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1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 有关可数性的公理 几种可数性的关系 定理 5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。 证明：设X是一个满足第二可数性公理的空间，是它的一个可数基。对于每一个xX，根据定理2.6.7，=BB | xB是点x处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族于是 X在点x处有可数邻域基定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间 证明：设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基在B 中的每一个非空元素B中任意取定一个点.令D=B |这是一个可数集由于X中的每一个非空开集都能够表示为B 中若干个元素（其中当然至少会有一个不
2、是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集 定理 5.3.l （Lindelff定理）任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindelff空间 可数性的定义定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为空间。定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间。定义5.2.1 设X是一个拓扑空间，如果，则称D是X的一个稠密子集定义5.2.2 设X是一个拓扑空间，如果X中有一个可数的稠密子集，则称X是一个可分空间 定义5.3.1 设
3、A 是一个集族，B是一个集合如果则称集族A 是集合B的一个覆并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖 设集族A 是集合B的一个覆盖如果集族A 的一个子族A1也是集合B的覆盖，则称集族A1是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖 设X是一个拓扑空间如果由X中开（闭）子集构成的集族A 是X的子集B的一个覆盖，则称集族A 是集合B的一个开（闭）覆盖 定义5.3.2 设X是一个拓扑空间如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindelff空间 可数性与序列定理5.1.8 设X是一个拓扑空间如果在xX处有一个可数邻域基，则在点x处有一个可数邻域基使得对
4、于任何有，即定理5.1.9 设X是一个满足第一可数性公理的空间，.则点xX是集合A的一个凝聚点的充分必要条件是在集合Ax中有一个序列收敛于x 性质. 拓扑不变性定理5.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f: XY是一个满的连续开映射如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理） . 遗传性定理5.1.5 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间定理 5.3.4 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间。可分空间的任意开子空间是可分的。. 有限可积性 特殊空
5、间度量空间：R 、 ： 、 、可分 、Lindeloff离散空间：当X是可数集： 、 、可分 、Lindeloff当X是不可数集： 、非 、非可分 、非Lindeloff可数补空间：当X是可数集：当X是不可数集：Lindeloff 、非可分 、非（例5.1.1） 、非第六章 分离性公理几种分离性的关系定理6.4.2 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间.定理6.4.1 每一个完全正则空间都是正则空间.分离性的定义及其等价定义 X中每一个单点集都是闭集； X中每一个有限子集都是闭集 拓扑空间X是正则空间如果及闭集，且，则存在开领域，开领域，使得。 如果及开领域，开领域，使得。 拓扑空间X是正规
6、空间如果闭集，且，则存在，使得. 如果及开领域，开领域，使得。正则的空间称为空间，正规的空间称为空间 Urysohn引理 设X是一个拓扑空间，a，b是一个闭区间则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f: Xa，b使得当xA时f(x)=a和当xB时f(x)=b 设X是一个拓扑空间如果对于任意xX和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f: X0,1使得f(x)0以及对于任何yB有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间 完全正则的空间称为Tychonoff空间，或空间 性质（了解）拓扑不变性T0T1T2T3T3.5T4正则正规可积性T0T1T2
7、T3T3.5正则可遗传性T0T1T2T3T3.5正则对闭子空间可遗传性T4正规所有的分离性都不具有可商性。特殊空间度量空间：有限补空间：当X为有限集：当X为无限集：是非平庸空间：当X为不少于两个点：非当X为单点集：分离性与序列、聚点定理 6.1.3设 X是一个空间则点 xX是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点, 即UA是一个无限集 定理6.1.4 设X是一个空间则X中的一个由有限个点构成的序列 （即集合| Z+ 是一个有限集）收敛于点xX当且仅当存在 N0使得= x 对于任何N成立定理6.1.5 Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点 可度
8、量化空间定理6.6.3 设X是一个拓扑空间则下列条件等价： （1）X是一个满足第二可数性公理的空间； （2）X同胚于Hilbert空间H的某一个子空间； （3）X是一个可分的可度量化空间 第七章 紧致性一、 紧致空间1、判定利用定义定义7.1.1 设X是一个拓扑空间如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间 定义7.1.2设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集, 如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集 利用Th7.1.1定理7.1.1设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限
9、子覆盖 利用闭遗传（Th7.1.5）定理7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集2、性质拓扑不变性定理7.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f: XY是一个连续映射如果A是X的一个紧致子集，则f（A）是Y的一个紧致子集 有限可积性闭遗传定理7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集证明：设Y是紧致空间X中的一个闭子集如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成则 B=A是X的一个开覆盖设 B1是B的一个有限子族并且覆盖X则B1-便是 A的一个有限子族并且覆盖Y这证明Y是X的一个紧致子集 3、特殊空间的紧致性二、紧致性与分离性1、空间中的紧致性紧致空间：闭集紧致子集 Hausdorff空
10、间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集 2、在紧致空间中的分离性注： 定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间如果A是X的一个不包含点xX的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得UV= .定理7.2.5设X是一个Hausdorff空间如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得UV=. 定理7.2.7 设X是一个正则空间如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得. 定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射 证明: 设 X是一个紧致空间，Y是一个 Hausdorff空间，f:XY是一个连续映射 如果A是紧致空间X中的一个闭子集则它是紧致的.（参见定理 7.1.5） 因此它的象集f（A）是 Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4）， 所以又是闭集. 这证明f是一个闭映射3、几种紧致性的关系四、度量空间中的紧致性五、局部紧致空间与仿紧致空间 定义5.2.1 设X是一个拓扑空间， 如果 ，则称D是X的一个稠密子集专心-专注-专业