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1、精选优质文档-倾情为你奉上两角和差正余弦公式的证明北京四中数学组 皇甫力超论文摘要：本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。 在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式 ( 方法 3 11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。关键词：两角和差的正余弦公式正文：两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。 换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一
2、个等式或方程 , 将 或 与 , 的三角函数联系起来。根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到 的三角函数。 因此 , 由和角公式容易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。 因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式注意到单位圆比较容易表示 , 和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 与 , 的三角函数值的等式。1. 和角余弦公式(方法 1) 如图所示
3、, 在直角坐标系 中作单位圆 , 并作角 , 和 , 使角 的始边为 , 交 于点 A, 终边交 于点 B；角 始边为 , 终边交 于点 C；角 始边为 , 终边交 于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为, ,。由两点间距离公式得；。注意到 , 因此。注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。2. 差角余弦公式仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是(方法2) 如图所示, 在坐标系 中作单位圆 , 并作角
4、 和 , 使角 和 的始边均为 , 交 于点 C, 角 终边交 于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B的坐标为,。由两点间距离公式得。由余弦定理得。从而有。注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 是三角形的内角。 因此, 还需要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 大于 的情形。容易验证 , 公式在以上情形中依然成立。在上边的证明中 , 用余弦定理计算 的过程也可以用勾股定理来进行。(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。1. 和角正弦公式 (一)(方法3) 如图所示, 为 的 边
5、上的高 , 为 边上的高。设 , , , 则。从而有, ,。因此 ,。注意到 ,从而有,整理可得。注记：在方法 3 中 , 用 和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示 边上高 , 从而得到所希望的等式关系。 这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的(方法 4) 如图所示, 为 的 边上的高 , 为 边上的高。 设 , , 则。注意到 , 则有,即。从而有 。利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。 注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图
6、形框架是相同的。(方法 5) 如图所示 , 为 的 边上的高。 设 , , 则有 ,。 由正弦定理可得,其中 d为 的外接圆直径。由 得,从而有。2. 和角正弦公式 ( 二 )方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。 如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法 ( 方法 611)。(方法 6) 如图所示 , 作 于D, 交 外接圆于 E, 连 和。 设, , 则, , 。设 的外接圆直径为 d, 则有, ,。所以有。注意到 , 从而。(方法 7) 如图所示 , 为 的 边上的高 , 为 边上的高。设 , , 则。 设 , 则, , , 。又
7、从而。整理可得 。(方法 8) 如图所示 , 作 于D, 过 D作 于 F, 于G。 设 , 则 ,设 , 从而 ,。所以。注意到 , 则有 。注记：我们用两种不同的方法计算 , 得到了和角的正弦公式。 如果我们用两种方法来计算 , 则可以得到和角的余弦公式。 由上图可得,从而有。注意到 , 从而可得。方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。(方法 9 ) 如图所示 , 设 为 的 边上的高。 设 , , , 从而有方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。(方法 10) 如图所示 , 设 为
8、 的外接圆直径d, 长度为d。 设 , , 则 , 从而注记：这一证明用到了托勒密定理：若 和 是圆内接四边形的对角线 , 则有。(方法 11) 如图所示 , 为 的 边上的高。 设 , , 则。 设 , 则方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角 , 相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 构造出我们希望的等式关系。3. 差角正弦公式仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。 方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。(方法 12) 如图所示 ,。 设 , , 记 , 作 于 E, 则 , , 从而
9、有(方法 13) 如图所示 , 为 的外接圆直径 , 长度为 d。设 , , 则 , 。 从而方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。 换言之 , 这两种方法中出现的角 , 是任意角。 而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角 ( 甚至都是锐角 )。因此 , 对于方法 313, 我们需要将我们的结果推广到角 和 是任意角的情形。 具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意 成立 , 则对任意角也成立。容易验证 , 角 和 中至少有一个是轴上角 ( 即终边在坐
10、标轴上的角 ), 我们的公式是成立的。 下面证明 , 角 和 都是象限角 ( 即终边在坐标系的某一象限中的角 ) 时 , 我们的公式也成立。 不妨设 为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有从而同理可证, 公式对于象限角 和 的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法 313 推导的公式推广到角 , 是任意角的情形。两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。 其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。 从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：(1) 明确推导证明的目标：构造联系 和 三角函数与 或 的等式或方程 ；(2) 简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ；(3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系 和 三角函数与 或 的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ；(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。 如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。参考文献：1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学三个教学个案及分析 , 开放的视野 , 务实的努力, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 32 页。2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 ( 必修 ), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 35 页。专心-专注-专业