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1、教师资格初中数学学科知识与能力第三章数学教学知识第一节 数学教学的基本问题（江南博哥）1 单选题 中学数学的( )是沟通教学理论与教学实践的中介与桥梁，是体现教学理论，指导教学实践的“策略体系”和“便于操作的实施程序”。A.教学标准B.教学大纲C.教学策略D.教学模式正确答案：D 参考解析：教学模式是指在一定的教学思想指导下，为了完成某项数学教学任务，实现某种教学任务，在教学过程中，所创设的教学环境的相对稳定的“样式”。而中学数学教学模式是沟通教学理论与教学实践的中介与桥梁。2 单选题 下列说法不正确的是（ ）A.每一学段的目标是指该学段结束时学生应达到的目标B.学生记住概念的定义且能从几个选
2、项中选择出一个有关概念的正确例子意味着学生已经真正理解概念C.对技能的评价不只是考查学生技能的熟练程度，还要考查学生对相关概念的理解与掌握，以及对不同的解题策略的运用D.在实施评价时，教师可以对部分学生采取“延迟评价”的方式正确答案：B 参考解析：对概念的真正理解意味着学生能够自己举出一定数量的有关这一概念的正例和反例；能够在几个概念之间比较它们的异同，并且认识到这些不同的概念所对应的不同解释；能够将概念从文字表达转换成符号的、图象的或口头的表达。3 简答题在现阶段基础教育课程改革中，教师的角色应发生哪些变化? 参考解析：数学教学活动应赋予学生以最多的思考、动手和交流的机会。与此相伴的是，教师
3、的角色要作出改变。 义务教育数学课程标准(2011年版)指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者、合作者”。这就是说，数学课程的一切都是围绕着学生展开的。所以学生是“学习”的主人。再次明确这一点，意在进一步改变传统的数学教学模式，拓宽学生在数学教学活动中的空间。 教师要从一个知识传授者转变为学生发展的促进者；要从教室空间支配者的权威地位，向数学学习活动的组织者、引导者、合作者的角色转变。 教师角色转变的重心在于传统意义上的教师教和学生学，不断让位于师生互教互学，彼此真正形成一个“学习共同体”。表面上看，似乎教师的空问被“压缩”了，实际上标准赋予教师更高的要求、更大的责任和更
4、多的期望。教师的作用，特别要体现在引导学生思考和寻找眼前的问题生活中的问题与自己已有的知识体验之间的关联方面，在于提供把学生置于问题情境之中的机会，在于营造一个激励探索和理解的气氛，在于为学生提供有启发性的讨论模式。4 简答题简述教学的基本原则。 参考解析：教学原则是有效地进行教学必须遵循的基本要求。它既指导老师的教，也指导学生的学，应贯穿于数学教学过程的各个方面和始终。它包括：(1)科学性和思想性的统一原则；(2)理论联系实际原则；(3)目标原则；(4)自发性原则；(5)直观性原则；（6）循序渐进原则；(7)巩固性原则；(8)统一要求和因材施教原则。5 简答题分别解释学习心理学中“同化”与“
5、顺应”的含义，并举例说明“同化”在数学概念学习中的作用。 参考解析：同化是指有机体面对一个新的刺激情景时，把刺激整合到已有的图式或认知结构中。顺应是指当有机体不能利用原有图式接受和解释新刺激时，其认知结构发生改变来适应刺激的影响。同化论，强调新旧知识的相互作用涉及上位学习、下位学习、并列结合学习三种形式：强调概念和命题的不断分化和综合贯通；强调原有知识的巩固及教材由一般到个别的循序组织。实际应用中，要了解学生对新旧知识的掌握程度及接受能力，用耳熟能详的“已知”内容去教导“未知”内容。比如我们在学习椭圆的时候，可以从“圆”类比着来学习。6 简答题在“互联网+”时代，信息技术的广泛应用正在对数学教
6、育产生深刻影响。请简要说明信息技术在数学教育中的影响。 参考解析：在数学教学中，信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人机交流搭建了平台，为学习和教学提供了丰富的资源。教师合理地运用信息技术，可以优化课堂教学，转变教学与学习方式，为学生理解概念创设背景，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观，引导学生自主获取资源。教师合理地运用信息技术，使信息技术与数学课程深度融合，可以实现传统教学手段难以达到的效果。例如，利用计算机展示函数图像、几何图形运动变化过程，利用计算机探究算法、进行较大规模的计算，从数据库中获得数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，
7、帮助学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率。因此，积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。7 简答题在初中阶段，数据分析主要是用平均数、中位数、众数表示数据的集中程度，用极差、方差、标准差表示数据的离散程度。请简要分析在教学加权平均数时需注意的问题。 参考解析：数据的集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，度量集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。加权平均数不同于简单的算术平均数，简单的算数平均数只与数据的大小有关，而加权平均数还与数据的“权”相关，学生对“权”的意义和作用的理解会有困难，
