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1、精选优质文档-倾情为你奉上 第三节 利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角一、异面直线所成角设AB、CD为异面直线，所成角为 则EC1DD1A1B1BACFO练习：如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC、AD的中点，则OE和FD1所成角的余弦值为_.探讨：如图,正四面体A-BCD中，E、F分别是BC、AD的中点，FEDBAC求AE和CF所成角的余弦值。例1、如图，ABCD-ABCD是正四棱柱，D1C1ABCDA1B1（1）求证BD平面ACCA （2）若二面角C-BD-C的大小为，求异面直线BC与AC所成角大小 。（06北京文）二、 直线与平
2、面所成角SDCBA1、法向量：如表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作。如果，那么向量叫平面的法向量。例2，如图所示，ABCD是直角梯形ADBC ，SA平面ABCD ，SA=AB=BC=1 ，AD=，（1） 求平面SBC的一个法向量；（2） 求平面SCD的一个法向量； （3） 求平面SAD的一个法向量；（4） 求平面ABCD的一个法向量。2，若AB是平面的一条斜线 ，是的一个法向量，C1CA1BA B1设AB与所成角为，则sin=。例3，如图，正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA，求AC与平面BBCC所成角。NMD1C1B1A1DCBA练习：在正方体ABCD-ABC
3、D中，M、N分别是棱BC、AD的中点，求直线AD与平面BMDN所成角的余弦值。DCBA例4，如图，AB平面BCD，BCCD，AB=BC，AD与平面BCD所成角为30。（1） 求AD与平面ABC所成的角；（2） AC与平面ABD所成角。B1D1A1C1DCBA作业：1.如图，在长方体ABCD-ABCD中BC=，求AC和BD所成角的大小。ED1C1B1A1CBAD2如图，正方体ABCDABCD中，E是CC1的中点，求BE与平面BBD所成角的余弦值。EFC1B1A1ECDBA3.已知直三棱柱ABCABC中，AB=AC ，F为BB上的一点，BF=BC=2a ，FB=a，（1）若D为BC中点，E为AD上
4、不同于A、D的任意一点，求证EFFC；（2）若AB=3a，求FC与平面AABB所成角的大小。NMDCBPA4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形 ，ADBC，PA底面ABCD 且PA=AD=AB=2BC ，M、N分别为PC、PB中点，（1） 求证：PBDM； （2） 求CD与平面ADMN所成角。（06浙江）EDCBPA5、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形， ，ADBC AB=BC=a ，AD=2a，且PA底面AC，PD与底面成30角（1）若AEPD ，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE和CD所成角大小。6、如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，
5、P是侧棱CC上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDDB所成角的正切值为；DPA1C1D1B1CBA（2）在线段AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，DQ在平面APD上的射影垂直于AP，并证明你的结论。（06湖北）7.如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC 。（1）求证：OD平面PAB；（2）当时，求直线PA与平面PBC所成角大小；（3）当k取何值时，O在平面PBC内射影恰好为PBC的重心？ODCAPBPCBA8，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3（1） 求证：ABBC；（2） 设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角大小。（04全国）专心-专注-专业