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1、精选优质文档-倾情为你奉上三角函数的实际应用知识：直角三角形中其他重要概念 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角如图 坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则坡度越大，坡面就越陡如图 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）度.如图2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题： 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、
2、水平距离、垂直距离等概念的意义； 找出要求解的直角三角形有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位3. 0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数030456090011001-10典型例题类型一.所求线段由两段和差组成。例题1.（2018成都） 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位
3、于它的北偏东方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长.（参考数据：，） .解：由题知：，.在中，（海里）.在中，（海里）.答：还需要航行的距离的长为20.4海里. 变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏如图，工程人员在高架上的车道 M 处测得某居民楼顶的仰角ABC的度数是 20，仪器 BM 的高是 0.8m，点M 到护栏的距离 MD 的长为 11m，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长（结果保留到 0.1m，参考数据：sin200
4、.34，cos200.94，tan200.36）解：由题意：CDBM0.8m，BCMD11m，在RtECB中，ECBCtan20110.363.96（m），EDCD+EC3.96+0.84.8（m），答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长4.8m2.如图，登山缆车从点出发，途径点后到达终点。其中段与段的运行路程为，且段的运行路线与水平面的夹角为，段的运行路线与水平面的夹角为，求缆车从点运行到点的垂直上升的距离。（参考数据：，）答案：234米3.（成华二诊）如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼，在小楼的顶端处测得障碍物边缘点的俯角为，测得大楼顶端的仰角为（点在同一水平
5、直线上）。已知，求障碍物两点间的距离。（结果精确到，参考数据：）解：如图，过点D作DFAB于点F，过点C作CHDF于点H则DEBFCH10m，在直角ADF中，AF80m10m70m，ADF45，DFAF70m在直角CDE中，DE10m，DCE30，CE10（m），BCBECE70107017.3252.7（m）答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m类型二：辅助线技巧例题1（2017成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行。如图，小明一家自驾到古镇游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，求两地的距离
6、。解：过B作BDAC于点D在RtABD中，AD=ABcosBAD=4cos60=4=2（千米），BD=ABsinBAD=4=2（千米），BCD中，CBD=45，BCD是等腰直角三角形，CD=BD=2（千米），BC=BD=2（千米）答：B，C两地的距离是2千米变式1如图，南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至海面处时，测得该岛位于正北方向海里的处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我处的渔监船前往处护航，已知位于处的北偏东方向上，位于的北偏西的方向上，求、之间的距离。解：如图，作ADBC，垂足为D，由题意得，ACD45，ABD30设CDx，在RtACD中，
7、可得ADx，在RtABD中，可得BDx，又BC20（1+），CD+BDBC，即x+x20（1+），解得：x20，ACx20（海里）答：A、C之间的距离为20海里2.（2017武侯二诊）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道，如图，在山外一点测得距离为，求隧道的长。解：过点C作CDAB于D，BC800m，CBA30，在RtBCD中，CDBC400m，BDBCcos30800400693（m），CAB54，在RtACD中，AD231（m），ABAD+BD693+231924（m）答：隧道AB的长为924m3.渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以海里/时的速
8、度向正东航行，半小时到处.在处看见灯塔在北偏东方向，求此时灯塔与渔船的距离.BM=例题2（锦江二诊）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角CED=60，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30，求拉线CE的长CE=4+变式1如图，某中学在主楼的顶部D和大门A的上方之间挂一些彩旗，经测量，大门距主楼的距离BC90m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30，而当时测倾器离地面BE1.5m求：学校主楼CD的高度（结果精确到0.01m）解：（1）作EFBC交DC于点F，BC45m，EF45m，DEF30，DFE90，tan30
9、，解得，DE15，EBm，DC1516m，即学校主楼的高度是16m；（2）作AGBC交DC于点G，BCAG45m，ABm，DC16m，GCAB3m，DG16313m，AGD90，AD2m，即大门上方A与主楼顶部D的距离是2m2如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的BAD60使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：1.732）解：由题意得：ADCE，过点B作BMCE，BFEA，灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30，
10、CMMB，即三角形CMB为直角三角形，sin30，CM15cm，在直角三角形ABF中，sin60，解得：BF20，又ADCBMDBFD90，四边形BFDM为矩形，MDBF，CECM+MD+DECM+BF+ED15+20+251.6cm答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm3如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度解：如图，延长OD，BC交于点PODCB90，P30，OB11米，CD2米，在直角CPD中，DPDCcos3
