《2022年最新人教版二项式定理——典型例题解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年最新人教版二项式定理——典型例题解析.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品文档精品文档人教版二项式定理概念篇【例 1】展开 (2x223x)5. 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一： (2x223x)5=C05(2x)5+C15(2x)4(223x)+C25(2x)3(223x)2+C35(2x)2(223x)3+ C45(2x)(223x)4+C55(223x)5=32x5120 x2+x1804135x+78405x1032243x. 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二： (2x223x)5=105332)34(xx=10321xC05(4x3)5+C15(4x3)4(3)+C25(4x3)3(3)2+C35(4x3)2(3)3
2、+C45(4x3)(3)4+ C55(3)5=10321x(1024x153840 x12+5760 x94320 x6+1620 x3243) =32x5120 x2+x1804135x+78405x1032243x. 说明：记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例 2】求二项式 (a2b)4的展开式 .a 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得 (a2b)4=C04a4+C14a3(2b)+C24a2(2b)2+C34a(2b)3+C44(2b)4=a48a3b+24a2b232ab3+1
3、6b4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把2b 中的符号“”忽略 . 【例 3】在(x3)10的展开式中， x6的系数是. 解法一：根据二项式定理可知x6的系数是 C410. 解法二： (x3)10的展开式的通项是Tr+1=Cr10 x10r(3)r. 令 10r=6，即 r=4，由通项公式可知含x6项为第 5 项，即 T4+1=C410 x6(3)4=9C410 x6. x6的系数为 9C410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含 x6的二项式系数，解法一就正确
4、了，也即是C410. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档【例 4】已知二项式 (3xx32)10，(1)求其展开式第四项的二项式系数；(2)求其展开式第四项的系数；(3)求其第四项 . 分析：直接用二项式定理展开式. 解：(3xx32)1
5、0的展开式的通项是Tr+1=Cr10(3x)10r(x32)r(r=0，1， 10). (1)展开式的第 4 项的二项式系数为C310=120. (2)展开式的第 4 项的系数为 C31037(32)3=77760. (3)展开式的第 4 项为 77760(x)731x，即 77760 x. 说明：注意把 (3xx32)10写成 3x+(x32)10，从而凑成二项式定理的形式. 【例 5】求二项式 (x2+x21)10的展开式中的常数项 . 分析：展开式中第r+1 项为 Cr10(x2)10r(x21)r，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是 x0=1，x0. 解：设第 r+1 项
6、为常数项，则Tr+1=Cr10(x2)10r(x21)r=Cr10 xr2520(21)r(r=0，1， 10)，令 2025r=0，得 r=8. T9=C810(21)8=25645. 第 9 项为常数项，其值为25645. 说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零的方法求得常数项. 【例 6】 (1)求(1+2x)7展开式中系数最大项；(2)求(12x)7展开式中系数最大项 . 分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值 . 解：(1)设第 r+1 项系数最大，则有,2C2C,
7、2C2C11771177rrrrrrrr即,2! )17( ! )1(!72! )7( !7,2! )17( ! )1(!72! )7( !711rrrrrrrrrrrr精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档化简得.313,316.1271,812rrrrrr解得又0r7，r=5. 系数最大项为T6=C5725x5=672x5. (2)解：展开式中共有 8 项，系数最大项必为正项， 即在第一、三、五、七这四项中取得 .
8、又因(12x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较 T5和 T7两项系数的大小即可 .667447)2(C)2(C=1737C4C1，所以系数最大项为第五项，即T5=560 x4. 说明：本例中 (1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁 . 【例 7】 (1+2x)n的展开式中第6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 . 分析：根据已知条件可求出n，再根据 n 的奇偶性确定二项式系数最大的项. 解：T6=C5n(2x)5，T7=C6n(2x)
9、6，依题意有 C5n25=C6n26，解得 n=8. (1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为 T5=C4n(2x)4=1120 x4. 设第 r+1项系数最大，则有.2C2C,2C2C11771177rrrrrrrr5r6.r=5 或 r=6. 系数最大的项为T6=1792x5，T7=1792x6. 说明：(1)求二项式系数最大的项， 根据二项式系数的性质， n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得. 应用篇【例 8】若
10、nN*，(2+1)n=2an+bn(an、bnZ)，则 bn的值() A.一定是奇数B.一定是偶数C.与 bn的奇偶性相反D.与 a 有相同的奇偶性分析一：形如二项式定理可以展开后考查. 解法一：由 (2+1)n=2an+bn，知2an+bn=(1+2)n=C0n+C1n2+C2n(2)2+C3n(2)3+ +Cnn(2)n. bn=1+C2n(2)2+C4n(2)4+ bn为奇数 . 答案： A 分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法. 解法二： nN*，取 n=1 时，(2+1)1=(2+1)，有 b1=1 为奇数 . 取 n=2时，(2+1)2=22+5，有 b2=5 为奇数
11、. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档答案： A 【例 9】若将 (x+y+z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为() A.11 B.33 C.55 D.66 分析： (x+y+z)10看作二项式10)(zyx展开. 解：我们把 x+y+z看成(x+y)+z，按二项式将其展开，共有11“项” ，即(x+y+z)10= 10)(zyx=10010Ckk(x+y)10kzk. 这时， 由于 “和” 中各项 z
12、 的指数各不相同，因此再将各个二项式 (x+y) 10k展开， 不同的乘积 Ck10(x+y)10kzk(k=0，1， 10)展开后，都不会出现同类项. 下面，再分别考虑每一个乘积Ck10(x+y)10kzk(k=0，1， 10). 其中每一个乘积展开后的项数由(x+y)10k决定，而且各项中x 和 y 的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+1=66. 答案： D 说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法. 【例 10】求(x+|1x2)3展开式中的常数项 . 分析：把原式变形为二项式定理标准形状. 解： (x+|1x2)3=(| x|1x)6，展开式
13、的通项是Tr+1=Cr6(| x)6r(|1x)r=(1)rCr6(| x)62r. 若 Tr+1为常数项，则 62r=0，r=3. 展开式的第 4 项为常数项，即T4=C36=20. 说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解. 【例 11】求(x3x)9展开式中的有理项 . 分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x 的指数为整数的项 . 解： Tr+1=Cr9(x21)9r(x31)r=(1)rCr9x627r. 令627rZ，即 4+63rZ，且 r=0，1，2， 9. r=3 或 r=9. 当 r=3 时，627r=4，T4=(1)3C39x4=84x4.
14、当 r=9 时，627r=3，T10=(1)9C99x3=x3. (x3x)9的展开式中的有理项是第4 项84x4，第 10 项x3. 说明：利用二项展开式的通项Tr+1可求展开式中某些特定项 . 【例 12】若(3x1)7=a7x7+a6x6+ +a1x+a0，求精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档(1)a1+a2+a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6. 分析：所求结果与各项系数有关可以
15、考虑用“特殊值”法，整体解决. 解：(1)令 x=0，则 a0=1，令 x=1，则 a7+a6+ +a1+a0=27=128. a1+a2+a7=129. (2)令 x=1，则 a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(4)7. 由2)2()1(得：a1+a3+a5+a7=21128(4)7=8256. (3)由2)2() 1(得 a0+a2+a4+a6=21128+(4)7=8128. 说明： (1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法，它用于恒等式. (2)一般地， 对于多项式 g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+
16、a6x6+a7x7， g(x)各项的系数和为 g(1)，g(x)的奇数项的系数和为21g(1)+g(1) ，g(x)的偶数项的系数和为21g(1)g(1). 【例 13】证明下列各式(1)1+2C1n+4C2n+ +2n1C1nn+2nCnn=3n；(2)(C0n)2+(C1n)2+ +(Cnn)2=Cnn2；(3)C1n+2C2n+3C3n+ +nCnn=n2n1. 分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和， 因此可以研究它的通项寻求规律 . 证明： (1)在二项展开式 (a+b)n=C0nan+C1nan1b+C2nan2b2+ +C1nnabn1+Cn
17、nbn中，令 a=1，b=2，得(1+2)n=1+2C1n+4C2n+ +2n1C1nn+2nCnn，即1+2C1n+4C2n+ +2n1C1nn+2nCnn=3n. (2)(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，(1+C1nx+C2nx2+ +Crnxr+ +xn)(1+C1nx+C2nx2+ +Crnxr+ +xn)=(1+x)2n. 而 Cnn2是(1+x)2n的展开式中 xn的系数，由多项式的恒等定理，得C0nCnn+C1nC1nn+ +C1nC1nn+CnnC0n=Cnn2. Cmn=Cmnn，0mn，(C0n)2+(C1n)2+ +(Cnn)2=Cnn2. (3)证法一：令 S=
