七年级数学竞赛讲座(共23讲)(共168页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上目 录第一讲有理数的巧算第二讲 绝对值第三讲求代数式的值第四讲一元一次方程第五讲方程组的解法第六讲一次不等式(不等式组)的解法第 七讲含绝对值的方程及不等式第八讲 不等式的应用第九讲 “设而不求”的未知数第十讲 整式的乘法与除法第十一讲 线段与角第十二讲 平行线问题第十三讲 从三角形内角和谈起第十四讲 面积问题第十五讲 奇数与偶数第十六讲 质数与合数第十七讲 二元一次不定方程的解法第十八讲 加法原理与乘法原理第十九讲 几何图形的计数问题第二十讲 应用问题的算术解法与代数解法第二十一讲 应用问题解题技巧第二十二讲 生活中的数学(一)储蓄、保险与纳税第二十三讲 生活中的数

2、学(二)地板砖上的数学第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性 1括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单例1 计算：分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运

3、算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算例2 计算下式的值：211555+445789+555789+211445分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211555+211445)+(445789+555789) =211(555+445)+(445+555)789 =2111000+1000789 =1000(211+789) =1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧例3 计

4、算：S=12+34+(1)n+1n分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“1”如果按照将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法解 S=(12)+(34)+(1)n+1n下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n2个(1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n1)2个(1)的和，再加上最后一项(1)n+1n=n，所以有例4 在数1，2，3，1998前添符号“+”和“”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，1998之

5、前任意添加符号“+”或“”，不会改变和的奇偶性在1，2，3，1998中有19982个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“”，显然n(n+1)(n+2)+(n+3)=0这启发我们将1，2，3，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(123+4)+(567+8)+(199319941995+1996)1997+1998=1所以，所求最小非负数是1说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化2用字母表示数我们先来计算(100+2)(1

6、002)的值：(100+2)(1002)=1001002100+21004=100222这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(ab)=a2b2， 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算例5 计算 30012999的值解 30012999=(3000+1)(30001)=3000212=8 999 999例6 计算 1039710 009的值解 原式=(100+3)(1003)(10000+9)=(10029)(1

7、002+9)=100492=99 999 919例7 计算：分析与解 直接计算繁仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347可设字母n=12 346，那么12 345=n1，12 347=n+1，于是分母变为n2(n1)(n+1)应用平方差公式化简得n2(n212)=n2n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析 式子中2，22，24，每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(21)，就可以连续递进地运用(a+b)(ab)=a2b2了解 原式=

8、(21)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(221)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(241)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(2321)(232+1) =2641例9 计算：分析 在前面的例题中，应用过公式(a+b)(ab)=a2b2这个公式也可以反着使用，即a2b2=(a+b)(ab)本题就是一个例子通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化例10 计算：我们用一个字母表示它以简化计算 3观察算式找规律例

9、11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算所以总分为9020+(3)+1+4+(2)+3+1+(1)+(3)+2+(4)+0+2+(2)+0+1+(4)+(1)+2+5+(2)=18001=1799，平均分为 90+(1)20=89.95例12 计算1+3+5

10、+7+1997+1999的值 分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500个2000)=2000500从而有 S=500 000说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题31=53=75=19991

11、997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决例13 计算 1+5+52+53+599+5100的值分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算解 设S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=51011，说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决例14 计算：分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以

12、我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法 解 由于所以说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用练习一1计算下列各式的值：(1)1+35+79+111997+1999；(2)11+121314+15+161718+99+100；(3)1991199919902000；(4)+472 6352472 633472 635472 634472 636； (6)1+4+7+244； 2某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，

13、76，97，80，90，76，91，86，78，74，85第二讲 绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数反之，相反数的绝对值相等也成立由

14、此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)a+b=a+b；(2)ab=ab；(3)ab=ba；(4)若a=b，则a=b；(5)若ab，则ab；(6)若ab，则ab解 (1)不对当a，b同号或其中一个为0时成立(2)对(3)对(4)不对当a0时成立(5)不对当b0时成立(6)不对当ab0时成立例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图11所示，化简ba+a+c+cb解 由图11可知，a0，b0，c0，且有cab0根据有理数加减运算的符号法则，有ba0，ac0，cb0再根据绝对值的概念，得ba=ab，a+c=(a+c)，

15、cb=bc于是有原式=(ab)(a+c)+(bc)=abac+bc=2c例3 已知x3，化简：3+21+x分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号解 原式=3+2+(1+x)(因为1+x0) =3+3+x =3(3+x)(因为3+x0) =x=x解 因为 abc0，所以a0，b0，c0(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=1说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分

16、类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用例5 若x=3，y=2，且xy=yx，求x+y的值解 因为xy0，所以yx0，yx由x=3，y=2可知，x0，即x=3(1)当y=2时，x+y=1；(2)当y=2时，x+y=5所以x+y的值为1或5例6 若a，b，c为整数，且ab19+ca99=1，试计算ca+ab+bc的值解 a，b，c均为整数，则ab，ca也应为整数，且ab19，ca99为两个非负整数，和为1，所以只能是 ab19=0且ca99=1， 或ab19=1且ca99=0 由有a=b且c=a1，于是bc=ca=1；由有c=a且a=b1，于是bc=ab=1无论或都有bc=1且ab+ca=1，所以c

