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1、精选优质文档-倾情为你奉上BAOxylPC1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.解：（1）由题意得， ，且 ，解得 则，所以椭圆的标准方程为 （2）当轴时，又，不合题意当与轴不垂直时，设直线的方程为，将的方程代入椭圆方程，得，则，的坐标为，且若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意从而，故直线的方程为，则点的坐标为，从而因为，所以，解得此时直线方程为或2.已知椭圆的离心率为，一个交点到相应的
2、准线的距离为3，圆N的方程为为半焦距）直线与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A、B.（1）求椭圆方程和直线方程；（2）试在圆N上求一点P，使。3.如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积； （2）记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； 求的取值范围解：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即， 联立，解得或（舍），即 2分连BF，则直线BF：，即，而， 4分故 5分（2）解法一：
3、设，且，则直线PM的斜率为，则直线PM的方程为，联立化简得，解得，8分 所以， 所以为定值 10分 由知，所以， 13分令，故，因在上单调递增，故，即的取值范围为16分解法二：设点，则直线PM的方程为，令，得. 7分所以，所以（定值）.10分由知，所以 = 13分 （第4题图） 令，则，因为在上单调递减，所以，即的取值范围为 16分4.如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），为坐标原点.（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围.解：（1） 直线的方程为：，直线的方程为： 4分由解得： 点的横坐标为 6分（2）设 ， 即 9分联立方程得：
4、，消去得：，解得：或 12分 解得：，综上，椭圆离心率的取值范围为15分 5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. （1）求椭圆的方程; （2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由; （3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.解：（1）因为左顶点为，所以，又，所以.2分又因为，所以椭圆C的标准方程为. 4分（2）直线的方程为，由消元得，.化简得，所以，. 6分当时，所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.8分直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立
5、，所以即因此定点的坐标为. 10分（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，12分由，得 14分，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为 16分yxOF1F2BC（第17题）D6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(ab0)的两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且经过点(，) （1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4求k1k2的值；求OB2+OC2的值解：（1）方法一：依题意，c=，a2=b2+3，2分由，解得b2=1(b2=，不合，舍
6、去)，从而a2=4故所求椭圆方程为：离心率e= 5分方法二 由椭圆的定义知，2a=4，即a=2又因c=，故b2=1下略（2）设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(-x1，-y1)，于是k1k2= 8分方法一由知，k3k4=k1k2=，故x1x2=所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2=，所以，=411分又2=，故所以，OB2+OC2 =5 14分方法二由知，k3k4=k1k2=将直线y=k3x方程代入椭圆中，得9分同理，所以，=411分下同方法一7.如图，已知椭圆其率心率为两条准线之间的距离为分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.（1）椭圆的标准方程；
7、 （2）若的面积是的面积的倍，求的最大值.解：（1）由题意，解得，所以，椭圆方程为 4分（2）解法一： ， 6分直线方程为：，联立，得，所以到的距离， 直线方程为：，联立，得8分所以，所以，10分所以，所以， 令，则，14分当且仅当，即时，取“”， 所以的最大值为16分解法二：直线方程为，联立，得， 6分直线方程为：，联立，得， 8分 10分， 12分令，则，14分第18题当且仅当，即时，取“”，所以的最大值为 16分8.如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一
8、象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）由，设，则，所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为 5分（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，由点的坐标为，所以，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解得，又过原点，于是，所以直线的方程为，所以点到直线的距离，10分（3）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时， 由，解得，所以若存在点，此时，为定值2. 12分根据对称性，只需考虑直线过点，设
9、，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，又，所以，将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值216分xyAOBCDMN(第18题图)9.如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.（1）求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值.解：（1）因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2 2分故椭圆方程为1由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限由解得A(b，b)又AB2，所以OA，即b2b25，解得b23故a，b5分（2）方法一：由（1）知，
10、椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2从而k1 kCB 所以kCB 8分同理kDB于是直线AD的方程为y1k2(x2)，直线BC的方程为y1(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2
11、)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 16分方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2显然k1k2直线AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0设点C的坐标为(x1，y1)，则2x1，从而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC 8分所以直线BC的方程为y1(x2)又直线AD的方程为y1k2(x2)由解得从而点N的坐标为(
