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1、精选优质文档-倾情为你奉上 二次函数专题复习讲义一、 学习目标：1.通过知识讲解，让学生理解二次函数的意义，理解二次函数与一元二次方程的关系。2. 通过习题的练习，使学生掌握用描点法画出二次函数的图像，掌握确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴的方法。3. 通过习题的讲解与练习，让学生灵活运用实际问题的分析确定二次函数的表达式，会根据抛物线的图像确定a,b,c的符号。考点 课标要求 知识与技能目标了解理解掌握灵活运用二次函数理解二次函数的意义*会用描点法画出二次函数的图像*会确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴*通过对实际问题的分析确定二次函数的表达式*理解二次函数与一元二次方程的关系*会根
2、据抛物线的图像确定a,b,c的符号*二、重难点：二次函数解决实际问题，二次函数与其它知识结合的有关问题三、教学方法：讲练结合四、教学过程（一）二次函数的定义、图像与性质 题型一二次函数的定义一般地，如果（a，b，c是常数，a0），那么y叫做x 的二次函数。所谓二次函数就是说自变量最高次数是2；二次函数（a0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数；二次函数（a0）与一元二次方程（a0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个
3、二次函数就是一个一元二次方程。例1 判断一个函数是否为二次函数 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 求二次函数中的未知数 若函数y=(m2)xm 2+5x+1是关于的二次函数，则m的值为 。探究提高：1 判断一个函数是否为二次函数的方法和步骤(1)先将函数进行整理，使其右边是含有自变量的代数式，左边是因变量；(2)判断右边含自变量的代数式是否为整式；(3)判断二次项的系数是否为零。2.假设一个函数是二次函数，求二次函数中未知数的方法和步骤(1)使得二次项系数不为0；(2)x的最高指数等于2；(3)综合求解。题型二二次函数的一般形式 任何一个二次函数的解析式都可以化成的形式
4、，因此，把叫做二次函数的一般形式。其中分别是二次项、一次项和常数项；而分别是二次项系数，一次项系数和常数项。例2 把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项： 探究提高： 把二次函数化成一般形式的方法和步骤：先把函数进行因式分解，再合并同类项进行整理，使其右边是含有自变量的代数式，左边是因变量。题型三二次函数的图像与性质1. 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)图象a0a0时，抛物线开口向 ，并向 无限延伸，顶点（）是它的最 点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右 ，在对称轴的右侧，抛物线自左右
5、.(1)当a0开口向 a0交点在 c=0抛物线过 c0对称轴在y轴 ab0抛物线与x轴有 交点b2-4ac=0顶点在 上b2-4ac0抛物线与x轴 交点（二） 求二次函数解析式题型一利用函数图像上的三个点求解析式例1 图像经过（1，4），（1，0），（2，5），求二次函数的解析式探究提高：当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式y=ax2+bx+c，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值。题型二 利用抛物线的顶点或对称轴、极值求解析式例2 图象顶点是（2，3），且过（1，5），求二次函数的解析式探究提高：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式。顶点坐标为（ h，k ），对称轴
6、方程x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数。题型三 利用与x轴的交点求解析式例3 图像与x轴交于（2，0），（4，0）两点，且过（1，）探究提高：当抛物线与x轴有交点时，即对应二次方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。也就是说，已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值。题型四 求二次函数平移后的新解析式例4 已知二次函数y=x22mx+m2+3（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点
7、？分析：（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可（1）证明：=（2m）241（m2+3）=4m24m212=120，方程x22mx+m2+3=0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解答：y=x22mx+m2+3=（xm）2+3，把函数y=（xm）2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（xm）2的图象，它的 顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以，把函数y=x22mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点探究提高：先将已知函数的解析
8、是写成顶点式y = a( x h)2 + k，再利用抛物线平移的规律：“左加右减，上加下减”求解。即当图像向左（右）平移n个单位时，就在x h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移。由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变。题型五 求二次函数翻折后（对称）的新解析式例4如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x0）与y2=（x0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DEAC，交y2于点E，则= _分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的
9、坐标，然后求出AB的长度，再根据CDy轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解解答：解：设设A点坐标为（0，a），（a0），则x2=a，解得x=，点B（，a），=a，则x=，点C（，a），CDy轴，点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，y1=2=3a，点D的坐标为（，3a），DEAC，点E的纵坐标为3a，=3a，x=3，点E的坐标为（3，3a），DE=3，=3故答案为：3探究提高：先把原函数的解析式化成y = a( x h)2 + k的形式，然后，（1）如果关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为相
10、反数。（2）如果关于y轴对称的两个图象的顶点关于y轴对称，两个图象的形状大小不变，即a相同。（3）如果关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a互为相反数（三）二次函数的应用问题题型一最值问题例1 最大利润问题某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为y2=（1）用x的代数式表示t为：t=6x；当0x4时，y2与x的函数关系为：y2=
11、5x+80；当4x6时，y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？分析：（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6x；根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系及t=6x即可求出y2与x的函数关系：当0x4时，y2=5x+80；当4x6时，y2=100；（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分
12、三种情况讨论：0x2；2x4；4x6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可解答：解：（1）由题意，得x+t=6，t=6x；，当0x4时，26x6，即2t6，此时y2与x的函数关系为：y2=5（6x）+110=5x+80；当4x6时，06x2，即0t2，此时y2=100故答案为6x；5x+80；4，6；（2）分三种情况：当0x2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6x）=10x2+40x+480；当2x4时，w=（5x+130）x+（5x+80）（6x）=10x2+80x+480；当4x6时，w=（5x+130）x+100（6x
13、）=5x2+30x+600；综上可知，w=；（3）当0x2时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时x=2时，w最大=600；当2x4时，w=10x2+80x+480=10（x4）2+640，此时x=4时，w最大=640；当4x6时，w=5x2+30x+600=5（x3）2+645，4x6时，w640；x=4时，w最大=640故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元探究提高：（1）求解最值问题首先将二次函数的一般式()化成顶点式。如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）当时，函数有最小值，并
14、且当，；当时，函数有最大值，并且当，如果自变量的取值范围是。如果顶点在自变量的取值范围内，则当，。如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内随的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内随的增大而减小，则当时，当时，（2）求解最大利润问题需要知道的公式：单价商品利润=商品定价商品售价（价格变动量）=商品定价商品售价（或者直接等于商品调价）；销售量变化率=销售变化量引起销售量变化的单位价格；商品总销售量=商品销售量销售量变化率；总利润（W）=单价商品利润总销售量其他成本题型二二次函数的综合运用例3如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a
15、（x2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长（第3题图）分析：（1）先求出直线y=3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF与RtBQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=
16、1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，则四边形AMCN为正方形，在RtAFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长解答：解：（1）直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，A（1，0），B（0，3）又抛物线抛物线y=a（x2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），解得，故a，k的值分别为
17、1，1；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在RtBQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，AQ=BQ，1+m2=4+（3m）2，m=2，Q点的坐标为（2，2）；（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线又对称轴x=2是AC的中垂线，M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN=，即正方形的边长为探究提高： 解二次函数综合题的一般步骤：(
18、1)分析题意，利用已知量，接触抛物线的未知数；(2)根据题目的意思，作出动点并连接相关各点；(3)利用二次函数图像、性质，以及一次方程、一元二次方程、三角形、四边形等知识，进行求解；(4)作答五、小结六、课后作业 1（2014年云南)抛物线y=x22x+3的顶点坐标是 2（2014扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1， 0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a2b+c的值为 3（ 2014珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0）， （3，0）两点，則它的对称轴为 4（2014年江苏南京，第16题，2分）
19、已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x10123y105212则当y5时，x的取值范围是5（2013陕西）已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（ ）A B C D6（2014浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当abc时，都有y1y2y3，则实数m的取值范围是7（ 2014安徽省,第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）28（2013衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种 棵橘子树，橘子总个数最多9（2014武汉，第25题12分）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点 （1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k=时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使ADB=90，求点D到直线AB的最大距离专心-专注-专业