第七章-参数估计(共25页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1. 什么是参数估计？（基本概念、参数估计）答：一个总体 的分布函数，可以用 表示，其中 是一个未知的参数或参数向量（多个参数）。比如 ， ，其中 是未知参数。又如 ，则 是未知参数向量。在实际问题中，总体 的参数 通常都是未知的，我们需要通过样本提供的信息，对参数 作一个基本的估计。这就是参数估计问题。参数估计问题可以分为点估计和区间估计两大类。2. 什么是点估计？（基本概念、点估计、估计量、估计值）答：设总体 的分布函数的形式已知，它含有一个或多个参数是未知的，借助于总体 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。具体描述如下：设总体 的分布函数

2、为 ，其中 为未知参数。从总体 中抽取样本 ，其观察值为 。构造某个统计量 ，用它的观察值 来估计未知参数 ，则称 为 的估计值，称 为 的估计量，它是一个随机变量。估计量和估计值称为 的一个点估计。点估计值或点估计量都可以简记为 。有两种基本的点估计法：矩估计和极大似然估计。例如：某厂生产电子元件，电子元件的寿命 服从正态分布 ，当电子元件的平均寿命未知，即参数 是未知的。若抽查了200个电子元件，测得这200个电子元件的平均寿命 个小时，这个 个小时就可以做为电子元件平均寿命 的一个点估计。3. 什么是矩估计法？（基本概念、点估计、矩估计、矩估计量）答：设总体 的分布函数 中， 为 维未知

3、参数。假定总体 的前 阶原点矩都存在，则这些矩都可表为 的函数，即取 阶样本原点矩做为总体 阶原点矩的估计量，则有方程组其中 。利用上面的方程组可以解出 ，即有则 叫做 的矩估计量。这种方法叫做参数的矩估计方法。注意，在利用矩估计法估计参数时，有 个未知参数就要使用直到 的原点矩。矩估计方法的理论解释如下：若总体 的 阶原点矩 存在，则样本 阶原点矩 有 。这样，当 充分大时， 阶样本原点矩 与 阶总体原点矩 会充分接近。因而是一个合理的估计。利用矩估计来估计参数一般分为下面三个步骤：（1） 根据参数的个数，求总体的各阶原点矩；（2） 用各阶样本原点矩代替总体原点矩，为了加以区别通常在参数上加

4、一个尖角符号，如 ；（3） 解关于矩估计量的方程；（4） 若给出了样本观察值，代入求得的矩估计量得到估计值。4. 设总体 服从任何分布，且 的期望 和方差 均存在，这里 和 是两个未知参数，求 和 的矩估计量。（例题、点估计、矩估计）解：因为有两个未知数，故将总体的前二阶原点矩表为参数的函数，即再用前二阶样本原点矩代替总体原点矩，有解出 和 ，得到估计量这个结果可以直接使用。例如：总体 ，其中 为未知参数， 为来自总体 的样本，求 的矩估计量。根据Gamma分布的性质可知， ，由前面的结论可知，解之得到 ，这就是 的矩估计量。5. 设总体 在 上服从均匀分布， 未知， 是一个样本，求 的矩估计

5、量。（例题、点估计、矩估计、均匀分布）解：因为有两个未知数，故将总体的前二阶原点矩表为参数的函数，即再用前二阶样本原点矩代替总体原点矩，有解出 和 ，得到估计量6. 设 为来自总体 的样本， 是样本观察值，总体 有密度函数 ，求 的矩估计量。（例题、点估计、矩估计）解：因为分布只有一个参数，所以只需要一阶总体原点矩，即总体均值。用一阶样本原点矩代替总体一阶原点矩，得到，解得估计量为 ，估计值为 。7. 什么是极大似然估计法？（基本概念、极大似然估计法、似然函数）答：极大似然估计法是估计总体参数的一种点估计法。描述如下：（1） 首先给出似然函数的定义：设总体 是离散型随机变量，分布律为 ，其中

6、是未知参数。当样本 得到一组观察值 时，由样本的独立同分布性，记若总体 是连续型随机变量时， 的概率密度函数为 ，其中 为未知参数。若取得样本观察值为 ，记称 为似然函数。（2） 设总体 仅含一个未知参数 ，并且总体的分布函数或密度函数已知， 为一组样本观察值。若存在一个值 ，使得 时， ，则称 是 的极大似然估计值，而统计量 称为 的极大似然估计量。由定义可知，极大似然估计值可由方程 解得。当由于 和 在 的同一值处取得最大值，因而也可以利用方程 解得，这个方程通常用在似然函数中含有指数函数的时候。（3） 当总体 的分布中含有多个未知参数，即 时，似然函数为 。求解方程组由这个方程解得的 分

7、别是 的极大似然估计值。（4） 需要注意，当方程 无解时，极大似然估计值应选择这样的 ，使得 。（5） 极大似然估计法的思想：一随机试验有若干个可能的结果，如果在一次抽样中某一结果出现了，便可以认为这一结果是诸个可能的结果中出现概率最大的一个。因此，参数 应该这样估计，即选择 ，使得似然函数取得最大值。8. 设 为来自总体 的样本， 是样本观察值，总体 有密度函数 ，求 的极大似然估计量。（例题、点估计、极大似然估计）解：设 是一组样本观察值，则参数 的似然函数为，两边取自然对数得到。令， ，解得 的极大似然估计值为 ，极大似然估计量为 。9. 这总体 ， 为样本观察值，求 的极大似然估计值和

8、极大似然估计量。（例题、点估计、极大似然估计、二项分布、离散型）解：总体 的分布律为 ，所以似然函数为令 ，解得 的极大似然估计值为其中 ，而 的极大似然估计量为 。10. 设总体 ，其中 都是未知参数。 为样本观察值。求 及 的极大似然估计值。（例题、极大似然估计法、正态分布、连续型）解：似然函数为，令，解得 和 的极大似然估计值为 ，故 和 的极大似然估计量为。11. 这总体 ， 是未知参数， 为样本观察值。求 的极大似然估计，并验证极大似然估计量是有偏的。（例题、极大似然估计法、均匀分布、无偏性）解： 的密度函数为 ，则似然函数为，由于 ，在 时无解，所以无法由该方程解出极大似然估计值

9、。但 在 时为单调递减函数， 越小 越大。另一方面，每个 应满足 ，故当 时， ，所以 的极大似然估计值为 ，极大似然估计量为 。令 ，则 。已知总体的分布函数为 则 的分布函数为，其密度函数为 ，所以。从而 ，所以估计量是有偏的。12. 设 是来自指数分布总体 的一个样本观察值，求 的极大似然估计量。（例题、极大似然估计法、指数分布）解：构造似然函数又 ， ，因为当 时， 无解，注意到 随着 的增大而增加，且每个 大于零，所以令 ，此时似然函数仍可以取到最大值；当 时，可得 。从而得到 的极大似然估计量为， 。13. 什么是统计量的评选标准？（基本概念、统计量、评选标准）解：对于总体中的参数

10、或参数向量 ，任何一个统计量都可以作为它的估计量。目前最常用的求估计量的方法是矩估计法和极大似然估计法。问题是，我们如何在众多的统计量中选择一个最好的呢？需要建立一些评选的标准。（1） 无偏性：设 的数学期望等于参数 ，即 ，则称 是参数 的无偏估计量。反之称为有偏估计量。（2） 有效性：设 和 是 的两个无偏估计量，若 ，则称 比 有效。在从多的估计量中，首先选取无偏的估计量；若选择的估计量都是无偏的，则进一步选择有效的统计量。14. 设总体 服从任意分布，且 ， 。 是样本，证明样本均值 和样本方差 分别是 和 的无偏估计量。（例题、无偏性）解：这可以直接根据无偏性的定义来验证。，15.

11、这总体 ， 是未知参数， 为样本观察值，证明： ， 都是 的无偏估计量，并比较哪个更有效。（例题、无偏性、有效性、均匀分布）证明：根据均匀分布的性质可知， 的分布函数为 ，令 ， ，根据Max、Min型随机变量的性质可知， ，其密度函数为 ； ，其密度函数为 ，所以，；，所以两个都是无偏估计量。下面分析哪个统计量更为有效。所以， ，很显然，当 时， ，因此 ，从而 比 更有效。16. 设从均值为 方差为 的总体中抽取容量为 的两个独立的样本， 和 分别为两个样本的样本均值，证明： （其中 ， 为任意常数）是 的无偏估计量，问当 取何值时， 是最有效的估计量。（例题、无偏性、有效性）证明：首先计

12、算 ，注意由于样本是独立的，所以 和 也是独立的，且它们都是总体均值的无偏估计量。，所以是无偏估计量。，由于 代入后得到 ，我们需要选取适当的 ，使得 最小，也即要求下式成立： ，解得 ， 。17. 统计量和估计量的区别。（统计量、估计量）答：所谓统计量是指，若 为来自总体 的一个容量为 的样本， 是 的函数，且其中不含任何未知参数，则称这类样本函数 为统计量。所谓估计量是指，若 是总体 的待定参数，用一个统计量 来估计 ，则称 为 的估计量。统计量和估计量既有区别又有联系。18. 什么是置信度、置信上限和置信下限，以及区间估计？（基本概念、置信度、置信水平、置信上限、置信下限、区间估计）答：

13、设总体 的分布函数 含有未知参数 ， 是来自总体的一个样本。 和 是两个统计量。若对给定的概率 ， ，有 ，则称随机区间 为参数 的置信度为 的置信区间。 分别称为置信上限和置信下限。 称为置信度或置信水平。若给定样本观察值 ，代入 ，得到实数区间 这也叫做置信区间。对于给定的置信度 ，如何根据样本来确定未知参数 的置信区间 ，就是参数 的区间估计问题。19. 区间估计的基本思想和步骤。（区间估计）答：基本思想：利用总体的样本观察值，使用参数的点估计，可以求得未知参数 的估计值。但是由于样本是随机的，从而样本观察值也是随机的，我们无法知道这个估计值与参数 的真值之间是否有误差，若有误差，误差在

14、什么范围内。因而我们期望能找出一个区间，使得参数 落入该区间内的概率是可以计算的，这样就能够在一定的可靠程度下得出妒忌之可能的最大误差。需要注意的是，一般取 很小，也就是置信度 较大，使得参数 的真值落在区间外的事件是一个小概率事件，但是 越小，则所得到的区间就越大，此时估计的误差也越大。步骤：假设给定置信度为 。（1） 设 是总体的样本，取一个 的教优的点估计 ，最好是无偏的；（2） 从 出发，找一个样本函数 ，其分布已知，且只含有惟一一个未知参数 ， 的分位点可以从表中查到；（3） 查表求得 的 及 分位点 ，使得 ；（4） 从不等式 中解出 ，得出其等价形式 。于是 是 的置信度为 的置

15、信区间。这时有 。区间 称为双侧置信区间。类似地，可以得到单侧置信区间，使得 或 。20. 一个正态总体下未知参数地置信区间。（区间估计、一个正态总体）答： 在下面地描述中，我们总是假设总体 ， 是来自总体 的一个样本，置信度为 。 已知 ，求总体均值 的置信区间。由于总体方差已知，且 是 的去片估计，所以取样本函数 （注意样本函数中只包含我们要讨论的一个参数），显然 。通过计算可知，于是得到 的置信度为 置信区间为 ，其中 为标准正态分布的 分位点。 未知，求总体均值 的置信区间。由于总体方差未知，我们借助样本方差，取样本函数为 ，简单计算后，可知，于是得到 的置信度为 置信区间为 ，其中

16、是 分布的 分位点。 未知时，总体方差 的置信区间。由于总体均值未知，而且样本方差 是 的无偏估计量，所以选取样本函数为 ，对于给定的置信度 ，有 。因此，总体方差 的置信度为 的置信区间为 ，其中 分别是 分布的 和 分位点。进一步可以得到总体标准差 的置信度为 的置信区间为 。21. 两个正态总体下未知参数地置信区间。（区间估计、两个正态总体）答：在下面地描述中，我们总是假设总体 ， ， 和 是来自总体 和总体 的样本，其样本均值和样本方差分别为 ， ， ， ，置信度为 。 都已知，求总体均值差 的置信区间。由于 是 的无偏估计，所以考虑样本函数 ，对于给定的置信度 ，有，得到 的置信度为

17、 的置信区间为，其中 为标准正态分布的 分位点。 都未知，但 ，求总体均值差 的置信区间。由于 都未知且相等，选取样本函数 ，其中 。对于给定的置信度 ，有，得到 的置信度为 的置信区间，其中 是 分布的 分位点。 当 未知时，总体方差比 的置信区间。取样本样本函数为，对于给定的置信度 ，有，故 的 的置信区间为，其中 分别为 分布的 和 分位点。22. 参数的点估计是区间估计的一种特殊形式？（点估计、区间估计）答：不正确。所谓参数的点估计是指，找到一个估计量 作为待定参数 的一个近似。其近似程度由估计量的无偏性、有效性和一致性来判断。若在估计待定参数时考虑这种近似的误差范围，就需要在一定的置

18、信度下考估计 落在 的某个范围内。例如：已经知道 是总体均值 的一个点估计。对于正态总体，若给定置信度 ，且总体方差已知为 ，可知总体均值 落在区间 内的可能性为 ，这就是区间估计。23. 若总体 的期望 和方差 均存在， 是 的一个样本，则 和 都是 的无偏估计量，但 比 更有效。（例题、无偏性、有效性）答：正确。可以根据无偏性和有效性的定义直接计算判断。同理所以 和 都是无偏估计量。又，显然， ，所以 比 更有效。24. 从一批零件中抽取10枚，测得零件的长度为（单位：cm）3.12，3.11，3.13，3.12，3.14，3.13，3.10，3.11，3.12，3.11，设零件的长度服从

19、正态分布。在下列的两种情况下求总体均值 的置信度为90的置信区间。（1）已知 （cm）；（2） 未知。（例题、区间估计、一个正态总体、总体均值）解：（1）已知 ， ， ，选取样本函数为 ，可知置信区间为 。经过计算可知样本均值为1.645，于是 ，所以 的置信度为90的置信区间为 。（2）当 未知时， ， ，选取样本函数为 ，置信区间为 ，查表可知 ，计算可知 ，所以,，所以 的置信度为90的置信区间为 。25. 设某厂生产的一批零件，零件重量服从正态分布，抽取8个零件称得零件重量为（单位：克）120，121，119，118，121，120，121，121，求方差 与标准差 得置信区间 。（例

20、题、区间估计、一个正态总体、总体方差）解：由于总体均值未知，选取样本函数 ，置信区间为 ，标准差的置信区间为 。经过计算可知， ， ， ，所以， 置信度为0.95得置信区间为 ，标准差的置信区间为 26. 从两批零件中抽取样本，从第一批抽取10个零件，测得零件的长度为（单位：cm）3.12，3.11，3.13，3.12，3.14，3.13，3.10，3.11，3.12，3.11；从第二批抽取8 个零件，测得零件的长度为（单位：cm）3.11，3.12，3.11，3.10，3.13，3.12，3.11，3.11，设两批零件的长度都服从正态分布，且总体方差相同。求 的置信度为90的置信区间。（例题

21、、区间估计、两个正态总体、总体均值差）解： 未知， ， ，选取样本函数为 。置信区间为 ，经过计算可知 ， ， ，所以，。故，总体均值差的置信度为0.95的置信区间为 。27. 从两批零件中抽取样本，从第一批抽取10个零件，测得零件的长度为（单位：cm）3.12，3.11，3.13，3.12，3.14，3.13，3.10，3.11，3.12，3.11；从第二批抽取8 个零件，测得零件的长度为（单位：cm）3.11，3.12，3.11，3.10，3.13，3.12，3.11，3.11，设两批零件的长度都服从正态分布，且总体方差相同。求 的置信度为90的置信区间。（例题、区间估计、两个正态总体、总

22、体方差比）解： ， ，选取样本函数为 ，置信区间为 。， ， ,总体方差比的置信度为0.95的置信区间为 。28. 什么是单侧置信限？（概念、单侧置信限）答：设总体 的分布函数 中含有未知参数 ， 是来自总体 的一个样本。若存在统计量 ，使得 ，则称 为参数 的置信度为 的单侧置信下限。若存在统计量 ，使得 ，则称 为参数 的置信度为 的单侧置信上限。29. 为估计制造某种产品所需的单件平均工时（单位：小时），限制造5件，记录每件所需工时如下：10.5，11，11.2，12.5，12.8。设制造单件产品所需工时 ，试求总体均值的95单侧置信下限和方差 的96单侧置信上限。（例题、区间估计、单侧

23、置信上限、单侧置信下限）解：（1）总体均值的95单侧置信下限由于总体均值和总体方差都是未知的，取样本函数为 ，于是 ，即 。所以 的 单侧置信下限为 。通过计算可知， ，且 ，查表知 ，故。即制造单件产品平均工时最少为10.65小时。（2）方差 的96单侧置信上限取样本函数为 ，从而 ，即 ，于是 的 单侧置信上限为 。通过计算可知， ，查表得 ，于是， ，即 的95单侧置信上限为5.598。30. 某单位生产一批零件，零件的长度服从正态分布 ，按照要求零件长度的标准差不能超过0.4mm，现随机抽取8个零件，测得零件长度为（单位：mm）10.1，10.2，10.3，10.1，10.2，10.3，10.1，10.3，当置信度为95时，估计这批令件是否符合要求。（例题，区间估计、单侧置信限）解：显然这是一个单侧置信上限的问题。假设 的单侧95的置信上限为 ，从而 。如果 ，则当 时，必有 ，此时, ，这样 以不小于95的置信度符合要求；如果 ，此时若要求 必有 ，故 ，这样 满足要求的置信度达不到95。下面计算置信上限 ，并与0.4比较。由于总体均值未知，所以选取样本函数为 ，此时的单侧置信上限满足 ，即 ， 所以 的 单侧置信上限为 ，从而 的单侧置信上限为 。通过计算可知， ，查表可得 ，故， ，显然 ，所以这批零件满足要求的置信度超过95。专心-专注-专业