12、，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，则由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 16分10.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：，的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，
13、直线BM交椭圆C于点P（1） 求椭圆C的方程；（2） 求证：APOM；（3） 试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由11.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为（1）求椭圆的标准方程； （2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求面积的最大值解：（1）由题意得，解得，所以，所以椭圆的标准方程为4分（2） 设，显然直线的斜率都存在，设为， 则，所以直线的方程为：，消去得，化简得，故点在定直线上运动10分（3） 由（2）得点的纵坐标为，又，所以，
14、则，所以点到直线的距离 为， 将代入得，所以面积，当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为 16分12.如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，且是边长为的等边三角形. 求椭圆的方程；过右焦点的直线与椭圆交于两点，记，的面积分别为.若，求直线的斜率.13.在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，C， D分别为线段OA， OB上的动点，且满足AC=BD.（1）若AC=4，求直线CD的方程;（2）证明：OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).解析：(1) 因为，所以，1分又因为，所以，所以，由，得， 4分所以直线的斜率，所以直线的方程为，即6分（2)设，则7分则，因为，所以，
15、所以点的坐标为 8分又设的外接圆的方程为，则有10分解得,所以的外接圆的方程为，12分整理得，令，所以（舍）或所以的外接圆恒过定点为14分14.如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点若直线斜率为时，（1）求椭圆的标准方程；（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论解：（1）设，直线斜率为时，分，椭圆的标准方程为 分（）以为直径的圆过定点设，则，且，即，直线方程为： ， ，直线方程为： ， 分以为直径的圆为，即， 12分，令，解得，以为直径的圆过定点16分（第18题）15.如图，在平面直角
16、坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值解（1）由题意，得，故， 从而， 所以椭圆的方程为 5分 （2）证明：设直线的方程为， 直线的方程为， 7分 由得，点，的横坐标为， 由得，点，的横坐标为， 9分 记，则直线，的斜率之和为13分 16分16.椭圆的右焦点为，右准线为，离心率为，点在椭圆上，以为圆心，为半径的圆与的两个公共点是（1）若是边长为的等边三角形，求圆的方程；（2）若三点在同一条直线上，且原点到直线的距离为，求椭圆方程解：设椭圆的半长轴是，半短轴是，半焦距离是，由椭圆的离心率为，可得椭圆方程
17、是，2分（只要是一个字母，其它形式同样得分，）焦点，准线，设点，（1）是边长为的等边三角形，则圆半径为，且到直线的距离是，又到直线的距离是， 所以，所以所以，圆的方程是。6分（2）因为三点共线，且是圆心，所以是线段中点，由点横坐标是得，8分再由得：，所以直线斜率10分直线：，12分原点到直线的距离，依题意，所以，所以椭圆的方程是15分M A P FOx y 17.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的左焦点为，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线PA的斜率为，直线MA的斜率
18、为，求的取值范围解：（1）由已知，得，18.已知椭圆E：过点，且离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由解法一：()由已知得 解得 所以椭圆E的方程为故所以，故G在以AB为直径的圆外解法二：()同解法一. ()设点，则由所以所以不共线，所以为锐角 故点G在以AB为直径的圆外19.如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。求椭圆T与圆O的方程；过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）.P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；若，求与的方程.解: (1)由题意
19、知: 解得可知:椭圆的方程为与圆的方程4分(2)设因为,则因为 所以,7分因为 所以当时取得最大值为，此时点9分(3)设的方程为,由解得；由解：11把中的置换成可得，12分所以，由得解得15分所以的方程为，的方程为或的方程为，的方程为16分20.已知圆过点,且与圆:关于直线对称.(1)求圆的方程； (2)设为圆上的一个动点,求的最小值；(3)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.解:(1)设圆心,则,解得 (3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(5分)(2)设,则,且 (7分)=,所以的最小值为 (可由线性规划或
20、三角代换求得)(10分)(3)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,由,得 (11分) 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13分) 同理,所以= 所以,直线和一定平行 (16分)21.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为 （1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.解：（1）设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得，或，故所求直线的方程为：或 （3）设，的中点，因为是圆
21、的切线所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为： 化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或 所以经过三点的圆必过定点或. 22.已知椭圆E：的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B，C （1）求证:直线BO平分线段AC； （2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q恒在一定直线上解:（1）由题意，则，故椭圆方程为，即，其中，直线的斜率为，此时直线的方程为，联立得，解得（舍）和，即，由对称性知 直线BO的方程为，线段AC的中点坐标为，AC的中点坐标满足
