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1、精选优质文档-倾情为你奉上最短路径问题的反思及应用 我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义。学生对于课本上例题或习题能否吃透，直接影响着学生的学习效果。因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵。 有这样一个问题： 如图1所示，牧马人从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短? 分析 我们把河边近似看做一条直线 (如图2)，为直线上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点在直线的什么位置时，与的和最小。 如图3所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点就是牧马人到河边饮马的位置。事
2、实上，点与点的线段最短，由对称性质知，因为，即点到点、的距离之和最小。 上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想，转化思想，对称思想。如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃而解。 一、基本应用如图4，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕的长为多少?分析 沿折叠后，点恰好与点重合，则点、点关于直线对称，点是矩形的中心，知。所以，又在中，若设，则，得，（舍去
3、），所以。 二、拓展应用如图5两条公路、相交于点，在两条公路之间的点有一个油库，若要在公路、上各设置一个加油站和，设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油站 (或)，再到另一个加油站 (或)，最后回到油库所走的路程最短，即最小。 分析 要比较封闭曲线间的长度大小是有些困难的，我们仍然利用轴对称的方法，找到关于、的对称点、，连接，由对称性易知：，此时，欲使最小，应在，上取、点为分别与、的交点，此时的周长最小。 三、灵活运用 如图6，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外点爬到桶内点去寻找食物，已知点到桶口的距离为12cm，点到桶口的距离为8cm，弧长为15cm，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走? 分析 将圆柱侧面展开得如图7，这样所求问题可化为在上求一点，使得最小，因此，作点关于的对称点，连接，交于点，线段就是最短的路线长，即蚂蚁应该沿到的路线走最短。过作交的延长线于，则，根据勾股定理得。故蚂蚁爬行的最短路线为。 本题将该模型思想迁移到空间几何问题中运用，其解决问题的基本思路是“化曲为平”，把立体几何问题转化为平面几何问题来思考。专心-专注-专业