11、0m，PCCD（sin30）4米，PP，PDCB90，PDCPBO，PB11米，BCPBPC（114）米类型三.双直角三角形与方程思想例题1.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点，又在河的另一岸边取两点,测得,，量得长为米，求河的宽度（结果保留根号）。解答:50+50变式1如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45，那么山高AD为多少米？（结果保留整数，测角仪忽略不计，1.414，1.732）ABCD3045解：如图，ABD30，ACD45，BC100m，设ADxm，在RtACD中，tanACD，CD
12、ADx，BDBC+CDx+100， 4分在RtABD中，tanABD，x（x+100），x50（+1137即山高AD为137米 2.如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角BDC=30，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）（参考数据： =1.414， =1.732）3.为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪 CD，测得塔顶A的仰角为42，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61，求白
13、塔的高度AB（参考数据sin420.67，tan420.90，sin610.87，tan611.80，结果保留整数）解：设AEx，在RtACE中，CE1.1x，在RtAFE中，FE0.55x，由题意得，CFCEFE1.1x0.55x12，解得：x，故ABAE+BE+1.523米答：这个电视塔的高度AB为23米例题2（2014成都）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30。（1）求BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）。备用数据：，30度，9米变式1.如图：某电信部门计划修建一
14、条连结、两地的电缆，测量人员在山脚点测得、两地的仰角分别为、，在地测得地的仰角为，已知地比地高，电缆要多少米？（结果保留根号）2.数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中CAH30，DBH60，AB10m，请你根据以上数据计算GH的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）解：延长CD交AH于点E，设DEx，则BEx，A30，x53，GHEC51（m）答：GH的长为（51）m3某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P在地面A处测得点M的仰角为58、点N的仰角为45，在B处测得点M的仰
15、角为31，AB5米，且A、B、P三点在一直线上请根据以上数据求广告牌的宽MN的长（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60，sin310.52，cos310.86，tan310.60）解：在RtAPN中，NAP45，PAPN，在RtAPM中，tanMAP，设PAPNx，MAP58，MPAPtanMAP1.6x，在RtBPM中，tanMBP，MBP31，AB5，0.6，x3，MNMPNP0.6x1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米课后练习：1. （2016成都）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动。如图，在测点
16、处安置测倾器，量出高度，测得旗杆顶端的仰角，量出测点到旗杆底部的水平距离，根据测量数据，求旗杆的高度。（参考数据：，）2.如图，海面上以点A为中心的4海里内有暗礁，在海面上点B处有一艘海监船，欲到C处去执行任务，若ABC45，ACB37，B，C两点相距10海里，如果这艘海监船沿BC直接航行，会有触礁的危险吗？请说明理由（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）】解：如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险；理由如下：作AMBC于M，如图所示：ABC45，ABM是等腰直角三角形，AMBM，设AMBMx海里，则CM10x（海里），在RtACM中，tanACBta
17、n370.75，解得：x，经检验，x是方程的根，AM海里4海里，如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险3.某海域有A,B两个岛屿,B岛屿在A岛屿北偏西30方向上,距A岛120海里,有一艘船从A岛出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B岛屿南偏东75方向的C处,求出该船与B岛之间的距离CB的长(结果保留根号).4.一艘轮船位于灯塔南偏西方向的处，它向东航行海里到达灯塔南偏西方向上的处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行图中与灯塔的最短距离。（结果保留根号）5.如图，已知楼房AB高40米，铁塔CD塔基中心C到AB楼房房基B点的水平距离BC为50米，从A望D的仰角为26.6，求塔CD的高
18、（参考数据：sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50）解：过A作AECD于E，则AEBC50米，ABCE40米，在RtAED中，DAE26.6，tanDAE，DEAEtanDAE50tan26.6500.5025，CDCE+DE40米+25米65米，即塔CD的高约为65米6.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地已知B地位于A地北偏东67方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30方向若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67，cos67，tan67，1.73）解：过点B作BD
19、AC于点D，B地位于A地北偏东67方向，距离A地520km，ABD67，ADABsin67520480km，BDABcos67520200kmC地位于B地南偏东30方向，CBD30，CDBDtan30200，ACAD+CD480+480+115595（km）答：A地到C地之间高铁线路的长为595km7.如图，一辆滴滴快车在笔直公路上由西向东行驶，行驶至A处时接到正东方B处乘客订单，但师傅发现油量不足，马上左拐30，沿AC行驶1200米到达加油站C处加油，加油用时5分钟，加油后再沿CB行驶1000米到B处接到乘客，假设滴滴快车的平均速度是每分钟360米，其他情况忽略不计，滴滴快车让乘客多等了多少
20、时间？（结果保留整数1.414，1.732，2.236）解：如图作CHAB于H在RtACH中，AC1200，A30，CHAC600，AHCH1039.2，在RtBCH中，BH800，AB1893，AC+BC2200，滴滴快车让乘客多等的时间5+6（分钟），8（8分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45与68，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin680.93，cos680.37，cot680.40）【解答】解：过点C作CHAB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CHx，则AHCHx，BHCHcot680.4x，由AB49知x+0.4x49，解得：x35，BE4，EFBEsin683.72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF35+28+3.7266.7（cm），答：点E到地面的距离约为66.7cm专心-专注-专业