17、a+ab+bc=2解 依相反数的意义有xy+3=x+y1999因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有xy+3=0且x+y1999=0即由有xy=3，由有x+y=1999得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：3x+1+2x1分析 本题是两个绝对值和的问题解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事例如，化简3x+1，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号这里我们为三个部分(如图12所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了原式=(3x+1)(2x1)=5x；原式=(3x+1)(2x1)=x+2； 原式=(3x+1)+(2x1)=5x即说明 解这类

18、题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”例9 已知y=2x+6+x14x+1，求y的最大值分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者解 有三个分界点：3，1，1(1)当x3时，y=(2x+6)(x1)+4(x+1)=x1，由于x3，所以y=x14，y的最大值是4(2)当3x1时，y=(2x+6)(x1)+4(x+1)=5x+11，由于3x1，所以45x+116，y的最大值是6(3)当1x1

19、时，y=(2x+6)(x1)4(x+1)=3x+3，由于1x1，所以03x+36，y的最大值是6(4)当x1时，y=(2x+6)+(x1)4(x+1)=x+1，由于x1，所以1x0，y的最大值是0综上可知，当x=1时，y取得最大值为6例10 设abcd，求xa+xb+xc+xd的最小值分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦若能利用xa，xb，xc，xd的几何意义来解题，将显得更加简捷便利解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则xa表示线段AX之长，同理，xb，xc，xd分别表示线段BX，CX，DX之长现要求xa，xb，xc，xd之和的值最小，就是要在数轴

20、上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小因为abcd，所以A，B，C，D的排列应如图13所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(da)+(cb)例11 若2x+45x+13x+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零故本题只有2x5x+3x=0一种情况因此必须有45x=45x且13x=3x1 故x应满足的条件是此时原式=2x+(45x)(13x)+4=7练习二1x是什么实数时，下列等式成立：(1)(x2)+(x4)=x2+x4；(2)(7x+

21、6)(3x5)=(7x+6)(3x5)2化简下列各式： (2)x+5+x7+x+103若ab0，化简a+b13ab4已知y=x+3+x23x9，求y的最大值5设T=xp+x15+xp15，其中0p15，对于满足px15的x来说，T的最小值是多少？6已知ab，求xa+xb的最小值7不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果ab+bc=ac，那么B点应为( )(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程具体求解代数式值的问题时，对于

22、较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧 例1 求下列代数式的值：分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性=04a3b2a2b5=413( 2)2 12(2)5=16+25=19(2)原式=3x2yxyz+(2xyzx2z)+4x2?3x2y(xyz5x2z) =3x2yxyz+2xyzx2z+4x2z3x2y+(xyz5x2z) =(3x2y3x2y)+(xyz+2x

23、yz+xyz)+(x2z+4x2z5x2z) =2xyz2x2z =2(1)2(3)2(1)2(3) =12+6=18说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值去、添括号时，一定要注意各项符号的变化例2 已知ab=1，求a3+3abb3的值分析 由已知条件ab=1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值下面给出本题的五种解法解法1 由ab=1得a=b1，代入所求代数式化简a3+3abb3=(b1)3+3(b1)bb3 =b33b2+3b1+3b23bb3 =1说明 这是用代入消元法

24、消去a化简求值的解法2 因为ab=1，所以 原式=(a3b3)+3ab=(ab)(a2+ab+b2)+3ab=1(a2+ab+b2)+3ab=a2abb2+3ab=(a22ab+b2)=(ab)2=(1)2=1说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的解法3 因为ab=1，所以原式=a33ab(1)b3=a33ab(ab)b3 =a33a2b+3ab2b3=(ab)3 =(1)3=1说明 这种解法巧妙地利用了1=ab，并将3ab化为3ab(1)=3ab(ab)，从而凑成了(ab)3解法4 因为ab=1，所以(ab)3=(1)3=1，即 a3+3ab23a2bb3=1，a3b33ab(ab

25、)=1，所以 a3b33ab(1)=1，即 a3b3+3ab=1说明 这种解法是由ab=1，演绎推理出所求代数式的值解法 5a3+3abb3=a3+3ab23a2bb33ab2+3a2b+3ab=(ab)3+3ab(ab)+3ab=(1)3+3ab(1)+3ab=1说明 这种解法是添项，凑出(ab)3，然后化简求值通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(ab)3=a33a2b+3ab

26、2b3 ；a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)；a3b3=(ab)(a2+ab+b2)解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简所以解 因为a=3b，所以c=5a=5(3b)=15b将a，c代入所求代数式，化简得解 因为(x5)2，m都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2下面先化简所求代数式，然后再代入求值=x2y+5m2x+10xy2=522+0+10522=250例6 如果4a3b=7，并且3a+2b=19，求14a2b的值分析 此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a2b求值下面介绍一种不必求出a，b的值的解法解 14a2b=2(

27、7ab) =2(4a+3a)+(3b+2b)=2(4a3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52x+x1+x2+x3+x4+x5的值 分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个x，这样将抵消掉x，使求值变得容易原式=x+(x1)+(x2)(x3)(x4)(x5) =12+3+4+5=9说明 实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关例8 若x:y:z=3:4:7，且2xy+z=18，那么x+2yz的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为

28、常数k，这样可以给问题的解决带来便利x=3k，y=4k，z=7k因为2xy+z=18，所以23k4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2yz=6+1614=8例9 已知x=y=11，求(xy1)2+(x+y2)(x+y2xy)的值 分析 本题是可直接代入求值的下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值解 设x+y=m，xy=n原式=(n1)2+(m2)(m2n) =(n1)2+m22m2mn+4n =n22n+1+4n2m2mn+m2 =(n+1)22m(n+1)+m2 =(n+1m)2 =(1111+122)2 =(121+122)2 =1002=1000

29、0说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式练习三1求下列代数式的值： (1)a4+3ab6a2b23ab2+4ab+6a2b7a2b22a4，其中a=2，b=1；的值 3已知a=3.5，b=0.8，求代数式65b3a2b8b1的值 4已知(a+1)2(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值5已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧 用等号连结两个代数式的式子叫等式

30、如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式条件等式也称为方程使方程成立的未知数的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系

31、数，得出方程的解 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定： (2)若a=0，且b=0，方程变为0x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b0，方程变为0x=b，则方程无解例1 解方程解法1 从里到外逐级去括号去小括号得去中括号得去大括号得解法2 按照分配律由外及里去括号去大括号得化简为去中括号得去小括号得 例2 已知下面两个方程3(x+2)=5x，4x3(ax)=6x7(ax) 有相同的解，试求a的值分析 本题解题思路是从方程中求出x的值，代入方程，求出a的值解 由方程可求得3x5x=6，所以x=3由已知，x=3也是方程的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程时，应有433(a3)

32、=637(a3)，7(a3)3(a3)=1812，例3 已知方程2(x+1)=3(x1)的解为a+2，求方程22(x+3)3(xa)=3a的解解 由方程2(x+1)=3(x1)解得x=5由题设知a+2=5，所以a=3于是有22(x+3)3(x3)=33，2x=21，例4 解关于x的方程(mxn)(m+n)=0分析 这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况解 把原方程化为m2x+mnxmnn2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)当m+n0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母

33、的取值范围解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论例5 解方程(a+xb)(abx)=(a2x)(b2+x)a2b2分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程解 将原方程整理化简得(ab)2x2=a2b2+a2xb2xx2a2b2， 即 (a2b2)x=(ab)2(1)当a2b20时，即ab时，方程有唯一解(2)当a2b2=0时，即a=b或a=b时，若ab0，即ab，即a=b时，方程无解；若ab=0，即a=b，方程有无数多个解例6 已知(m21)x2(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数

34、式199(m+x)(x2m)+m的值解 因为(m21)x2(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m21=0，即m=1(1)当m=1时，方程变为2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(421)+1=1991；(2)当m=1时，原方程无解所以所求代数式的值为1991例7 已知关于x的方程a(2x1)=3x2无解，试求a的值解 将原方程变形为2axa=3x2，即 (2a3)x=a2由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2xk2=2kx5k的解是正数？来确定： (1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立(2)若ab0时，则方程的解是正

35、数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab0成立(3)若ab0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab0成立解 按未知数x整理方程得(k22k)x=k25k要使方程的解为正数，需要(k22k)(k25k)0看不等式的左端(k22k)(k25k)=k2(k2)(k5)因为k20，所以只要k5或k2时上式大于零，所以当k2或k5时，原方程的解是正数，所以k5或0k2即为所求例9 若abc=1，解方程解 因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化例10 若a，b，c是正数，解方程解法1

36、原方程两边乘以abc，得到方程ab(xab)+bc(xbc)+ac(xca)=3abc移项、合并同类项得abx(a+b+c)+bcx(a+b+c)+acx(a+b+c)=0，因此有x(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因为a0，b0，c0，所以ab+bc+ac0，所以x(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解解法2 将原方程右边的3移到左边变为3，再拆为三个“1”，并注意到其余两项做类似处理设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x(a+b+c)=0所以x=a+b+c为原方程的解说明 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一例11 设n为自然数，x表示不超过x的最大

37、整数，解方程：分析 要解此方程，必须先去掉 ，由于n是自然数，所以n与(n+1) ，nx都是整数，所以x必是整数解 根据分析，x必为整数，即x=x，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解例12 已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值解 由原方程可解得a最小，所以x应取x=160所以所以满足题设的自然数a的最小值为2练习四1解下列方程：* 2解下列关于x的方程：(1)a2(x2)3a=x+1； 4当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍 例1 解方程组解 将原方程组改写为由方程得x=6+4y，代入化简得11y4z=19 由得2y+3z=4 3+4得33y+8y=57+16，所以 y=1将y=1代入，得z=2将y=1代入，得x=2所以为原方程组的解说明 本题解法中，由，消x时，采用了代入消元法；解，组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系