22、直线BO的方程，即直线BO平分线段AC（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为，点，则，设，则，求得，由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线上23.椭圆C： 两个焦点为，点P在椭圆C上，且,，.(1)求椭圆C的方程. (2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个;若不存在，请说明理由.解：(1) ，又， , 所求椭圆C的方程为.(2)假设能构成等腰直角三角形ABC，其中，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为， ,则边所在直线的方程为.由得,故， 用代替上式中的，得,由 即即 故存在三个满足
23、题设条件的内接等腰直角三角形.24.已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足OABMxy（1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值OABMxy解：（1）将与代入椭圆的方程，得，（2分）解得，所以椭圆的方程为（6分）（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时（1分）同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时（2分）若点、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），则直线的方程为设，由，解得，（4分）所以，同理可得，所以（7分）综上，为定值（8分）25.已知左焦点为F(1，0)的椭圆过
24、点E(1，)过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1； （3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标解：依题设c=1，且右焦点(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的椭圆的标准方程为 4分(2)设A(，)，B(，)，则，得 所以，k1= 9分(3)依题设，k1k2设M(,)，直线AB的方程为y1=k1(x1)，即y=k1x+(1k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得 于是，11分同理，当k1k20时，直线MN的斜率k=13分直线MN的方程为，
25、即 ，亦即 此时直线过定点15分当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点综上，直线MN恒过定点，且坐标为 16分26.已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点（1）求椭圆的标准方程； （2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A,P,Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.2分, , 2分 椭圆的标准方程为.4分（2）证明：设点 将带入椭圆，化简得：,6分 , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.7分（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆
26、心为（）,PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 8分圆心（）满足，所以,9分圆过定点(2,0)，所以,10分圆过, 则 两式相加得： ,11分, .12分因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，由解得: 13分代入圆的方程为：,整理得：,14分所以：15分 解得：或(舍). 所以圆过定点(0,1).16分(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:.8分方程与方程为同解方程., 11分圆过定点(2,0)，所以 , 12分 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以.解得: ,13分 (以下相同). .27.如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆（1） 若过点的直
27、线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2） 设动圆同时平分圆的周长、圆的周长. 证明：动圆圆心在一条定直线上运动； 动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.解：思路一：设圆：（）， 易得圆：， 圆：， 由得，将代入得， 由得，将代入得， 代入得，整理得， 由得或 所以定点的坐标为， 思路二（几何方法）：利用定点M在直线C1C2上，C1C2的中点为N，动圆圆心C满足CC12+12=r2= CN2+CM2，则CM2= CN2 CC12+1= C1N2+1=9，进而得出结论28.如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：，点F（1，0），E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与
28、CE交于点B，与EF交于点D。求点B的轨迹方程； 当D位于轴的正半轴上时，求直线PQ的方程； 若G是圆上的另一个动点，且满足FGFE。记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由。解：(1)由已知，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆，所以点的轨迹方程为；4分 当点位于轴的正半轴上时，因为是线段的中点，为线段的中点，所以，且，所以的坐标分别为和，7分因为是线段的垂直平分线，所以直线的方程为，即直线的方程为 10分设点的坐标分别为和，则点的坐标为，因为点均在圆上，且，所以 13分所以，所以，即点到坐标原点的距离为定值，且定值为16分OxyAB
29、l29.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且求证：原点O到直线AB的距离为定值；求AB的最小值解：（1）由题意，可设椭圆C的方程为，焦距为2c，离心率为e于是设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为，则，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以3分因为 所以椭圆方程为5分（2）设原点到直线的距离为h，则由题设及面积公式知当直线的斜率不存在或斜率为时，或 于是 7分当直线的斜率存在且不为时，则，解得 同理9分在RtOAB中，则，所以综上，原点到直
30、线的距离为定值11分另解：，所以因为h为定值，于是求的最小值即求的最小值 ， 令，则，于是， 14分因为，所以，当且仅当，即，取得最小值，因而所以的最小值为16分30.在平面直角坐标系xoy中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为.（1）求点P的轨迹方程； （2）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为。 求圆M的方程；当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由。解：（1）设，则直线的斜率分别为2分 由题意知，即所以动点的轨迹方程是4分（说明：没有范围扣1分）（2）（）由题意所以线段的垂直平分线方程为 6分设，则圆的方程为圆心到轴的距离，由，得，所以圆的方程为 10分（）假设存在定直线与动圆均相切当定直线的斜率不存在时，不合题意设直线：则对任意恒成立 由 12分得所以，解得或所以存在两条直线和与动圆均相切 16分（说明：少一条直线扣1分）专心-专注-专业