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1、北京市丰台区 2012 年高三二模2012.5数学（文科）第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数1i2i的虚部是(A) 1 (B) 35(C)i(D)3i52设ar，br是向量，命题“若abrr，则abrr”的否命题是(A) 若abrr，则abrr(B) 若abrr，则abrr(C)若abrr，则abrr(D) 若abrr，则abrr3设等比数列na的前 n 项和为nS，若22a，514a，则4S的值为(A) 152(B) 516(C) 516(D) 524如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
2、 M，N，P，Q 分别是 AA1，A1D1，CC1， BC 的中点，给出以下四个结论： A1CMN； A1C平面 MNPQ ；A1C 与 PM 相交； NC 与 PM 异面其中不正确的结论是(A) (B) (C) (D) 5函数( )sin()f xxx xR(A) 是偶函数，且在(,+)上是减函数(B) 是偶函数，且在(,+)上是增函数(C) 是奇函数，且在(,+)上是减函数(D) 是奇函数，且在(,+)上是增函数6在 ABC 中， BAC=90o，D 是 BC 的中点， AB=4，AC=3，则AD BCuuu r uuu r= (A) -7 (B) 72(C)72(D) 7 7已知函数si
3、n(0)yaxb a的图象如图所示，则函数log ()ayxb的图象可能是QPNMD1C1A1B1DCAB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 开始结束0S，1n，3aSSa2aa1nn输出 S是否6n(A) (B) (C) (D) 8已知平面上四个点1(0,0)A，2(2 3,2)A，3(2 34,2)A，4(4,0)A设D是四边形1234A A A A及其内部的点构成的集合，点0P是四边形对角线的交点，若集合0| |,1,2,3,
4、4iSPDPPPAi，则集合 S所表示的平面区域的面积为(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 2 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9已知集合A =x2x-x20 ，B =xx1 ，则ABI_10某地区恩格尔系数(%)y与年份x的统计数据如下表：年份 x2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y(%) 47 45.5 43.5 41 从散点图可以看出y 与 x 线性相关，且可得回归方程为?4055.25ybx，则?b=_，据此模型可预测2012 年该地区的恩格尔系数 (%)为_11已知cos2sin，则cos2的值为 _12执行
5、如右图所示的程序框图，则输出的结果是_13已知双曲线2222128xymm上一点 M 到两个焦点的距离分别为 20 和 4，则该双曲线的离心率为_14在平面直角坐标系中，若点A，B同时满足：点A，B都在函数( )yf x图象上；点A，B关精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - QPBACD于原点对称，则称点对(A,B)是函数( )yf x的一个“姐妹点对” （规定点对 (A,B)与点对 (B,A)是同一个“姐妹点对” ） 那么函数24,0
6、,( )2 ,0,xxf xxxx的“姐妹点对”的个数为_三、解答题共6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共13 分）已知函数1( )cos (cos3 sin )2f xxxx（）求()6f的值；（）求函数( )yfx在区间0,2上的最小值，并求使( )yf x取得最小值时的x 的值16.（本小题共13 分）某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5 块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如下图所示：（）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；（）求从种植甲种棉花的5
7、块土地中任选2 块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5 块土地的总平均亩产量的概率17.（本小题共14 分）如图所示，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为 2 的菱形， Q 是棱PA上的动点（）若 Q 是 PA 的中点，求证：PC/平面 BDQ；（）若 PB=PD，求证： BDCQ；（）在（）的条件下，若PA=PC，PB=3， ABC=60o，求四棱锥P-ABCD 的体积18.（本小题共13 分）已知等差数列 an 的公差0d，该数列的前n 项和为nS，且满足2352Saa（）求数列 an的通项公式；014387255511109乙甲精品资料 - - - 欢迎下载 - -
8、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （）设11ba，*12()nannbbnN，求数列 bn的通项公式19.（本小题共14 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的中心在原点，焦点1F，2F在x轴上，焦距为2 2，P是椭圆上一动点，12PF F的面积最大值为2（）求椭圆的标准方程；（） 过点(1,0)M的直线l交椭圆C于,A B两点， 交y轴于点N，若1NAAMuuu ruu uu r，2NBBMuu u ruuuu r，求证：12为定值20.（本小题共13 分）已知函数
9、f(x)=lnx，( )bg xaxx，两函数图象的交点在x 轴上，且在该点处切线相同（）求 a，b的值；（）求证：当x1 时， f(x)SS乙甲，所以乙种棉花的平均亩产量更稳定8 分（）从种植甲种棉花的5 块土地中任选2 块土地的所有选法有(95，102)，(95，105)，(95，107)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - OQPBACD(95，111)，(102，105)，(102，107)，(102，111)，(105，10
10、7)，(105，111)，(107，111) 共 10 种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的5 块土地的总平均亩产量”为事件A，包括的基本事件为(105，107)，(105，111)，(107，111)共 3 种所以3( )=10P A13 分答：两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5 块土地的总平均亩产量的概率为31017证明：（）连结AC，交 BD 于 O因为底面 ABCD 为菱形，所以O 为 AC 中点因为Q 是 PA 的中点，所以OQ/ PC，因为 OQ平面 BDQ，PC平面 BDQ，所以 PC/平面 BDQ5 分（）因为底面 ABCD 为菱形，所以ACBD，O 为 BD 中点因为PB=
11、PD，所以POBD因为POBD =O，所以BD 平面 PAC因为CQ平面 PAC，所以BDCQ10 分（）因为PA=PC，所以PAC 为等腰三角形因为O 为 AC 中点，所以POAC由（）知POBD，且 ACBD =O，所以PO平面 ABCD，即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高因为四边形是边长为2 的菱形，且 ABC=60o，所以 BO=3，所以 PO=6所以12 362 23PABCDV，即2 2PABCDV14 分18解： （）因为35232SaSa所以112123()43()adadada，即122223adaa因为252aa，0d，所以20a所以112ad精品资料 - - - 欢迎
12、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 所以21nan6 分（）因为*12 ()nannbbnN，所以1212abb，2322abb，112nannbb相加得1121222naaanbbL=1323222nL=12(41)3n13 分即21213nnb19解： （）设椭圆的标准方程为22221xyab因为焦距为2 2，所以 c=2当点 P 在短轴的顶点时，P 到 F1F2的距离最大，所以此时 PF1F2的面积最大，所以1 21222PF FSc bV， 所以2b因
13、为2224abc， 所以24a，椭圆方程为22142xy5 分（）依题意，直线l的斜率存在，可设为k，则直线l：(1)yk x设11(,)A xy，22(,)B xy，联立22240(1)xyyk x消 y 得2222(21)4240kxk xk显然0，且2122421kxxk，21222421kx xk因为直线l交y轴于点N，所以(0,)Nk所以11(1,)AMxyuuuu r，11(,)NAx kyuuu r，且1NAAMuuu ruu uu r精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，
14、共 8 页 - - - - - - - - - - 所以1111xx，同理2221xx所以12121212121212()28111()3xxxxx xxxxxx x. 即12为定值是83. 14 分20解： （）因为( )f x与( )g x的图象在x轴上有公共点 (1，0)，所以(1)0g，即0ab又因为1( )fxx，2( )bgxax，由题意(1)(1)1fg，所以12a，12b4 分（）设11( )( )( )ln()22F xf xg xxxx，则221111 1( )(1)0222Fxxxx所以( )F x在1x时单调递减由(1)0F可得当1x时，( )0F x即( )( )f xg x9 分（）由（）得，11()ln2xxx(1)x令1kxk，则1111111 11ln()(1)(1)()212121kkkkkkkkkk，所以1 11ln(1)ln()21kkkk，1,2,3.,kn将上述 n 个不等式依次相加得11111ln(1)(.)2232(1)nnn，所以1111.ln(1)ln(1)232(1)nnnnn13 分（若用其他方法解题，请酌情给分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -