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1、精选优质文档-倾情为你奉上课 题 一元二次方程的概念及解法授课时间： 备课时间： 教学目标1、 掌握一元二次方程的概念及其一般形式，能指出一元二次方程的各项及其系数。2、 能根据具体一元二次方程的特征，选择恰当的解法。重点、难点、考点1、 一元二次方程的概念及解法。（重点）2、 几种解法的灵活运用。（难点）教学内容一、复习旧课：让学生回顾昨日的知识点，评讲昨天的家庭作业二、针对性授课：教学过程一、一元二次方程的概念： 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 归纳： （1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）整式方程 一般
2、地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 例1将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项 练习:判断下列方程是
3、否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例3求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程 练习: 一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1个 B2个 C3个 D4个 2方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-
4、q=0是关于x的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp为任意实数 二、填空题 1方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_ 2一元二次方程的一般形式是_ 3关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_二、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法 1填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2 思考：二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=
5、3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1 练习：一、选择题 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根为（ ） A3 B-3 C3 D无实数根 二、填空题 1若8x2-16=0，则x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 3如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、综合提
6、高题 1解关于x的方程（x+m）2=n （二）、配方法 1、解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0） 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗? 2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？ 转化： x2+6x-16=0移项x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9左边写成平方
7、形式 （x+3）2=25 降次x+3=5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q的形
8、式，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程无实根 例1用配方法解下列关于x的方程 （1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 例2解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0 练习： 一、选择题 1将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 2已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） 3如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关
9、于x的完全平方式，则m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或94配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ） A（x-）2= B（x-）2=0 C（x-）2= D（x-）2=5下列方程中，一定有实数解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a 6已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-2 二、填空题 1方程x2+4x-5=0的解是_2代数式的值为0，则x的值为_3如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是_ 4已知（x+y）（x+y+2）-8=0，
10、要求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为_ 三、综合提高题1用配方法解方程（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x 2已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值 5、求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数 （三）公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘
11、方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根A x2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 例1用公式法解下列方程 （1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 练习： 一、选择题 1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2= Bx1=6，x2=Cx1=2，x2=
12、Dx1=x2=- 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、填空题 1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2当x=_时，代数式x2-8x+12的值是-4 3若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_ 三、综合提高题 1用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1x2=； （四） 因式分解法: 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时
13、，例如，x290，这个方程可变形为(x3)(x3)0，要(x3)(x3)等于0，必须并且只需(x3)等于0或(x3)等于0，因此，解方程(x3)(x3)0就相当于解方程x30或x30了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程其理论根据是：先把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了即AB0A0或B0 例1用因式分解法解下列方程1、3x2x=0 2、 3、 练习： 一
14、、选择题(1)方程(x16)(x8)0的根是()Ax116，x28Bx116，x28Cx116，x28Dx116，x28(3)方程5x(x3)3(x3)解为()Ax15/3，x23Bx5/3 Cx15/3，x23Dx15/3，x23(4)方程(y5)(y2)1的根为()Ay15，y22By5Cy2D以上答案都不对二填空题(1)方程(2x1)23(2x1)0的解为_(2)方程(2y1)23(2y1)20的解为_(3)关于x的方程x2(mn)xmn0的解为_(4)方程x(x5)5x的解为_三、综合提高题1、已知(x2y2)(x21y2)120求x2y2的值已知x23xy4y20(y0)，试求（x-y/（x+y）的值（五） 课堂测试： 一、选用适当的方法解下列方程： 2(x1)2=8 2x2+4x=0 4(2x+1)2=3(4x21) (x5)(x+3)+(x2)(x+4)=49 (x2x+1)(x2x+2)=12 x2+12x15=0 二、综合题:1、已知x23xy4y2+=0，求3x+6y的值。2、方程 , m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解。五、家庭作业1、错题抄写 2、家庭作业一页。课后反馈1，学生自我评价：2，家长签名：专心-专注-专业