8、数据与“权”往往混淆不清，只会利用公式，而不知加权平均数的统计意义。 在教学过程中，教师应设置问题情境，让学生在针对实际问题中的一组数据时，会根据具体情况赋予适当的“权”，并根据得到的加权平均数对实际问题做出简单的判断。“权”的重要性在于它反映的是数据的相对“重要程度”，在教学过程中，要列举典型的、贴近学生生活和具有现实意义的生活例子，通过实际问题的分析和解决，加深对“权”的理解和体会，渗透平均数和“权”的统计思想，帮助学生从算法、概念、统计三个角度去理解加权平均数。8 简答题义务教育数学课程标准(2011年版)指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符
9、号可以进行运算和推理，得出的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”。请简要分析如何培养学生的符号意识。 参考解析：培养学生的符号意识，必须要有意识、有目的、有计划地渗透于教学的始终，根据学生的认知水平及年龄特点来设计教学任务，分阶段、有重点地逐步培养和发展。具体来说，应着重从以下三方面进行。 运用字母表示数。使用字母是用符号表示数量关系和变化规律的基础，用字母表示数是从算术的具体向代数的抽象的飞跃。使学生经历从具体情境中抽象出数量关系和变化规律的过程，逐步深化理解符号的意义。 运用符号进行运算和推理。运用符号进行运算和推理是数学的基本特征，也是
10、学生必备的能力之一。教师可采用由简入繁的步骤进行符号运算，通过层层推进，使学生掌握符号运算、推理的基本技能。 在运用字母表示数与运用符号进行运算和推理的过程中，使学生逐步感受符号高度的集约性、抽象性、丰富性和精确性以及数学结论的一般性。9 简答题请简述“勾股定理”在中学数学课程中的作用。 参考解析：“勾股定理”是中学数学中一个非常重要的定理，在中学数学课程中具有重要作用： “勾股定理”很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，将学生对几何的感性认识精确化，向学生渗透数形结合思想，使几何学中有关直角三角形的计算及证明问题迎刃而解； “勾股定理”在中学数学中有广泛应用，如线段求长问题，图形折叠
11、问题，解三角形问题等，所以“勾股定理”的学习是对中学数学课程其他几何问题的铺垫和深化； “勾股定理”与生活实际相结合，在中学数学课程的教学中使学生得以感受数学与生活的密切联系。10 简答题举例说明在教学中如何处理“预设”与“形成”的关系。 参考解析：教学从本质上讲就是“预设”与“生成”的矛盾统一体。“预设”是预测与设计是教师在课前对教学进行有目的的，有计划的设想和安排。“生成”是生长和构想，是师生在与教学情境的交互作用以及师生对话互动中超出师生预设方案的新问题、新情况。因此，在新课程理念下的教学设计，应充分考虑学生的知识背景、生活经历与情感体验，在知识学习的过程中，吸引学生的主动参与，处理好预
12、设与生成的关系，是激发学生学习兴趣，引导学生主动探究的关键。 在“勾股定理的应用”教学中这样设计了一堂课：准备了皮尺，把学生带到操场上，让学生分别在体育老师、校长那里获取篮板和教学楼的高度后，提出问题：在篮板的右上角有一只小鸟要飞到教学楼的左上角，请你利用皮尺和所学知识求出小鸟飞行的最短路径(篮板和教学楼的顶端不能到达)。学生开始活动，有的测量篮板顶端与教学楼顶端的水平距离，有的在绘制几何图形，每一个同学都很认真，大家也很开心，乐在其中，课堂上洋溢声和谐、愉悦、轻松的气息。这堂课既训练了学生的数学“建模”思想，又让学生亲历了数学与生活、生产的关系。教学应当在预设与生成的和谐中发展，只有架起教学
13、预设与动态生成和谐的桥梁，才能让智慧之火“激情”燃烧在课堂教学之中。第二节 数学概念、命题与问题解决教学的基本知识1 单选题 中学生的数学思维成分中( )逐渐占据优势，而且发展到第四阶段，学生的自我意识与思维监控能力有了发展与提高。A.创造性思维B.抽象性思维C.形象化思维D.形式化思维正确答案：D 参考解析：我国中学生的数学学习的共同特点：中学生的思维成分中形式化思维逐渐占据优势，而且发展到第四阶段，学生的自我意识与思维监控能力有了发展与提高，中学生的思维发展具有阶段性。2 单选题 义务教育数学课程标准(2011年版)提出，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、
14、运算能力、推理能力和( )。A.探索性学习B.合作交流C.模型思想D.综合与实践正确答案：C 参考解析：在数学课程中，应该注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。3 单选题 为了使乘法定义“求几个相同加数的和的简便运算叫作乘法”中的“几”等于1或0时也有意义，我们规定“a1=a，a0=0”。这种定义属于（ ）A.发生定义B.属加种差定义C.描述性定义D.约定式定正确答案：D 参考解析：约定式定义通常是利用意义已明确的表达式，去规定新引入的表达式的意义。题干所述定义就属于约定式定义。4 单选题 概念的划分是从（ ）方面明确概念的逻辑方法。A.
15、本质属性B.外延和内涵C.外延D.内涵正确答案：C 参考解析：概念的划分是从概念的外延方面明确概念的逻辑方法。5 简答题数学命题的教学中，引入命题有哪些方式? 参考解析：(1)用观察、试验的方法引入命题； (2)用观察、归纳的方法引入命题； (3)由实际需要引入命题； (4)由矛盾引入命题； (5)加强或削弱命题条件引入命题。6 简答题请简要描述数学应用意识及推理能力的主要表现。 参考解析：应用意识主要表现在认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用：面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背
16、景，并探索其应用价值。 推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中。能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。7 简答题简述一元一次方程在中学数学课程中的作用。 参考解析：一元一次方程在中学数学课程中的作用： 一元一次方程是初中数学的重要内容，也是后续学习二元一次方程和一元二次方程的基础； 一元一次方程的教学是以生活实际为背景的教学，可以让学生真正经历模型化的过程，从而初步培养学生的模型思想； 方程、不等式、函数等是对生活实际问题做符号化的表述和研究，而一元一
17、次方程的学习是培养学生符号化思想的基础，为不等式、函数的学习做铺垫： 通过一元一次方程的教学，可以提升学生分析问题、解决问题的能力，使其体会研究数学的规律。8 简答题义务教育数学课程标准(2011年版)指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”请简要分析在实际教学中应怎样培养学生的推理能力。 参考解析：培养推理能力的实质是培养逻辑思维能力。在教学实践中，教师要创设接近学生现实生活的问题情境，鼓励学生以独立思考、合作学习等不同方式对问题进行多角度探究，采取积极有效的策略引导学生进行自主发现。对于演绎推理的教学，要充分体现从说理到严格推理的过渡，把握好循序渐进的教
18、学原则，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程并内化为推理能力。9 简答题给出“有理数”和“实数”的概念，说出二者概念之间的关系，并进一步举例说明。 参考解析：有理数是一个整数a和一个正整数b的比，它是整数和分数的集合。有理数和无理数统称为实数。 如果A概念的外延包含B概念的外延，那么这两个概念之间的关系称为从属关系，其中A概念叫作B概念的属概念(上位概念)，B概念叫作A概念的种概念(下位概念)。结合有理数和实数的概念可以知道，“有理数”是“实数”的种概念，“实数”是“有理数”的属概念，二者概念之间的关系为从属关系。 “平行四边形”相对于“四边形”是种概念，“四边形”相对于“
19、平行四边形”是属概念，“平行四边形”和“四边形”概念之间的关系为从属关系。“平行四边形”和“四边形”均为“矩形”的属概念，所以一个概念的属概念是不唯一的。10 简答题试述数学思想方法教学的主要原则，并举例加以说明。 参考解析：渗透性原则：在具体知识教学中，一般不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴涵在其中的数学思想和方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。 反复性原则：学生对数学思想方法的领会和掌握只能遵循从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的认识规律。因此，这个认识过程具有长期性和反复性的特征。系统性原则：与具体的数学知识一
20、样，数学思想方法只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其整体功能。 明确性原则：从数学思想方法教学的整个过程来看，只是长期、反复、不明确的渗透，将会影响学生认识从感性到理性的飞跃，妨碍学生有意识地去掌握和领会数学思想方法。 例如，在讲函数性质时可渗透数形结合思想。11 简答题如何理解数学思想?以分类思想为例，先从学生学习数 参考解析：(1)数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。 (2)分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会
21、遇到分类的问题，如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。 (3)在数学教学活动中，教师要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，有助于学习新的知识，有助于分析和解决新的数学问题。12 简答题结合实例(以初中为例)说明中学生是怎样学习数学概念、数学命题的。 参考解析：数学概念的学习可分为两种基本形式：概念的形成，概念的同化。 (1)概念的形成是
