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1、向 量 的 概 念 及 表 示执 教 :张 亮 点 评 :孔 凡 海【 教 学 目标 】一 、 通 过对 实 例 的 引入 ， 了 解 向 量 概 念 产 生 的 实 际 背 景；二 、 理 解平 面 向 量 和向 量 相 等 的 概 念 ；三 、 掌 握向 量 的 几 何表 示 ；四 、 了 解向 量 的 长 度、 零 向 量 、 单 位 向 量 、 平 行 向 量 等概 念 。【 重 点 难点 】重 点 ： 向量 的 概 念 和向 量 的 几 何 表 示 ；难 点 ： 向量 概 念 的 理解【 点 评 】知 识 技 能， 数 学 思 考 ， 问 题 解 决 ， 情感 态 度 。目 标 明
2、确 有效 ， 重 点突出 。 为 组织 、 引 导 学生 开 展 有 效 学 习 活 动 奠 定 了 方 向 。向 量 是 近代 数 学 中 重要 和 基 本 的 数 学 概 念 之 一 ， 是 沟 通代 数 、几 何 的工 具 。 向量 由 大 小 和方 向 两 个 因 素确 定 ， 大 小反 映 了 向 量数 的 特 征 ，方 向 反 映了 向 量 形 的特 征 ， 向 量 是 集 数 形 于 一 身 的 数 学概 念 ， 是 数 学中 数 形 结合 思 想 的 典型 体 现 。 向 量 之 所 以 有 用 ， 关 键是 它 具 有 一 套 良好 的 运 算性 质 。 由 于 向 量 的
3、几何 性 质 ， 以 及 向 量 、 点 、 序 偶 之 间 的对应 关 系 ，于 是 ，可 以 把 图 形 的 基 本 结构 转 化 为 向 量 运 算 ，把 图 形 的 基本 性 质 转化 为 向 量 的运 算 律 ， 这 就 是 几 何 问 题 代 数 化 处理 。 这 样 ， 几何 中 添 线、 补 图 等 技 巧 让 位 于代 数 中 的 通 法 ， 也 就 是 作 为 思 辩 数 学 的几 何 问 题让 位 于 作 为算 法 数 学 的 代 数 问 题 。【 教 学 过程 】一 、 设 置情 境情 景 在 如图 所 示 的 情景 中 ， 猫 能 否 追 上 老 鼠合 作 探 究看
4、下 面 哪 些量 是 与 众 不 同 的 ：（ 1） 线 段 的长 度 （ 2） 物体 的 质 量（ 3） 物 体 的体 积 （ 4） 物体 所 受 重 力（ 前 三 个都 是 数 量 ，即 只 有 大 小 ， 而 物 体所 受 重 力 是矢 量 ， 既有 大 小又 有 方 向）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 【 点 评 】根 据 学 生的 生 活 经 验， 通 过 问 题 、 设 疑 来创 设 思 维 的情 境 ， 引起 认 识
5、的 需 要 ；通 过 揭露 矛 盾 来 引发 思 考 ，激 发 学习 的 兴 趣 。通 过 学生 活 动 ，感 知 数 学， 进 行 意 义建 构 。物 理 中 的力 、 速 度 、 加 速度 以 及 几 何中 的 有 向线 段 等 概 念是 向 量 概 念的 原 型 。由 物 理 上 的 位 移 、 速 度 等 引入 向 量 概 念 ， 贴 近 学生 已 有 的 经验 ， 比 较自 然 ， 也 体现 了 “ 最近 发 展 区 ” 原 理 的运 用 。二 、 探 索研 究问 题 一情 景 中 向 我们 呈 现 了 一 个 新 的 量 ，那 么 我们 怎 样 用 数学 的 形式 对 这 一量 进
6、 行 描 述呢1 向 量 的 定义既 有 大 小又 有 方 向 的量 叫 向 量 。师 ： 你 还能 举 出 一 些向 量 的 例 子 吗师 ： 在 这一 概 念 中 你认 为 关 键 词 有 哪 些板 书向量 的 二 要 素大 小 和 方 向师 ： 我 们 怎 样 用 符 号 来 表 示 向量 呢 重 力 加 速 度 是 一个 向 量 ， 那 么 在 物理 中 我 们是 用 什 么 表示 它 的 呢2 向 量 的 表示 方 法 几 何 表示 法 向 量 常 用 有 向 线 段表 示师 ： 那 么有 向 线 段 是怎 样 表 示 向 量 的 大 小 和 方 向 呢有 向 线 段的 长 度 表
