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1、第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)热点一最值问题求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；(2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.例1(2019邯郸模拟)已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上的一个动点，且|PF2|的最大值为2，E的离心率与椭圆：1的离心率相等.(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1MF2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.解(1)依题意可知解得则b2a2c21，故E的方程为y21
2、.(2)延长MF1交E于点M，由(1)可知F1(，0)，F2(，0)，设M(x1，y1)，M(x2，y2)，设MF1的方程为xmy，由得(m24)y22my10，故设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则S(|F1M|F2N|)d(|F1M|F1M|)d|MM|d，而|F1F2|y1y2|2，当且仅当，即m时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2.跟踪演练1(2019焦作模拟)已知椭圆C：y21，点A，B(1,2).(1)若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；(2)若直线l2：y2xt(t0)与椭圆C交于P，Q两点，求BPQ的面
3、积的最大值.解(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，故y1，y1.将两式相减，可得y0，即(y1y2)(y1y2)0，因为A为线段MN的中点，所以x1x22，y1y21.得(x1x2)(y1y2)0，即1，故直线MN的斜率kMN1.(2)联立可得9x28tx(2t22)0，由0可得64t236(2t22)0，解得0t20，SBPQ|t|，当且仅当t2，即t时取等号.故BPQ的面积的最大值为.热点二范围问题圆锥曲线的范围问题的常见解法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已
4、知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.例2(2019江西九校联考)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点F(1,0)，A，B，C是椭圆上任意三点，A，B关于原点对称且满足kACkBC.(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为k的直线与圆：x2y21相切，与椭圆E相交于不同的两点P，Q，求|PQ|时，k的取值范围.解(1)由题可设A(xA，yA)，B(xA，yA)，C(xC，yC)，所以两式相减得0，.即kACkBC，所以a22b2，又c1，a2b2c2，所以a22，b21，所以椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线方程为ykxm，交椭圆于点P(x1，y1)，Q(x2，y2).联
5、立方程得(12k2)x24kmx2m220，8(2k21m2)0，得2k21m2，x1x2，x1x2.所以|PQ|，因为直线ykxm与圆x2y21相切，所以d1|m|，即m21k2，代入2k21m2，得k0.所以|PQ|2，因为|PQ|，所以2，化简得k4k260，即(k23)(k22)0，解得k22或k23(舍).所以k或k，故k的取值范围为(，).跟踪演练2(2019合肥质检)已知抛物线C：x22py(p0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|BQ|
6、的取值范围.解(1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到准线的距离为10.抛物线的准线为y，910，解得p2，抛物线的方程为x24y.(2)由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则l：ykx1.设A，B，由消去y，得x24kx40，x1x24k，x1x24.由于抛物线C也是函数yx2的图象，且yx，则PA：yx1(xx1).令y0，解得xx1，P，从而|AP|.同理可得，|BQ|，|AP|BQ|)2.k20，|AP|BQ|的取值范围为2，).热点三证明问题圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥
7、曲线的性质及位置关系进行论证.例3(2019南开模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A，B，过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C，D，与l3：x4交于P，求证：直线PA，PF，PB的斜率kPA，kPF，kPB成等差数列.(1)解由题意知e，所以，即a2b2又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆x2y2b2与直线xy0相切，所以圆心到直线的距离db，所以a24，b23，故椭圆C的方程为1.(2)证明由题意，知当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为yk
8、(x1).由得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根与系数的关系，得x1x2，x1x2，由题意知直线l2的斜率为，则直线l2的方程为y(x1)，令x4，得P点的坐标为，kPAkPBkkk2kPF，即kPAkPB2kPF，当直线l1的斜率不存在时，kPAkPB0，kPF0，满足题意，所以kPA，kPF，kPB成等差数列.跟踪演练3(2019深圳调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F(1,0)，且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一
9、点N，直线MB交直线x4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上.(1)解方法一设椭圆C的方程为1(ab0)，一个焦点坐标为F(1,0)，另一个焦点坐标为(1,0)，由椭圆定义可知，2a4，a2，b2a2c23，椭圆C的方程为1.方法二不妨设椭圆C的方程为1(mn0).一个焦点坐标为F(1,0)，mn1，又点P在椭圆C上，1，联立方程，解得m4，n3，椭圆C的方程为1.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可设直线MN的方程为xmy1，由方程组消去x，并整理，得(3m24)y26my90，(6m)236(3m24)0，y1y2，y1y2，直线BM的方程可表示为y(x2)，将此方程与
10、直线x4联立，可求得点Q的坐标为，(x22，y2)，6y2(x22)0，又向量和有公共点A，故A，N，Q三点在同一条直线上.真题体验(2019全国，理，21)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值.(1)解由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.(2)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0
11、).由得x .记u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0).于是直线QG的斜率为，方程为y(xu).由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为，因为kPQkPG1.所以PQPG，即PQG是直角三角形.解由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号.因为S在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.押题预测已知椭圆W：1(ab0)的离心率为，点P(a，)，F1，F2分别是椭圆W的左、右焦点，PF1
12、F2为等腰三角形.(1)求椭圆W的方程；(2)过左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G.求B点坐标；求证：|EF1|F1G|.解(1)由已知e，a2b2c2，得bc，ac， PF1F2为等腰三角形，|F1F2|F2P|，则(2c)2(ac)2()2，代入ac，解得c1，a22，b21，椭圆W的方程为y21.(2)由题意可得直线l1的方程为yx1.与椭圆方程联立，由可求B.当l2与x轴垂直时，D，C两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1
13、|F1G|.当l2不与x轴垂直时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为yk(x1)(k1).由消去y，整理得(2k21)x24k2x2k220，则x1x2，x1x2.由已知，x20，则直线AD的方程为y1x，令x1，得点E的纵坐标yE.把y2k(x21)代入，得yE.由已知，x1，则直线BC的方程为y，令x1，得点G 的纵坐标yG.把y1k(x11)代入，得yG.yEyG，把x1x2，x1x2代入到2x1x23(x1x2)4中，2x1x23(x1x2)42340.即yEyG0，即|EF1|F1G|.A组专题通关1.(2019吉林调研)已知A，B为椭圆E：1(ab0)的上、下顶点，
14、|AB|2，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若点P(x0，y0)(x00)为直线y2上任意一点，PA，PB交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值.解(1)依题意|AB|2b2，则b1，又由解得a2，故椭圆E的方程为y21.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(t,2)(不妨设t0)，则直线PA的方程为yx1，代入椭圆方程化简得x2x0，解得xA0，x1，同理xB0，x2，S四边形ACBDSACBSADB|AB|x2x1|，令ut4，当且仅当t2时，取等号，则四边形ACBD面积为g(u)32，又g(u)在4，)上单调递减，(SABCD)maxg(4)2.2.已知椭圆C
15、：1(ab0)的短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，求的取值范围.解(1)因为椭圆C的短轴长为2，所以2b2，所以b1，又椭圆C的离心率为，所以，解得a2，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由题意直线l的斜率存在，可设其方程为yk(x3)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将yk(x3)代入y21，消去y可得(14k2)x224k2x36k240，所以(24k2)24(14k2)(36k24)0，即k2，且x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2k(x13)k(x23)(1k2)x1x23k2(x
16、1x2)9k2(1k2)3k29k24，因为0k2，所以0，所以440)的焦点为F，其准线L：x1与x轴的交点为K，过点K的直线l与抛物线C交于A，B两点.(1)求抛物线C的方程；(2)点A关于x轴的对称点为D，证明：存在实数t(0,1)，使得t(1t).(1)解因为抛物线C：y22px(p0)的准线为直线L：x1，所以1，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明易知点K的坐标为(1,0)，据题意可设直线l的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立整理得y24my40，所以16m2160，得m21，故因为点A(x1，y1)关于x轴的对称点为D，所以D(x1，y1).则
17、直线BD的方程为yy2(xx2)，得yy2(xx2)，得yy2(xx2)，即yy2.令y0，得0y2，得xy21.所以直线BD恒过定点(1,0).所以点F(1,0)在直线BD上，所以不妨令t(t(0,1).因为，所以t，所以t()，所以(1t)t.所以存在实数t(0,1)，使得t(1t)，命题得证.B组能力提高4.(2019泰安质检)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(2,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M，N，设，R，求的取值范围.解(1)由题意可得解得
18、a22，b21，则椭圆方程为y21.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，设M(x3，y3)，则(1x1，y1)，(x31，y3)，由，可得y1y3，则，当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为y(x1)，即x，代入曲线C的方程y21，整理可得(32x1)y22y1(x11)yy0，y1y3，32x1，当AM与x轴垂直时，A点横坐标为x11，1，显然32x1也成立，32x1，同理可得32x2，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为yk(x2)，k0，联立消去y整理得(2k21)x28k2x8k220，由(8k2)24(2k21)(8k22)0，解得0k2b0)，其中长轴长是短
19、轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)点P是椭圆E上动点，且横坐标大于2，点B，C在y轴上，(x1)2y21内切于PBC，试判断点P的横坐标为何值时PBC的面积S最小.解(1)由已知ab，解得a2，b，故所求椭圆方程为1.(2)设P(x0，y0)(2n，则直线PB的方程为lPB：ymx，即(y0m)xx0yx0m0，又圆心(1,0)到直线PB的距离为1，即1，化简得(x02)m22y0mx00，同理(x02)n22y0nx00，所以m，n是方程(x02)x22y0xx00的两个根，所以mn，mn，则(mn)2，因为P(x0，y0)是椭圆上的点，所以y6，则(mn)2，所以S2xxx，令x02t(02(1)，可知当t(0,2(1)时，f(t)0，所以函数f(t)在(0,2(1)上单调递减，当t2(1)即点P的横坐标为x02时，PBC的面积S最小.