx ，y在点x0 ，y0处对 x 的偏导数，记作：fx0 ，y0 或zx0 ，y0 ，x |x0 ，y0 ，x |x0 ，y0同样，可定义函数 zfx ，y在点x0 ，y0处对变量 y 的偏导数。
31、函数 zfx ，y在区域 D 内任意一点x ，y处关于 x ，y 的偏导（函） 数分别记为：z f z ，f x0 ，y0 ；，z ，f x0 ，y0x x x2 fxx ，y zx fyx ，y zy表示函数 zfx ，y先对 y 求偏导，再对 x 求偏导。 fxx ，y zx表示函数 zfx ，y先对 x 求偏导，再对 y 求偏导。 z 2z y y y2 fyyx ，y zy其中fyx ，y与fxx ，y称为二阶混合偏导数。全微分的定义定义 1 设z f x, y在点 x, y 的某邻域内有定义，若f x, y 在点x, y处的全增量可表示为z f x x, y y f x, y Ax By o 其中 A, B 与x, y 无关， ，则称函数z f x, y 在点 x, y 处可微，Ax By 称为 z f x, y 在点 x, y 处的全微分，记为dz Ax By .一元隐函数的求导法则y设函数F x, y 可微，若函数y yx 由方程Fx, y 确定，则y 对x 的导数F .二重积分的性 质【求区域面积】 D d D d A ，其中 A 为 D 的面积。【可积函数必有界】 当 fx ，y在有界闭区域 D 上可积时，则