例谈“放缩法”证明不等式的基本策略(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上例谈“放缩法”证明不等式的基本策略江苏省苏州市木渎第二高级中学 母建军 近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是,高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题,例谈“放缩”的基本策略,期

2、望对读者能有所帮助。1、添加或舍弃一些正项(或负项)例1、已知求证:证明: 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了,从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和(或先求和再放缩)例2、函数f(x)=,求证:f(1)+f(2)+f(n)n+.证明:由f(n)= =1-得f(1)+f(2)+f(n).此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存

3、在变量时, 要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)例3、已知an=n ,求证:3证明:=1 =1 () =1123本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标.4、放大或缩小“因式”;例4、已知数列满足求证:证明 本题通过对因式放大,而得到一个容易求和的式子,最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设求证: 证明: , 本题利用,对中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的数列,达到化简的目的。6、固定一部分项,放缩另外的项;例6、

4、求证:证明:此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知,证明:不等式对任何正整数都成立.证明:要证,只要证 .因为 ,故只要证 ,即只要证 .因为,所以命题得证.本题通过化简整理之后,再利用基本不等式由放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩例8、.已知i,m、n是正整数,且1imn.(1)证明:niAmiA;(2)证明:(1+m)n(1+n)m证明:(1)对于1im,且A =m(mi+1),由于mn,对于整数k=1,2,i1,有,所以(2)由二项式

5、定理有:(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn,(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm,由(1)知miAniA (1imn ,而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1,mC=nC=mn,m2Cn2C,mmCnmC,mm+1C0,mnC0,1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm,即(1+m)n(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略,解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法,有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用,掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.专心-专注-专业

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