7、示向 量 的 大 小 ， 箭 头 所 指 的 方 向 表 示向 量 的 方 向。以 A 为 起 点 、 B 为 终 点 的 向量 记 为 ： 。 大 小 记 为 ： 板 书有向 线 段 的 三要 素起 点 、终 点 、 长 度。 字 母 表示 法 ： 可 表示 为练 习1 温度 有 零 上 和零 下 之 分 ， 温 度 是 向 量吗 为 什 么2 向 量 和 同一 个 向 量 吗为 什 么师 ： 我 们 只 是 用 有 向 线 段 来 表示 向 量 ， 那 么 有 向 线 段 是 向 量 吗 向 量 是有 向 线 段吗【 点 评 】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
8、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 注 意 到 学生 由 于 受 物理 背 景 的 影 响 而 导 致 认 知 的 偏 差 ，明 确 数学 上 的向 量 是 “ 自 由 “ 向 量 ， 只 有 大 小 和 方 向 两 个 要 素， 与 起 点 无关 。 消 除 由于 物 理 中力 的 引 入 而导 致 的 误 解 。问 题 二数 量 中 有 “0”，“1”，比 如 0 度 。向 量 中有 没 有 与 之 类 似 的量 ， 如 果有 又 怎 样 定义 这 些 特 殊 的 量 呢【 点 评 】通 过
9、 类 比联 想 ， 认 识向 量 这 个 “ 二 元 ” 数 。 从 已知 的 有 理 数的 相 似 性 ，推 断 未 知的 向 量 的 相似 性 ， 进 行 猜 想 。 并不 满 足 于对 相 似 性 的模 糊 认识 ， 坚 持 把 它 们 的 相 似 性 用 准确 的 数 学 形 式 表 达 出来 。 经 历 数 学 发 现过 程 ， 体 会 合 情 推 理 在 数 学 发现 中 的 作 用 ， 发 展 学 生 的 创 新 意 识 和 创新 能 力 。逐 步 让 学 生学 会 建 构 数 学 知 识 。3 特 殊 的 向量 。(1) 零 向 量长度 为 零 的 向量 ， 记 为(2) 单
10、位 向 量长 度 等 于 一个 单 位 的 向 量师 ： 这 些 向 量 都 是 从 向 量 二 要素 中 的 大 小 这 一 特 性去 定 义 的 ，那 么 有没 有 方 向的 特 殊 的 向量 呢问 题 三数 量 中 有 两数 相 等 和 两 数 互 为 相 反 数 等 特 殊 情 况，你 怎 么 考虑 向 量 中的 类 似 问 题【 点 评 】设 法 造 成学 生 “ 愤” 、“ 悱” 的 状 态，使 他 们 想 求 明 而 不 得 ，想 说 却 不 能 。然 后 引 导他 们 去 探 索、 去 发 现 ， 提 出 解 决问 题 的 门 径 ， 引 导 学 生 “ 自 得 ” 。4 向
11、量 间 的关 系（ 1） 平 行 向量方 向 相同 或 者 相 反 的 向 量 。 若与 平 行 ， 记作 / 规 定 与 任一 向 量 平 行， 即 / 师 ： 你 能画 出 一 组 平行 向 量 吗师 ： 如 果 我 们 把 一 组 平 行 向 量的 起 点 全 部 移 到 同 一点 ， 这 时 它 们 是 不是 平 行 向量 这 时 各 向量 的 终 点 之 间 有 什 么 关 系生 ： 是 平行 向 量 ， a/b ， 各 向 量 的 终 点 都 在 同 一条 直 线 上 。师 ： 对 ！由 此 ， 我 们把 平 行 向 量 又 叫 做 共 线 向 量 。(2) 相 等 向 量大 小