18、C1n+2C2n+3C3n+ +nCnn. 令 S=C1n+2C2n+ +(n1)C1nn+nCnn=nCnn+(n1)C1nn+ +2C2n+C1n=nCnn+(n1)C1n+ +2C2nn+C1nn. 由+得 2S=nC1n+nC2n+nC3n+ +nCnn=n(Cnn+C1n+C2n+C3n+ +Cnn) =n(C0n+C1n+C2n+C3n+ +Cnn)=n2n. S=n2n1，即 C1n+2C2n+3C3n+ +nCnn=n2n1. 证法二：观察通项： kCkn=k11C!)( ! ) 1(! ) 1(! )( !knnknknnknkn. 原式 =nC01n+nC11n+nC21n
19、+nC31n+ +nC11nn=n(C01n+C11n+C21n+C31n+C11nn)=n2n1，即 C1n+2C2n+3C3n+ +nCnn=n2n1. 说明：解法二中kCkn=nC11kn可作为性质记住 . 【例 14】求 1.9975精确到 0.001 的近似值 . 分析：准确使用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如1.997=20.003. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档解：1.9975=(20
20、.003)5=25C15240.003+C25230.0032C35220.0033+320.24+0.0007231.761. 说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度. 【例 15】求证： 51511 能被 7 整除. 分析：为了在展开式中出现7 的倍数，应把 51 拆成 7 的倍数与其他数的和 (或差)的形式 . 证明： 51511=(49+2)511=C0514951+C15149502+ +C505149250+C51512511，易知除 C51512511 以外各项都能被 7 整除. 又 2511=(23)171=(7+1)171=C0
21、17717+C117716+ +C16177+C17171=7(C017716+C117715+C1617). 显然能被 7 整除，所以 51511 能被 7 整除. 说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式. 创新篇【例 16】已知 (xlgx+1)n的展开式的最后三项系数之和为22，中间一项为 20000.求 x. 分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来，不难求解！解：由已知 Cnn+C1nn+C2nn=22，即 n2+n42=0. 又 nN*，n=6. T4为中间一项， T4=C36(xlg
22、x)3=20000，即(xlgx)3=1000. xlgx=10. 两边取常用对数，有lg2x=1，lgx=1，x=10 或 x=101. 说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解. 【例 17】设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m，nN*)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问 m，n为何值时，含 x2项的系数取最小值？并求这个最小值. 分析：根据已知条件得到x2的系数是关于 x 的二次表达式， 然后利用二次函数性质探讨最小值问题. 解：C1m+C1n=n+m=11. C2m+C2n=21(m2m+
23、n2n)=21122nm，nN*，n=6 或 5，m=5 或 6 时，x2项系数最小，最小值为25. 说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题. 【例 18】若(x+x12)n的展开式的常数项为 20，求 n. 分析：题中 x0，当 x0 时，把三项式 (x+x12)n转化为 (xx1)2n；当 x0 时，同理 (x+x12)n=(1)n(xx1)2n.然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n. 解：当 x0 时，(x+x12)n=(xx1)2n，其通项为 Tr+1=Crn2(x)2nr(x1)r=(1)rCrn2(x)2n2r. 令 2n2r=0，得 n=r，展开式的常数项为 (1)
24、rCnn2；当 x0 时，(x+x12)n=(1)n(xx1)2n.同理可得，展开式的常数项为(1)rCnn2. 无论哪一种情况，常数项均为(1)rCnn2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档令(1)rCnn2=20.以 n=1，2，3，逐个代入，得n=3. 说明：本题易忽略x0 的情况 . 【例 19】利用二项式定理证明 (32)n112n. 分析：12n不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数21n. 证明：欲
25、证 (32)n112n成立，只需证 (23)n121n成立. 而(23)n1=(1+21)n1=C01n+C11n21+C21n(21)2+ +C11nn(21)n1=1+21n+C21n(21)2+ +C11nn(21)n121n. 说明：本题目的证明过程中将(23)n1转化为 (1+21)n1，然后利用二项式定理展开式是解决本问题的关键. 【例 20】求证： 2(1+n1)n3(nN*). 分析： (1+n1)n与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析. 证明：当 n=1 时，(1+n1)n=2. 当 n2 时，(1+n1)n=1+C1nn1+C2n21n+ +Cnn(n1)n=1+1
26、+C2n21n+ +Cnn(n1)n2. 又 Ckn(n1)k=knkknnn!)1() 1(!1k，所以(1+n1)n2+!21+!31+ +!1n2+211+321+ +nn)1(1=2+(121)+(2131)+ +(11nn1) =3n13. 综上有 2(1+n1)n3. 说明：在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底 . 【例 21】求证：对于 nN*，(1+n1)n(1+11n)n+1. 分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法. 证明： (1+n1)n展开式的通项 Tr+1=Crnrn1=rrnnrA!=!