22、通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念，这种获得概念的方式叫概念的形成。如学习函数的单调性的概念可采用如下的步骤： 第一，让学生分别指出下列例子中的变量以及变量之间的关系的表达式； 以每小时40千米匀速行驶的汽车所驶过的路程和时间； 用表格所给出的某水库的存水量与水深； 由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时间； 任何整数的平方运算中，底数与它的二次幂； 第二找出上述各例中两变量之间关系的共同的本质属性。 第三，学生以第二步中明确的函数的本质属性为依据，辨别若干正反面的例子。 第四，在以上几步的基础上，抽象、归类、概括出函数的定义。 (2)概念的同
23、化是以定义的形式给出，由学生主动地与自己认识结构中原有的有关概念相互联系，相互作用以领会它的意义，从而获得新概念。 如。学习梯形的概念：“梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形”。这时学生要主动积极地与自己认知结构中原貌的概念(如平行四边形的概念)区别开来，并相互贯通组成一个整体，纳入原有的概念体系之中；最后通过例题的学习与练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。13 简答题函数知识一直是中学代数内容的主线，是研究代数、三角函数、数列、方程和不等式等初等数学内容的基础，函数思想又是数学解题中的重要思想，这就决定了函数在中学数学中的重要地位。请结合自己的教学说
24、明如何进行函数概念的教学，谈谈利用函数思想解决问题时，重点要注意的问题是什么，并举出两个你印象最为深刻的利用函数思想解题的例子。 参考解析：在进行函数概念教学时，第一，要从实际背景和定义两方面帮助学生理解函数的本质。从学生容易掌握的描述性定义入手。构建函数的一般概念后，通过对一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数的研究，结合图形分析，加强学生对函数概念的理解。这里注意函数体现着变量之间的关系，而不仅仅是一种表达类型。 第二，弄清楚函数与代数式、方程的关系。初中代数课程到了函数阶段，是对前面的知识的提炼升华，函数把多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了有机地整合。因此，弄清概念之间的关系是学
25、习函数的重要基础。 第三，利用数量关系建立函数模型。在教学中，以数量关系的发现作为基础，引出函数的结构模型，尤其是从实际事例中寻找函数关系，构造事物变化过程中的具体函数模型。 第四，注意函数的几种表征形式的联系与转化。教学中，用列表法、图象法、解析法表示函数，实质上是说明一种依赖关系的不同呈现方式。图示法可以直接由表格生成，也可改换角度，用另一种方式加以解释。几种表征形式的整合，可以更好地让学生理解概念之间的关系和解决问题。 第五，注重函数概念的形成过程。教学中，先进行具体的操作运算或作图，然后进行特定的思考和演算过程，接着把所学的函数概念形成一个独立的数学对象加以研究，最后在学生头脑中形成一
26、个该函数概念的思维模型，得到比较抽象的数学符号表达式和抽象意义，加以理解确认。利用函数思想解决问题时要注意的问题：函数知识的横向、纵向联系；把函数、方程、不等式看成一个整体；将函数性质、特征与图象紧密结合；二次函数的综合运用：实际问题通过建立函数模型解决等。(举例略)14 简答题“圆周角”是初中九年级的上册的内容，是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上对圆周角的性质的探索，圆周角的性质在圆的有关证明、作图、计算中有着广泛的应用。 回答下列问题： (1)确定“圆周角”一课的教学目标和教学重难点；(12分) (2)根据教材，设计“圆周角”一课引入的教学片段。要求：引导学生经历从实际背景
27、抽象概念的过程。(12分) (3)分析圆周角与圆心角的不同。(6分) 参考解析：(1)教学目标 知识与技能：理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能够运用它们进行论证和计算，过程与方法：经历圆周角定理的证明，了解分情况证明命题的思想和方法，体会类比、分类的数学思想；情感态度与价值观：通过圆周角定理的证明向学生渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认识规律。 教学重点、难点 重点：圆周角的概念和圆周角定理。 难点：认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。 (2)导入过程： 导入出示图例：如图是一个圆柱形的海洋馆的截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧AB观看窗内的海洋动物，同学们甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(AOB和ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站乙的其他靠墙的位置D和E，他们的视角(BDA和AEB)和同学乙的视角相同吗? (3)圆心角与圆周角的不同点为：圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆周上。圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数等于它所对弧的度数一半，即为圆心角的一半。一段圆弧对应的圆心角只有一个，对应的圆周角有很多个。