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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十一章 反常积分2 无穷积分的性质与收敛判别定理11.1：无穷积分dx收敛的充要条件是：任给0，存在Ga，只要u1,u2G，便有|dx-dx |=|dx |.性质1：若dx与dx都收敛，则dx也收敛(k1,k2为任意常数)，且dx=k1dx+k2dx.性质2：若f在任何有限区间a,u上可积，a0，存在Ga，只要uG，总有|dx|0，存在Ga，当u2u1G时，总有|dx |=dx . 利用定积分的绝对值不等式，又有|dx |dxa)两边令u+取极限，可得|dx |dx.注：当dx收敛时，称dx为绝对收敛. 性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛. 但逆命题一
2、般不成立. 收敛而不绝对收敛的反常积分又称为条件收敛.二、比较判别法定理11.2：(比较法则)设定义在a,+)上的两个函数f和g都在任何有限区间a,u上可积，且满足|f(x)|g(x), xa,+)，则当dx收敛时dx必收敛(或者当dx发散时，dx必发散).证：若dx收敛，则任给0，存在Ga，只要u2u1G，总有|dx|. 又|f(x)|g(x), xa,+)，|dx |=dxdx|dx|0，对任何Ga，只要u2u1G，总有|dx |0. 又|f(x)|g(x), xa,+)，|dx|dx dx =|dx|0.dx发散.例1：讨论dx的收敛性.解：, x0,+)；又dx=arctanu=, 收
3、敛.根据比较法则知：dx绝对收敛.推论1：若f和g都在a,u上可积，g(x)0，且=c，则有：(1)当0c0，存在N，当xN时，有|-c|，即有(c-)g(x)|f(x)|(c+)g(x).(1)由比较原则得dx与dx同敛态；(2)由|f(x)|0，存在G，当xG时，就有M，即|f(x)|Mg(x)，当dx发散，dx也发散.推论2：设f定义于a,+)(a0)，且在任何有限区间a,u上可积，则有：(1)当|f(x)|, xa,+), 且p1时，dx收敛；(2)当|f(x)|, xa,+), 且p1时，dx发散.推论3：设f定义于a,+)，在任何a,u上可积，且xp|f(x)|=.则有：(1)当p
4、1, 0+时，dx收敛；(2)当p1, 00，g(x)=0, 存在Ga, 当xG时，有|g(x)|u1G, 存在u1,u2, 使得dx=g(u1)dx+g(u2)dx. 于是有|dx |g(u1)|dx|+|g(u2)|dx|=|g(u1)|dx-dx|+|g(u2)|dx -dx|=2M+2M=. 由柯西准则可知：dx收敛.定理11.4：(阿贝尔(Abel)判别法)若dx收敛，g(x)在a,+)上单调有界，则dx收敛.证：记F(u)=dx, dx收敛，dx存在，记为J，取=1，存在A，当nA时，有|F(u)-J|1，|F(u)|0)的收敛性.解：当p1时，, x1,+)，而当p1时收敛，由比
5、较法则推知：dx收敛，即dx绝对收敛.同理，可证当p1时，dx绝对收敛.当0p1时，对任意u1, 有|dx|=|cos1-cosu|0时，=0，且在1,+)单调减，根据狄利克雷判别法知：dx (p0)收敛.又由=-, x1,+)，其中dx =dt满足狄利克雷判别条件而收敛，而发散，当0p1时，dx条件收敛.同理，可证当0a，它们在a,u上都可积. 证明：若dx与dx都收敛，则dx与dx也都收敛证：dx与dx都收敛，dx也收敛.又|2f(x)g(x)|f2(x)+g2(x)，由比较法则知2dx也收敛.dx收敛.dx=dx+2dx+dx，也收敛.2、设f,g,h是定义在a,+)上的三个连续函数，且
6、有h(x)f(x)g(x).证明：(1)若dx与dx都收敛，则dx也收敛；(2)又若dx=dx=A，则dx=A.证：(1)若0f(x)g(x)，dx收敛，由比较法则知dx也收敛.若h(x)f(x)0，则|f(x)|-h(x)，dx=-dx收敛，由比较法则知dx也收敛，dx也收敛.(2)由dx=dx=A得，dx=dx=A.又h(x)f(x)g(x)，由极限的夹逼定理得：dx=A，dx=A.3、讨论下列无穷积分的收敛性：(1)；(2)dx；(3)；(4)dx；(5)dx；(6)dx (n,m0).解：(1)=1，p1，01时，取p(1,n)，=0，dx收敛.当n1时，=+，dx发散.(6)=1，当
7、n-m1时，dx收敛; 当n-m1时，dx发散.4、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：(1)dx；(2)dx；(3)dx；(4)dx.解：(1)dx=2dt，单调趋于0(t+)，|dt|1); 由狄利克雷判别法知：dx收敛. 又=- t1,+)，其中dt收敛，而发散，dx，即原积分条件收敛.(2)dx =dx=，原积分绝对收敛.(3)在0,+)上单调且调趋于0(x+)，|dx|1，由狄利克雷判别法知：dx收敛. 又=+，其中dx收敛，dx发散，dx发散，即原积分条件收敛.(4)dx=dx +dx，|dx|ee)，且在ee,+)上，=M时，|f(x)|1.dx=dx+dx，dx绝对收敛，d
8、x绝对收敛.又当xM+1,+)时，|f(x)|1，|f2(x)|f(x)|，dx收敛.dx=dx+dx，收敛.证法2：=0，又dx绝对收敛所以收敛，dx收敛.7、证明：若f是a,+)上的单调函数，且dx收敛，则=0，且f(x)=o(), x+.证：不妨设f(x)单调减，若存在x1a,+)，使f(x1)x1时，有f(x)f(x1) |f(x1)|. 又dx发散，dx发散，矛盾. f(x1)0.dx收敛，任给0，存在Ma，只要xM，就有|dt |, 即dt2M时，0xf(x)=2dt2dt0，存在0，当x1,x2a,+)，|x1-x2|时，有|f(x1)-f(x2)|a，当xM时，有|dt |.对dt，xtx+，即|x-t|，|f(x)-f(t)| ，即f(t)- f(x)f(t)+.从而dt -dtdt +，即|dt -dt |M时，|f(x)|= |dt |(|dt-dt |+|dt|)2.=0.专心-专注-专业