12、相 等 方向 相 同 的 向 量 ， 记 = 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - （ 3） 相 反 向量与 大 小相 等 方 向 相 反 的 向 量 ，记 - 【 例 1】 判 断 下 列 命 题真 假 或 给出 问 题 的 答案（ 1） 任 一 向量 与 它 的 相反 向 量 不 相 等（ 2） 平 行 向量 的 方 向 一定 相 同（ 3） 不 相 等的 向 量 一 定不 平 行（ 4） 模 相 等的 两 个 平 行向 量 是 相
13、 等 的 向 量【 例 2】 如 图 ， 设 O 是 正六 边 形 ABCDEF 的 中 心， 在 如 图 所标 出 的 向量 FE、 OA、 OD、 OC、 CB中 ：（ 1） 试 找 出与 OA 共 线 的 向量（ 2） 找 出 与 OA 相等 的 向 量（ 3） OA 与 FE 相 等 吗【 点 评 】新 课 的 巩固 工 作 主 要通 过 课 堂 练 习 来 完 成 ， 学 生 通 过 当堂 的 练 习 （ 包括 变 式 练习 ） ，领 悟 新 知 识 ，记 忆 新知 识 。 对有 关 概 念 的内 涵 进 一步挖 掘 、 外 延 进 一 步 界 定 ； 不 同 概 念 进一 步 比
14、较 区 分 。 同 时为 后 继 的 学习 打 好 基础 （ 知 识 技能 、 思 想 方 法 ） 。【 见 仁 见智 】本 教 案 的设 计 思 路 大致 可 以 概 括 为 ：问 题 情 境（ 提 出 问 题） 学 生 活 动 （ 体 验 向 量） 意 义 建 构（ 探 索 研究 向 量 ）数 学 理 论 （ 建 立 向 量 概 念 ） 数 学 运用 （ 辨 别 、解 释 、 解决 简 单 问题 ） 回 顾 反 思 （ 理 解 、 联 系 、 整 合、 拓 广 ） 。在 问 题 情境 设 置 中 ，设 计 的 问 题 贴 近 学 生 ， 通 过 问 题来 激 发 学 生 的 认知 兴 趣
15、，在 问 题 中 培 养 学 生 的比 较 、鉴 别 、 归纳 的 思 维 能力 ； 在 探 索研 究 概 念中 ，精 心 设 计 问题 串 ，脉 络 清 楚，类 比 联 想 ，建 构 数学 知 识 ，使 得 看 起来 一 大 堆 零散 的 有 关 概 念 得 以 系 统 有 序 地 认 识；在 巩固 认 识概 念 中 ，通 过 例 题 的 讲 解 和 变式 练 习 达 到 对 重 点 概念 的 重 点 掌握 ， 注重 概 念 的辨 析 ， 突 出概 念 的 本 质 特 征 。在 新 课 程的 实 验 阶 段， 学 生 在 课 堂 上 “ 自 主 探 索 、 合 作 交 流 ” ， 师 生 对
16、 “ 教与 学 的 方式 的 改 变 ” 必 然 会 有一 个 适 应 的过 程 ，要 注 意 以 下 问 题 ：一是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 组 织 学 生开 展 的 探 索活 动 是 必 要 的 ，但 不 必 事 事 都 探 索 ；二是 “ 教 学 方式 的 改 变” 并 不 意味 着 教 师 不能 进 行 必 要的 讲 授 ；三是 起始 课 ，给 学 生以 数 学 的全 貌 ， 给 学生 以 正 确 的 数 学 观 ，
17、 如 何 让 学 生 学 会建 构 数 学 ，数 学 如 何建 构 ， 虽 然 这 是 高 考不 考 的 ， 但 这 是 对 学 生 受 益 终 身 的 。 学生 探 索 空间 的 大 小 ，取 决 于 教 师 所 设 计 “ 问 题 ” 的 难 易 程 度。 这 里 要 特别 指 出 的是 ， 必 须 给学 生 的 探 索 活 动 以 足 够 的 “ 自 由 度 ” 。如 果 教 师 在组 织 学 生进 行 探 索 时自 己 暗 暗 地 设 定 一 个 具 体 的 “ 目 标 ” ，并 要 学 生 达到 它 ， 那么 这 样 的 “ 探 索 ” 活 动 就 会 妨 碍 学 生 “ 富 有 个 性地 学 习 ” ， 甚 至在 实 际 上成 为 了 另 一种 形 式 的 “ 注 入 ” 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -