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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数的基本性质基础知识:1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x),则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。注意:函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则x也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。(2)利用定义判断函数奇偶
2、性的格式步骤:首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;确定f(x)与f(x)的关系;作出相应结论:若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是奇函数。(3)简单性质:图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称;设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任
3、意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);注意:函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2)。(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。(3)设复合函数y= fg(x),其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间,B是映射g : xu=g(x) 的象集:若u=g(x) 在 A上是增(或减)函数,y= f(
4、u)在B上也是增(或减)函数,则函数y= fg(x)在A上是增函数;若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y= f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= fg(x)在A上是减函数。(4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:任取x1,x2D,且x1x2; 作差f(x1)f(x2); 变形(通常是因式分解和配方);定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负);下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。(5)简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同;偶函数在其对称区间上的单调性相反;在公共定义域内:增函数增函数是增函数; 减函数减函数是减
5、函数;增函数减函数是增函数; 减函数增函数是减函数。若函数是偶函数,则;若函数是偶函数,则.3.函数的周期性如果函数yf(x)对于定义域内任意的x,存在一个不等于0的常数T,使得f(xT)f(x)恒成立,则称函数f(x)是周期函数,T是它的一个周期.性质:如果T是函数f(x)的周期,则kT(kN)也是f(x)的周期.若周期函数f(x)的周期为T,则()是周期函数,且周期为。若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.例题:1.的递减区间是 ;的单调递增区间是 。2.函数的图象( )A.关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称3.设是定义在上的奇函数,
6、若当时,则 。4.定义在上的偶函数满足,若在上递增,则( )A. B C D以上都不对5.讨论函数的单调性。6.已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数 的取值范围。7.已知函数的定义域为N,且对任意正整数,都有。若,求。习题:题型一:判断函数的奇偶性1.以下函数:(1);(2);(3);(4);(5),(6);其中奇函数是 ,偶函数是 ,非奇非偶函数是 。2.已知函数=,那么是( ) A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数题型二:奇偶性的应用1.已知偶函数和奇函数的定义域都是(-4,4),它们在上的图像分别如图(2-3)所示,则关于的
7、不等式的解集是_。2.已知,其中为常数,若,则_ 3.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.4.已知函数在R是奇函数,且当时,则时,的解析式为 。5.若是偶函数,且当时, ,则的解集是( ) A. B. C. D. 题型三:判断证明函数的单调性1.判断并证明在上的单调性2.判断在上的单调性题型四:函数的单调区间1.求函数的单调区间。2.下列函数中,在上为增函数的是( ) A. B. C. D.3.函数的一个单调递增区间是( ) A. B. C. D.4.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ) A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y= D.y=x2-
8、4x+35.函数y=的递增区间是( ) A.(-,-2) B.-5,-2 C.-2,1 D.1,+)题型五:单调性的应用1.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4)上是减函数,那么实数a的取值范围是( ) A.3,+ ) B.(-,-3 C.-3 D.(-,5 2.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x(-2,+)时是增函数,当x(-,-2)时是减函数,则f(1)等于( ) A.-3 B.13 C.7 D.由m而决定的常数3.若函数在R上单调递增,则实数a, b一定满足的条件是( ) A B.CD4.函数恒成立,则b的最小值为 。5.已知偶函数f(x)在(0,+)上为增函数,且
9、f(2)=0,解不等式flog2(x2+5x+4)0。题型六:周期问题1.奇函数以3为最小正周期,则为( )A.3 B.6 C.-3 D.-62.设f(x)是定义在R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递增,且y=f(x)的图象关于直线x =3对称,则下面正确的结论是( ) A.f(1.5)f(3.5)f(6.5)B.f(3.5)f(1.5)f(6.5) C.f(6.5)f(3.5)f(1.5)D.f(3.5)f(6.5)f(1.5)3.已知为偶函数,且,当时,则( ) A2006 B4 C D4.设是上的奇函数,当时,则等于_5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(mx)f(mx),且f(x)是偶函数,求证:2m是f(x)的一个周期.7、函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)3,对任意的xR,均有f(x4)f(x)f,求f(2001)的值.专心-专注-专业