27、1rrnrnnnn) 1()2)(1(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档=!1r(1n1)(1n2)(1nr1). (1+11n)n+1展开式的通项 Tr+1=Crn 1rn) 1(1=rrnnr) 1( !A1=!1rrnrnnnn) 1()2)(1(=!1r(111n)(112n)(111nr). 由二项式展开式的通项可明显地看出Tr+1Tr+1所以(1+n1)n(1+11n)n+1说明：本题的两个二项式中的两
28、项均为正项，且有一项相同.证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明 . 【例 22】设 a、b、c 是互不相等的正数，且a、b、c成等差数列， nN*，求证： an+cn2bn. 分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a、b、c 成等差数列创造条件使用二项式定理. 证明：设公差为d，则 a=bd，c=b+d. an+cn2bn=(bd)n+(b+d)n2bn=bnC1nbn1d+C2nbn2d2+ +(1)ndn+bn+C1nbn1d+C2nbn2d2+ +dn=2(C2nbn2d2+C4nbn4d4)0. 说明：由 a、b、c 成等差，公差为d，可得 a=bd，c=b
29、+d，这就给利用二项式定理证明此问题创造了可能性 .问题即变为 (bd)n+(b+d)n2bn，然后用作差法改证 (bd)n+(b+d)n2bn0. 【例 23】求(1+2x3x2)6的展开式中 x5项的系数 . 分析：先将 1+2x3x2分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即(1+2x3x2)6=(1+3x)6 (1x)6. 然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x5的系数，问题可得到解决 . 解：原式 =(1+3x)6(1x)6，其中 (1+3x)6展开式之通项为Tk+1=Ck63kxk，(1 x)6展开式之通项为Tr+1=Cr6(x)r. 原式=(1+3x)6(1x)6展开式的
30、通项为 Ck6Cr6(1)r3kxk+r. 现要使 k+r=5，又 k0，1，2，3，4，5，6，r0 ，1，2，3，4，5，6，必须5,0rk或.0,51,42,33, 24,1rkrkrkrkrk或或或或故 x5项系 数为 C0630C56( 1)5+C1631C46( 1)4+C2632C36( 1)3+C3633C26( 1)4+C4634C16(1)+C5635C06(1)0=168. 说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键. 【例 24】(2004年全国必修 +选修 1)(xx1)6展开式中的常数项为 () A.15 B.15 C.20 D.20 解析： Tr+1=
31、(1)rCr6(x)6rxr=(1)rCr6xr233，当 r=2 时，323r=0，T3=(1)2C26=15. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档答案： A 【例 25】 (2004 年江苏 )(2x+x)4的展开式中 x3的系数是 () A.6 B.12 C.24 D.48 解析： Tr+1=(1)rCr4(x)4r(2x)r=(1)r2rCr4x22r，当 r=2 时，2+2r=3，T3=(2)2C24=2
32、4. 答案： C 【例 26】 (2004年福建理 )若(12x)9展开式的第 3 项为 288，则nlim(x1+21x+ +nx1)的值是 () A.2 B.1 C.21D.52解析： Tr+1=(1)rCr9(2x)r=(1)rCr92xr，当 r=2 时，T3=(1)2C2922x=288. x=23. nlim(x1+21x+ +nx1)=32132=2. 答案： A 【例 27】 (2004 年福建文 )已知(xxa)8展开式中常数项为1120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是 () A.28B.38C.1 或 38D.1 或 28解析： Tr+1=(1)rCr8x8
33、r(xa)r=(a)rCr8x82r，当 r=4时，T3=(a)4C48=1120，a=2. 有函数 f(x)=(xxa)8.令 x=1，则 f(1)=1 或 38. 答案： C 【例 28】 (2004 年天津 )若(12x)2004=a0+a1x+a2x2+a2004x2004(xR)，则(a0+a1)+(a0+a2)+ (a0+a3)+ +(a0+a2004)= .(用数字作答 ) 解析：在函数 f(x)=(12x)2004中，f(0)=a0=1，f(1)=a0+a1+a2+ +a2004=1，(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2004) =2004a0+a1+a2+ +a2004=2003a0+a0+a1+a2+ +a2004精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档=2003f(0)+f(1) =2004. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -